四川省宜宾市叙州区第一中学校2021届高三上学期开学考试 数学（文）（word版含答案）

2020年四川省叙州区第一中学高三开学考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则集合与的关系是(    )A． B．C． D．2．已知为虚数单位，若复数，则（    ）A．1 B．2 C． D．3．如图，网格纸的正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则此几何体的体积为（   ）A．6 B．18 C．12 D．364．已知等差数列的前15项和，则（  ）A．7 B．15 C．6 D．85．已知函数是奇函数，则的值为                  （    ）A． B． C． D．6．在正方形ABCD中，E为BC的中点，，则（   ）A． B．C． D．7．某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散500名乘客所需的时间如下： 安全出口编号甲，乙乙，丙丙，丁丁，戊甲，戊疏散乘客时间（s）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（  ）A．甲 B．乙 C．丁 D．戊8．已知α，β，γ为平面，是直线，若α∩β＝，则“α⊥γ，β⊥γ”是“⊥γ”的(   )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．在中，，若，则向量在上的投影是（    ）A． B． C． D．10．已知点是抛物线上的动点，则的最小值为A．3 B．4 C．5 D．611．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为3，则的离心率为（    ）A． B． C．2 D．12．已知都是定义在R上的函数，，且且，，对于有穷数列，任取正整数，则前项和大于的概率是（ ）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.函数在处的切线斜率为        ．14．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为__________．15．圆关于直线的对称圆的方程为_____.16．已知是定义在上的不恒为零的函数，且对任意实数满足，有以下结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列.其中正确结论的序号是____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）已知等差数列，记为其前项和（），且，.（Ⅰ）求该等差数列的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求数列的前项和.18．（12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如表： 男女需要40m不需要n270若该地区老年人中需要志愿者提供帮助的比例为14%.（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？参考公式：K2＝.P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828    19．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900（Ⅰ）求证：PC⊥BC（Ⅱ）求点A到平面PBC的距离  20．（12分）在直角坐标系中，曲线：与直线：交于，两点.（Ⅰ）若的面积为，求；（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求以线段为直径的圆的方程；若不存在，请说明理由. 21．（12分）已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）已知点，，点在曲线：上．（Ⅰ）求点的轨迹方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若时，恒成立，求的最小值．    
2020年四川省叙州区第一中学高三开学考试文科数学参考答案1．D 2．D 3．A 4．C 5．C 6．A 7．C 8．C 9．B 10．B 11．C 12．A13．E      14．（-3,1）  15．  16．①③④17．（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意，得，解得，的通项公式，.（Ⅱ）设等比数列的公比为，由（Ⅰ）得，，，或，当时，，当时，.18．（1），（2）即在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关19．（1）①证明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC．由∠BCD＝90°知，BC⊥DC，∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC． ②设点A到平面PBC的距离为h，∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°，连接AC（图略），∵AB＝2，BC＝1，∴S△ABC＝AB·BC＝1，∵PD⊥平面ABCD，PD＝1，∴VP­ABC＝S△ABC·PD＝，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD＝DC＝1，∴PC＝，∵PC⊥BC，BC＝1，∴S△PBC＝PC·BC＝，∵VA­PBC＝VP­ABC，∴S△PBC·h＝，∴h＝，∴点A到平面PBC的距离为．20．解：（1）将代入，得，设，，则，，从而 .因为到的距离为，所以的面积 ，解得.（2）存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，直线，的斜率分别为，.从而 .当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，故，所以点符合题意.故以线段为直径的圆的方程为（或）21．（1）当时，令，所以此时在区间递增，递减；当时，令，所以此时在区间递增，递减；（2）令， ，，令，令，显然在时单调递增，；当时，在上递增，所以，则，在上递增，，此时符合题意；当时，，此时在上存在，使在上值为负，此时，在上递减，此时，在上递减，，此时不符合题意；综上：22．（1）（2）23．（Ⅰ）法一：当，即解不等式时，，作出图象：结合图象及的单调性，又所以的解集为．法二：等价于或或解得或或，即．（Ⅱ）方法一：由得由，所以，画出及的图象
 根据图象性质可得，综上．故的最小值为．方法二：，要使得恒成立，即．则必有最小值．因此在必单调递减或为常函数，在必单调递增或为常函数．即且即．又，故在上是增函数，即．解恒成立．综上．故的最小值为．