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2019-2020学年吉林省长春市汽开区八年级（下）期末数学试卷
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2019-2020学年吉林省长春市汽开区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若点P（a，2）在第二象限，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
3．（3分）一组数据：1，2，4，2，2，5，这组数据的众数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4．（3分）一次函数y＝6x﹣6的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
5．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是（ ）
A．130° B．120° C．100° D．90°
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为8cm，6cm，则这个菱形的周长为（ ）
A．l0cm B．14cm C．20cm D．28cm
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，连结BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则MD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+4交于点（，，则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞ B．x≥ C．x＜ D．x≤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）使有意义的x的取值范围是 ．
10．（3分）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.14，乙的方差是0.06，这5次短跑训练成绩较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
11．（3分）已知反比例函数y＝，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为 ．
12．（3分）将直线y＝﹣5x向下平移2个单位长度，则平移后的直线所对应的函数表达式为 ．
13．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AB＝6，△OCD的周长为18，则AC与BD的和是 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S1＝140，S2＝124，EB的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：
（1）；
（2）（1+）（1﹣）．
16．（6分）已知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（2，5），B（1，3）两点．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）求此一次函数图象与x轴的交点C的坐标．
17．（6分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个面积为12的平行四边形ABEF．
（2）在图②中以线段CD为对角线画一个面积为8的平行四边形CMDN．
18．（7分）某市多处居民居住点投放了使用手机支付就可随取随用的共享“街兔”电动车，为了解清华园小区居民使用“街兔”电动车的情况，某数学研究小组随机调查该小区的10位居民，得到这10位居民两周内使用“街兔”电动车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．
（1）这组数据的中位数是 ，众数是 ．
（2）计算这10位居民两周内使用“街兔”电动车的平均次数．
（3）若该小区有500名居民，试估计该小区居民两周内使用“街兔”电动车的总次数．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点P（﹣2，1）、Q（1，m）．
（1）求反比例函数的表达式及点Q的坐标．
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．
20．（7分）某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对演讲答辩得分进行评价，结果如演讲答辩得分表，另全班50位同学则参与民主测评进行投票，结果如图．
A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
94
91
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数×2分+“较好“票数×1分+“一般””票数×0分．
（1）求甲、乙两位选手各自演讲答辩的得分；
（2）求甲、乙两位选手各自民主测评的得分；
（3）若演讲答辩得分和民主测评得分按2：3的权重比计算两位选手的综合得分，则应选取哪位选手当班长？
21．（8分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝ °时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝ °时，四边形ABDF为菱形．
22．（9分）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时当发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）家与图书馆之间的路程为 m，小东从图书馆到家所用的时间为 ．
（2）求小玲步行时y与x之间的函数关系式
（3）求两人相遇的时间．
23．（10分）如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）线段PD的长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C、D在函数y＝（x＞0）的图象上，其中0＜m＜n，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m＝4，n＝20时，
①点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，BD的长为 ．
②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．
③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．
（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．
2019-2020学年吉林省长春市汽开区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、＝3，故不是最简二次根式，故A选项错误；
B、是最简二次根式，符合题意，故B选项正确；
C、＝2，故不是最简二次根式，故C选项错误；
D、＝，故不是最简二次根式，故D选项错误；
故选：B．
2．（3分）若点P（a，2）在第二象限，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数判断．
【解答】解：∵点P（a，2）在第二象限，
∴a＜0，
∴﹣2、0、1、2四个数中，a的值可以是﹣2．
故选：A．
3．（3分）一组数据：1，2，4，2，2，5，这组数据的众数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【分析】根据众数定义可得答案．
【解答】解：一组数据：1，2，4，2，2，5，这组数据的众数是2，
故选：B．
4．（3分）一次函数y＝6x﹣6的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：∵一次函数y＝6x﹣6，k＝6，b＝﹣6，
∴该函数的图象经过第一、三、四象限，
故选：D．
5．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是（ ）
A．130° B．120° C．100° D．90°
【分析】直接利用平行四边形的对角相等，邻角互补即可得出答案．
【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝160°，
∴∠A＝∠C＝80°，
∴∠B的度数是：100°．
故选：C．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为8cm，6cm，则这个菱形的周长为（ ）
A．l0cm B．14cm C．20cm D．28cm
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝4cm，BO＝DO＝3cm，由勾股定理可求AB的长，即可求解．
【解答】解：如图，设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝4cm，BO＝DO＝3cm，
∴AB＝＝＝5（cm），
∴这个菱形的周长＝4×5＝20（cm），
故选：C．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，连结BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则MD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据线段垂直平分线的的性质，求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2＝AM2+AB2，即可列方程求解．
【解答】解：∵对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴MD长为5．
故选：C．
8．（3分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+4交于点（，，则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞ B．x≥ C．x＜ D．x≤
【分析】写出直线y＝x+b在直线y＝kx+4上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是x＞．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）使有意义的x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
【解答】解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
10．（3分）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.14，乙的方差是0.06，这5次短跑训练成绩较稳定的是 乙 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵甲的方差为0.14，乙的方差为0.06，
∴S甲2＞S乙2，
∴成绩较为稳定的是乙；
故答案为：乙．
11．（3分）已知反比例函数y＝，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为 k＞4 ．
【分析】根据题意和反比例函数的性质，可知k﹣4＞0，从而可以得到k的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数y＝，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，
∴k﹣4＞0，
解得，k＞4，
故答案为：k＞4．
12．（3分）将直线y＝﹣5x向下平移2个单位长度，则平移后的直线所对应的函数表达式为 y＝﹣5x﹣2 ．
【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．
【解答】解：将直线y＝﹣5x向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为y＝﹣5x﹣2．
故答案为y＝﹣5x﹣2．
13．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AB＝6，△OCD的周长为18，则AC与BD的和是 24 ．
【分析】由平行四边形的性质和已知条件易求DO+OC的值，再由AC＝2OC，BD＝2DO，即可求出AC与BD的和．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∵△OCD的周长为18，
∴OD+OC＝18﹣6＝12，
∵BD＝2DO，AC＝2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD+AC＝2（DO+OC）＝24，
故答案为：24．
14．（3分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S1＝140，S2＝124，EB的长为 4 ．
【分析】设△ABE的面积为S，则S正方形ABCD＝S+140，S正方形AEFG＝S+124，再根据正方形的面积公式得到S正方形ABCD＝AB2，S正方形AEFG＝AE2，所以AB2﹣AE2＝16，然后利用勾股定理计算BE的长．
【解答】解：设△ABE的面积为S，
∵S正方形ABCD＝S+S1＝S+140，S正方形AEFG＝S+S2＝S+124，
而S正方形ABCD＝AB2，S正方形AEFG＝AE2，
∴AB2﹣AE2＝140﹣124＝16，
在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2＝16，
∴BE＝4．
故答案为4．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：
（1）；
（2）（1+）（1﹣）．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝2+2
＝4；
（2）原式＝1﹣3
＝12﹣（）2
＝﹣2．
16．（6分）已知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（2，5），B（1，3）两点．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）求此一次函数图象与x轴的交点C的坐标．
【分析】（1）首先把A、B两点坐标代入y＝kx+b，可得关于k、b的方程组，再解可得k、b的值，进而可得函数解析式；
（2）计算出当y＝0时，x的值即可．
【解答】解：（1）把A（2，5），B（1，3）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
故一次函数解析式为：y＝2x+1；
（2）当y＝0时，0＝2x+1，
解得：x＝﹣，
故C（﹣，0）．
17．（6分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个面积为12的平行四边形ABEF．
（2）在图②中以线段CD为对角线画一个面积为8的平行四边形CMDN．
【分析】（1）根据题意利用数形结合的思想解决问题即可．
（2）画出以CD为对角线，底为2，高为4的平行四边形即可．
【解答】解：（1）如图①中，四边形ABEF即为所求．
（2）如图②中，四边形CMDN即为所求（答案不唯一）．
18．（7分）某市多处居民居住点投放了使用手机支付就可随取随用的共享“街兔”电动车，为了解清华园小区居民使用“街兔”电动车的情况，某数学研究小组随机调查该小区的10位居民，得到这10位居民两周内使用“街兔”电动车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．
（1）这组数据的中位数是 16 ，众数是 17 ．
（2）计算这10位居民两周内使用“街兔”电动车的平均次数．
（3）若该小区有500名居民，试估计该小区居民两周内使用“街兔”电动车的总次数．
【分析】（1）将数据按照大小顺序重新排列，计算出中间两个数的平均数即是中位数，出现次数最多的即为众数；
（2）根据平均数的概念，将所有数的和除以10即可；
（3）用样本平均数估算总体的平均数．
【解答】解：（1）将数据按照大小顺序重新排列为0，7，9，12，15，17，17，17，20，26，则这组数据的中位数是（15+17）÷2＝16，17出现了3次，最多为众数；
（2）（次）．
答：这10位居民两周内使用“街兔”的平均次数是14次．
（3）500×14＝7000（次）．
答：估计该小区居民两周内使用“街兔”的总次数约为7000次．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点P（﹣2，1）、Q（1，m）．
（1）求反比例函数的表达式及点Q的坐标．
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）∵点P（﹣2，1）在反比例函数（k≠0）的图象上，
∴1＝，解得：k＝﹣2，
∴反比例函数的表达式为．
∵点Q（1，m） 在反比例函数的图象上，
∴m＝，解得：m＝﹣2，
∴点Q的坐标为（1，﹣2）；
（2）从图象看，一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜1．
20．（7分）某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对演讲答辩得分进行评价，结果如演讲答辩得分表，另全班50位同学则参与民主测评进行投票，结果如图．
A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
94
91
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数×2分+“较好“票数×1分+“一般””票数×0分．
（1）求甲、乙两位选手各自演讲答辩的得分；
（2）求甲、乙两位选手各自民主测评的得分；
（3）若演讲答辩得分和民主测评得分按2：3的权重比计算两位选手的综合得分，则应选取哪位选手当班长？
【分析】（1）演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法计算即可．
（2）根据民主测评得分＝“好”票数×2分+“较好“票数×1分+“一般””票数×0分计算即可．
（3）利用加权平均数公式计算即可判定．
【解答】解：（1）甲选手演讲答辩的得分＝（90+92+94）＝92（分）
乙选手演讲答辩的得分＝（89+87+91）＝89（分）．
（2）甲选手民主测评的得分＝40×2+7＝87（分）
乙选手民主测评的得分＝42×2+4＝88（分）．
（3）甲的综合得分＝＝89
乙的综合得分＝＝88.4（分），
∵89＞88.4，
∴选甲当班长
21．（8分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝ 45 °时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝ 30 °时，四边形ABDF为菱形．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）①根据菱形的判定定理得到四边形ADCF是菱形，求得∠DCF＝90°，于是得到结论；
②根据平行四边形的性质得到CD＝CF，推出△DCF是等边三角形，得到DF＝BD，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∵AD＝CD＝BD，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝BD，
∴AD＝AF；
（2）解：①当∠ACB＝45°时，四边形ADCF为正方形；
∵AD＝AF，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是菱形，
∴∠ACD＝∠ACF＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∴四边形ADCF是正方形；
②当∠ACB＝30°时，四边形ABDF为菱形；
∵四边形ADCF是菱形，四边形ABDF是平行四边形，
∴CD＝CF，
∵∠ACB＝∠ACF＝30°，
∴∠DCF＝60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴DF＝CD，
∴DF＝BD，
∴四边形ABDF为菱形．
故答案为：45，30．
22．（9分）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时当发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）家与图书馆之间的路程为 4000 m，小东从图书馆到家所用的时间为 min ．
（2）求小玲步行时y与x之间的函数关系式
（3）求两人相遇的时间．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以直接写出家与图书馆之间的路程，计算出小东从图书馆到家所用的时间；
（2）根据函数图象中的数据可以求得小玲步行时y与x之间的函数关系式；
（3）根据函数图象中的数据可以计算出两人相遇的时间．
【解答】解：（1）由图可得，
家与图书馆之间的路程为4000m，小东从图书馆到家所用的时间为：＝min，
故答案为：4000，min；
（2）设小玲步行时y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
，
得，
即小玲步行时y与x之间的函数关系式是y＝100x+1000；
（3）当0≤x≤10时，小玲的速度为2000÷10＝200（m/min），
令200x+300x＝4000，得x＝8，
∵8＜10，
∴两人在第8min相遇，
答：两人相遇的时间是第8min．
23．（10分）如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）线段PD的长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【分析】（1）由题意可得AP＝t，即可求解；
（2）由平行线的性质和角平分线的性质可得DP＝DC＝3，可求解；
（3）利用平行四边形的性质可求解．
【解答】解：（1）由题意可得AP＝1×t＝t，
∴PD＝，
故答案为：；
（2）在▱ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝3，
∴∠DPC＝∠BCP，
∵CP平分∠BCD，
∴∠BCP＝∠DCP，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC＝3，
∴，
∴t＝6；
（3）∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，BQ∥PD，
∴PD＝BQ，
当点Q没有到达点B时，6﹣t＝6﹣2t，
∴t＝0（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，6﹣t＝2t﹣6，
∴t＝，
当点Q到达点C后，返回时，6﹣t＝6×3﹣2t，
∴t＝8，
当点Q第二次到达点B后，6﹣t＝2t﹣18，
∴t＝，
综上所述：t的值为或8或．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C、D在函数y＝（x＞0）的图象上，其中0＜m＜n，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m＝4，n＝20时，
①点B的坐标为 （4，1） ，点D的坐标为 （4，5） ，BD的长为 5 ．
②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．
③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．
（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．
【分析】（1）①用待定系数法即可求解；②四边形ABCD的面积＝AC×BD，即可求解；③证明四边形ABCD为平行四边形，而BD⊥AC，即可证明；
（2）当四边形ABCD为正方形时，设PA＝PB＝PC＝PD＝t（t≠0），求出点A、B的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）①当x＝4时，y＝＝1，
∴点B的坐标为（4，1）；
当y＝2时，2＝，解得：x＝2，
∴点A的坐标为（2，2）；
当n＝20时，y＝，当x＝4时，y＝5，故点D（4，5），
BD＝5﹣1＝4，
故答案为（4，1）；（4，5）；4；
②∵BD∥y轴，BD⊥AC，点P的纵坐标为2，
∴A（2，2），C（10，2）．
∴AC＝8，
∴四边形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×4＝16；
③四边形ABCD为菱形，理由如下：
由①得：点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（4，5），
∵点P为线段BD的中点，
∴点P的坐标为（4，3）．
当y＝3时，3＝，解得：x＝，
∴点A的坐标为（，3）；
当y＝3时，3＝，解得：x＝，
∴点C的坐标为（，3）．
∴PA＝4﹣＝，PC＝﹣4＝，
∴PA＝PC．
∵PB＝PD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）四边形ABCD能成为正方形．
当四边形ABCD为正方形时，设PA＝PB＝PC＝PD＝t（t≠0）．
当x＝4时，y＝＝，
∴点B的坐标为（4，），
∴点A的坐标为（4﹣t，+t）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴（4﹣t）（+t）＝m，化简得：t＝4﹣，
∴点D的纵坐标为+2t＝+2（4﹣）＝8﹣，
∴点D的坐标为（4，8﹣），
∴4×（8﹣）＝n，整理，得：m+n＝32．
即四边形ABCD能成为正方形，此时m+n＝32．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）若点P（a，2）在第二象限，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
3．（3分）一组数据：1，2，4，2，2，5，这组数据的众数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4．（3分）一次函数y＝6x﹣6的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
5．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是（ ）
A．130° B．120° C．100° D．90°
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为8cm，6cm，则这个菱形的周长为（ ）
A．l0cm B．14cm C．20cm D．28cm
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，连结BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则MD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+4交于点（，，则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞ B．x≥ C．x＜ D．x≤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）使有意义的x的取值范围是 ．
10．（3分）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.14，乙的方差是0.06，这5次短跑训练成绩较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
11．（3分）已知反比例函数y＝，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为 ．
12．（3分）将直线y＝﹣5x向下平移2个单位长度，则平移后的直线所对应的函数表达式为 ．
13．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AB＝6，△OCD的周长为18，则AC与BD的和是 ．
14．（3分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S1＝140，S2＝124，EB的长为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：
（1）；
（2）（1+）（1﹣）．
16．（6分）已知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（2，5），B（1，3）两点．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）求此一次函数图象与x轴的交点C的坐标．
17．（6分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个面积为12的平行四边形ABEF．
（2）在图②中以线段CD为对角线画一个面积为8的平行四边形CMDN．
18．（7分）某市多处居民居住点投放了使用手机支付就可随取随用的共享“街兔”电动车，为了解清华园小区居民使用“街兔”电动车的情况，某数学研究小组随机调查该小区的10位居民，得到这10位居民两周内使用“街兔”电动车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．
（1）这组数据的中位数是 ，众数是 ．
（2）计算这10位居民两周内使用“街兔”电动车的平均次数．
（3）若该小区有500名居民，试估计该小区居民两周内使用“街兔”电动车的总次数．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点P（﹣2，1）、Q（1，m）．
（1）求反比例函数的表达式及点Q的坐标．
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．
20．（7分）某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对演讲答辩得分进行评价，结果如演讲答辩得分表，另全班50位同学则参与民主测评进行投票，结果如图．
A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
94
91
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数×2分+“较好“票数×1分+“一般””票数×0分．
（1）求甲、乙两位选手各自演讲答辩的得分；
（2）求甲、乙两位选手各自民主测评的得分；
（3）若演讲答辩得分和民主测评得分按2：3的权重比计算两位选手的综合得分，则应选取哪位选手当班长？
21．（8分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝ °时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝ °时，四边形ABDF为菱形．
22．（9分）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时当发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）家与图书馆之间的路程为 m，小东从图书馆到家所用的时间为 ．
（2）求小玲步行时y与x之间的函数关系式
（3）求两人相遇的时间．
23．（10分）如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）线段PD的长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C、D在函数y＝（x＞0）的图象上，其中0＜m＜n，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m＝4，n＝20时，
①点B的坐标为 ，点D的坐标为 ，BD的长为 ．
②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．
③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．
（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．
2019-2020学年吉林省长春市汽开区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分
1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、＝3，故不是最简二次根式，故A选项错误；
B、是最简二次根式，符合题意，故B选项正确；
C、＝2，故不是最简二次根式，故C选项错误；
D、＝，故不是最简二次根式，故D选项错误；
故选：B．
2．（3分）若点P（a，2）在第二象限，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数判断．
【解答】解：∵点P（a，2）在第二象限，
∴a＜0，
∴﹣2、0、1、2四个数中，a的值可以是﹣2．
故选：A．
3．（3分）一组数据：1，2，4，2，2，5，这组数据的众数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【分析】根据众数定义可得答案．
【解答】解：一组数据：1，2，4，2，2，5，这组数据的众数是2，
故选：B．
4．（3分）一次函数y＝6x﹣6的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【解答】解：∵一次函数y＝6x﹣6，k＝6，b＝﹣6，
∴该函数的图象经过第一、三、四象限，
故选：D．
5．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是（ ）
A．130° B．120° C．100° D．90°
【分析】直接利用平行四边形的对角相等，邻角互补即可得出答案．
【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，
∵∠A+∠C＝160°，
∴∠A＝∠C＝80°，
∴∠B的度数是：100°．
故选：C．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为8cm，6cm，则这个菱形的周长为（ ）
A．l0cm B．14cm C．20cm D．28cm
【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝4cm，BO＝DO＝3cm，由勾股定理可求AB的长，即可求解．
【解答】解：如图，设AC与BD交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝4cm，BO＝DO＝3cm，
∴AB＝＝＝5（cm），
∴这个菱形的周长＝4×5＝20（cm），
故选：C．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，连结BM、DN．若AB＝4，AD＝8，则MD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据线段垂直平分线的的性质，求出DM＝BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2＝AM2+AB2，即可列方程求解．
【解答】解：∵对角线BD的垂直平分线MN交AD于点M，交BC于点N，
∴MB＝MD，
设MD长为x，则MB＝DM＝x，
在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5，
∴MD长为5．
故选：C．
8．（3分）如图，直线y＝x+b与直线y＝kx+4交于点（，，则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ）
A．x＞ B．x≥ C．x＜ D．x≤
【分析】写出直线y＝x+b在直线y＝kx+4上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是x＞．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）使有意义的x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】当被开方数x﹣2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
【解答】解：根据二次根式的意义，得
x﹣2≥0，解得x≥2．
10．（3分）甲、乙两人在100米短跑训练中，某5次的平均成绩相等，甲的方差是0.14，乙的方差是0.06，这5次短跑训练成绩较稳定的是 乙 ．（填“甲”或“乙”）
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵甲的方差为0.14，乙的方差为0.06，
∴S甲2＞S乙2，
∴成绩较为稳定的是乙；
故答案为：乙．
11．（3分）已知反比例函数y＝，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为 k＞4 ．
【分析】根据题意和反比例函数的性质，可知k﹣4＞0，从而可以得到k的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数y＝，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，
∴k﹣4＞0，
解得，k＞4，
故答案为：k＞4．
12．（3分）将直线y＝﹣5x向下平移2个单位长度，则平移后的直线所对应的函数表达式为 y＝﹣5x﹣2 ．
【分析】根据“上加下减”的原则求解即可．
【解答】解：将直线y＝﹣5x向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为y＝﹣5x﹣2．
故答案为y＝﹣5x﹣2．
13．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．若AB＝6，△OCD的周长为18，则AC与BD的和是 24 ．
【分析】由平行四边形的性质和已知条件易求DO+OC的值，再由AC＝2OC，BD＝2DO，即可求出AC与BD的和．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∵△OCD的周长为18，
∴OD+OC＝18﹣6＝12，
∵BD＝2DO，AC＝2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD+AC＝2（DO+OC）＝24，
故答案为：24．
14．（3分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，点B在EF上，S1＝140，S2＝124，EB的长为 4 ．
【分析】设△ABE的面积为S，则S正方形ABCD＝S+140，S正方形AEFG＝S+124，再根据正方形的面积公式得到S正方形ABCD＝AB2，S正方形AEFG＝AE2，所以AB2﹣AE2＝16，然后利用勾股定理计算BE的长．
【解答】解：设△ABE的面积为S，
∵S正方形ABCD＝S+S1＝S+140，S正方形AEFG＝S+S2＝S+124，
而S正方形ABCD＝AB2，S正方形AEFG＝AE2，
∴AB2﹣AE2＝140﹣124＝16，
在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2＝16，
∴BE＝4．
故答案为4．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）计算：
（1）；
（2）（1+）（1﹣）．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝2+2
＝4；
（2）原式＝1﹣3
＝12﹣（）2
＝﹣2．
16．（6分）已知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（2，5），B（1，3）两点．
（1）求此一次函数的表达式；
（2）求此一次函数图象与x轴的交点C的坐标．
【分析】（1）首先把A、B两点坐标代入y＝kx+b，可得关于k、b的方程组，再解可得k、b的值，进而可得函数解析式；
（2）计算出当y＝0时，x的值即可．
【解答】解：（1）把A（2，5），B（1，3）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
故一次函数解析式为：y＝2x+1；
（2）当y＝0时，0＝2x+1，
解得：x＝﹣，
故C（﹣，0）．
17．（6分）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
（1）在图①中以线段AB为边画一个面积为12的平行四边形ABEF．
（2）在图②中以线段CD为对角线画一个面积为8的平行四边形CMDN．
【分析】（1）根据题意利用数形结合的思想解决问题即可．
（2）画出以CD为对角线，底为2，高为4的平行四边形即可．
【解答】解：（1）如图①中，四边形ABEF即为所求．
（2）如图②中，四边形CMDN即为所求（答案不唯一）．
18．（7分）某市多处居民居住点投放了使用手机支付就可随取随用的共享“街兔”电动车，为了解清华园小区居民使用“街兔”电动车的情况，某数学研究小组随机调查该小区的10位居民，得到这10位居民两周内使用“街兔”电动车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，9．
（1）这组数据的中位数是 16 ，众数是 17 ．
（2）计算这10位居民两周内使用“街兔”电动车的平均次数．
（3）若该小区有500名居民，试估计该小区居民两周内使用“街兔”电动车的总次数．
【分析】（1）将数据按照大小顺序重新排列，计算出中间两个数的平均数即是中位数，出现次数最多的即为众数；
（2）根据平均数的概念，将所有数的和除以10即可；
（3）用样本平均数估算总体的平均数．
【解答】解：（1）将数据按照大小顺序重新排列为0，7，9，12，15，17，17，17，20，26，则这组数据的中位数是（15+17）÷2＝16，17出现了3次，最多为众数；
（2）（次）．
答：这10位居民两周内使用“街兔”的平均次数是14次．
（3）500×14＝7000（次）．
答：估计该小区居民两周内使用“街兔”的总次数约为7000次．
19．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点P（﹣2，1）、Q（1，m）．
（1）求反比例函数的表达式及点Q的坐标．
（2）根据图象直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）∵点P（﹣2，1）在反比例函数（k≠0）的图象上，
∴1＝，解得：k＝﹣2，
∴反比例函数的表达式为．
∵点Q（1，m） 在反比例函数的图象上，
∴m＝，解得：m＝﹣2，
∴点Q的坐标为（1，﹣2）；
（2）从图象看，一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜1．
20．（7分）某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评，A、B、C、D、E五位老师作为评委，对演讲答辩得分进行评价，结果如演讲答辩得分表，另全班50位同学则参与民主测评进行投票，结果如图．
A
B
C
D
E
甲
90
92
94
95
88
乙
89
86
87
94
91
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数×2分+“较好“票数×1分+“一般””票数×0分．
（1）求甲、乙两位选手各自演讲答辩的得分；
（2）求甲、乙两位选手各自民主测评的得分；
（3）若演讲答辩得分和民主测评得分按2：3的权重比计算两位选手的综合得分，则应选取哪位选手当班长？
【分析】（1）演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法计算即可．
（2）根据民主测评得分＝“好”票数×2分+“较好“票数×1分+“一般””票数×0分计算即可．
（3）利用加权平均数公式计算即可判定．
【解答】解：（1）甲选手演讲答辩的得分＝（90+92+94）＝92（分）
乙选手演讲答辩的得分＝（89+87+91）＝89（分）．
（2）甲选手民主测评的得分＝40×2+7＝87（分）
乙选手民主测评的得分＝42×2+4＝88（分）．
（3）甲的综合得分＝＝89
乙的综合得分＝＝88.4（分），
∵89＞88.4，
∴选甲当班长
21．（8分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝ 45 °时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝ 30 °时，四边形ABDF为菱形．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）①根据菱形的判定定理得到四边形ADCF是菱形，求得∠DCF＝90°，于是得到结论；
②根据平行四边形的性质得到CD＝CF，推出△DCF是等边三角形，得到DF＝BD，于是得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∵AD＝CD＝BD，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝BD，
∴AD＝AF；
（2）解：①当∠ACB＝45°时，四边形ADCF为正方形；
∵AD＝AF，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是菱形，
∴∠ACD＝∠ACF＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∴四边形ADCF是正方形；
②当∠ACB＝30°时，四边形ABDF为菱形；
∵四边形ADCF是菱形，四边形ABDF是平行四边形，
∴CD＝CF，
∵∠ACB＝∠ACF＝30°，
∴∠DCF＝60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴DF＝CD，
∴DF＝BD，
∴四边形ABDF为菱形．
故答案为：45，30．
22．（9分）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时当发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用30min．小东骑自行车以300m/min的速度直接回家，两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）家与图书馆之间的路程为 4000 m，小东从图书馆到家所用的时间为 min ．
（2）求小玲步行时y与x之间的函数关系式
（3）求两人相遇的时间．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以直接写出家与图书馆之间的路程，计算出小东从图书馆到家所用的时间；
（2）根据函数图象中的数据可以求得小玲步行时y与x之间的函数关系式；
（3）根据函数图象中的数据可以计算出两人相遇的时间．
【解答】解：（1）由图可得，
家与图书馆之间的路程为4000m，小东从图书馆到家所用的时间为：＝min，
故答案为：4000，min；
（2）设小玲步行时y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
，
得，
即小玲步行时y与x之间的函数关系式是y＝100x+1000；
（3）当0≤x≤10时，小玲的速度为2000÷10＝200（m/min），
令200x+300x＝4000，得x＝8，
∵8＜10，
∴两人在第8min相遇，
答：两人相遇的时间是第8min．
23．（10分）如图①，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D运动．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）线段PD的长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【分析】（1）由题意可得AP＝t，即可求解；
（2）由平行线的性质和角平分线的性质可得DP＝DC＝3，可求解；
（3）利用平行四边形的性质可求解．
【解答】解：（1）由题意可得AP＝1×t＝t，
∴PD＝，
故答案为：；
（2）在▱ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝3，
∴∠DPC＝∠BCP，
∵CP平分∠BCD，
∴∠BCP＝∠DCP，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC＝3，
∴，
∴t＝6；
（3）∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，BQ∥PD，
∴PD＝BQ，
当点Q没有到达点B时，6﹣t＝6﹣2t，
∴t＝0（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，6﹣t＝2t﹣6，
∴t＝，
当点Q到达点C后，返回时，6﹣t＝6×3﹣2t，
∴t＝8，
当点Q第二次到达点B后，6﹣t＝2t﹣18，
∴t＝，
综上所述：t的值为或8或．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C、D在函数y＝（x＞0）的图象上，其中0＜m＜n，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当m＝4，n＝20时，
①点B的坐标为 （4，1） ，点D的坐标为 （4，5） ，BD的长为 5 ．
②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．
③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．
（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．
【分析】（1）①用待定系数法即可求解；②四边形ABCD的面积＝AC×BD，即可求解；③证明四边形ABCD为平行四边形，而BD⊥AC，即可证明；
（2）当四边形ABCD为正方形时，设PA＝PB＝PC＝PD＝t（t≠0），求出点A、B的坐标，进而求解．
【解答】解：（1）①当x＝4时，y＝＝1，
∴点B的坐标为（4，1）；
当y＝2时，2＝，解得：x＝2，
∴点A的坐标为（2，2）；
当n＝20时，y＝，当x＝4时，y＝5，故点D（4，5），
BD＝5﹣1＝4，
故答案为（4，1）；（4，5）；4；
②∵BD∥y轴，BD⊥AC，点P的纵坐标为2，
∴A（2，2），C（10，2）．
∴AC＝8，
∴四边形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×4＝16；
③四边形ABCD为菱形，理由如下：
由①得：点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（4，5），
∵点P为线段BD的中点，
∴点P的坐标为（4，3）．
当y＝3时，3＝，解得：x＝，
∴点A的坐标为（，3）；
当y＝3时，3＝，解得：x＝，
∴点C的坐标为（，3）．
∴PA＝4﹣＝，PC＝﹣4＝，
∴PA＝PC．
∵PB＝PD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）四边形ABCD能成为正方形．
当四边形ABCD为正方形时，设PA＝PB＝PC＝PD＝t（t≠0）．
当x＝4时，y＝＝，
∴点B的坐标为（4，），
∴点A的坐标为（4﹣t，+t）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴（4﹣t）（+t）＝m，化简得：t＝4﹣，
∴点D的纵坐标为+2t＝+2（4﹣）＝8﹣，
∴点D的坐标为（4，8﹣），
∴4×（8﹣）＝n，整理，得：m+n＝32．
即四边形ABCD能成为正方形，此时m+n＝32．
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