数学九年级上册第21章 二次函数与反比例函数综合与测试同步训练题

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【专题概述】


反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义,|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积.在反比例函数的图象中,涉及三角形或矩形的面积时,常用比例系数k的几何意义求解.


【专题训练】


类型1 反比例函数的比例系数k与面积的关系


1.如图,过反比例函数y=kx(x<0)图象上的一点A作AB⊥x轴于点B,连接AO.若S△AOB=2,则k的值是( )





A.2B.-2C.4D.-4


2.如图,点P在反比例函数y=2x的图象上,PA⊥x轴于点A,则△PAO的面积为( )





A.1B.2C.4D.6


3.如图所示,A是反比例函数y=kx图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为5,则k的值为( )





A.5B.-5C.10D.-10


类型2 已知面积求反比例函数表达式


4.如图,点A,B在反比例函数y=1x(x>0)的图象上,点C,D在反比例函数y=kx(k>0)的图象上,AC∥BD∥y轴.已知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为32,则k的值为( )





A.4B.3C.2D.32


5.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B在反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象上,横坐标分别为1,4,对角线BD∥x轴.若菱形ABCD的面积为452,则k的值为( )





A.54B.154C.4D.5





6.如图,在平面直角坐标系中,过点M(0,2)的直线l与x轴平行,且直线l分别与反比例函数y=6x(x>0)和y=kx(x<0)的图象交于点P,Q,连接OP,OQ.


(1)求点P的坐标;


(2)若△POQ的面积为8,求k的值.















































7.如图,在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b)是矩形OACB的两个顶点.定义:如果双曲线y=kx经过AC的中点D,那么双曲线y=kx为矩形OACB的中点双曲线.


(1)若a=3,b=2,请判断y=3x是否为矩形OACB的中点双曲线?并说明理由.


(2)若y=kx是矩形OACB的中点双曲线,E是矩形OACB与中点双曲线y=kx的另一个交点,连接OD,OE,四边形ODCE的面积S=4,试求出k的值.























类型3 利用反比例函数中k的几何意义求面积


8.如图,菱形ABCD的边AD与x轴平行,A,B两点的横坐标分别为1和3,反比例函数y=3x的图象经过A,B两点,则菱形ABCD的面积是( )





A.42B.4C.22D.2


9.如图,A(a,b)是双曲线y=8x(x>0)上的一点,P是x轴负半轴上的一个动点,AC⊥y轴于点C,过点A作AD⊥x轴于点D,连接AP交y轴于点B.


(1)△PAC的面积是 ;


(2)当a=2,点P的坐标为(-2,0)时,求△ABC的面积.

















类型4 利用反比例函数中k的几何意义和对称性求面积


10.如图是由四条曲线围成的广告标志,建立平面直角坐标系,双曲线函数表达式分别为y=-6x,y=6x.现用四根钢条固定这四条曲线.这种钢条加工成矩形产品按面积计算,每单位面积25元,请你帮助工人师傅计算一下,所需钢条一共花多少钱?




















类型5 利用反比例函数中k的几何意义和三角形面积求最值


11.如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=kx(x>0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB,BC分别相交于M,N两点,△OMN的面积为10.若动点P在x轴上,求PM+PN的最小值.








参考答案


1. (D)


2. (A)


3. (D)


4. (B)


5. (D)


6.解:(1)∵M(0,2),PQ∥x轴,∴点P的纵坐标是2.


把y=2代入y=6x,得x=3,∴点P的坐标是(3,2).


(2)∵M(0,2),∴OM=2.


∵△POQ的面积为8,∴12×PQ×2=8,解得PQ=8.


∵点P的坐标是(3,2),∴PM=3,


∴QM=8-3=5,∴点Q的坐标是(-5,2),


把点Q的坐标代入y=kx,得k=-10.


7.解:(1)是.


理由:∵a=3,b=2,∴点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,2),∴点C的坐标为(3,2),∴AC的中点坐标为(3,1).


当x=3时,y=3x=1,∴AC的中点在双曲线y=3x的图象上,∴y=3x是矩形OACB的中点双曲线.


(2)∵点D,E在双曲线y=kx的图象上,


∴S△OBE=12k,S△OAD=12k.


∵四边形ODCE的面积S=4,∴矩形OACB的面积=k+4.


∵y=kx是矩形OACB的中点双曲线,


设点D(m,n),∴mn=k,C(m,2n),


∴矩形OACB的面积为2mn=2k,


∴2k=k+4,∴k=4.


8. (A)


9. (1) 4


解:(2)∵a=2,∴b=4,∴AC=2,AD=4,点A的坐标为(2,4).


设直线AP的表达式为y=kx+b,


∴4=2k+b,0=-2k+b,解得k=1,b=2,


∴直线AP的表达式为y=x+2,


∴点B的坐标为(0,2),∴S△ABC=12AC·BC=12×2×2=2.


10.解:由反比例函数图象的对称性可知,坐标系将矩形ABCD分成四个全等的小矩形.因为A为y=6x的图象上的任意一点,所以S矩形AEOH=6,所以S矩形ABCD=4×6=24,所以总费用为25×24=600(元).


答:所需钢条一共花600元钱.


11.解:∵正方形OABC的边长是6,


∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6,


∴M6,k6,Nk6,6,∴BN=6-k6,BM=6-k6.


∵△OMN的面积为10,


∴6×6-12×6×k6×2-12×6-k62=10,


解得k=24,∴M(6,4),N(4,6).


作点M关于x轴的对称点M',连接NM'交x轴于点P,则NM'即为PM+PN的最小值.


∵AM=AM'=4,∴BM'=10,BN=2,


∴NM'=BM'2+BN2=102+22=226,即PM+PN的最小值为226.