初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试精品单元测试习题

这是一份初中数学北师大版八年级上册第一章 勾股定理综合与测试精品单元测试习题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题


1．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是( )


A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=3，b=4，c=5 D．a=4，b=5，c=6


2．如图所示，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.若OD=8，OP=10，则PE的长为( )





A．5 B．6 C．7 D．8


3．下列结论中，错误的有( )


①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；


②△ABC的三边长分别为a，b，c，若a2＋b2=c2，则∠A=90°；


③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6，则△ABC是直角三角形；


④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形．


A．0个 B．1个 C．2个 D．3个


4．如图，将长为8 cm的橡皮筋放置在地面上，固定两端点A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至点D，则橡皮筋被拉长了( )





A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm


5．将面积为8π的半圆与两个正方形按图3所示的方式摆放，则这两个正方形面积的和为( )





A．16 B．32 C．8π D．64


6．若△ABC的三边长a，b，c满足eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－b))2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b－2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c2－8))2=0，则下列对此三角形的形状描述最确切的是( )


A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形


7．如图所示，AC⊥BD，O为垂足，设m=AB2＋CD2，n=AD2＋BC2，则m，n的大小关系为( )





A．m＜n B．m=n C．m＞n D．不确定


8．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC=5，CD=3，则BD的长为( )





A．1 B．2 C．3 D．4


9．如图，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，黑甲壳虫从点A出发，白甲壳虫从点C1出发，它们以相同的速度分别沿棱向前爬行．黑甲壳虫爬行的路线是：AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA→AA1→A1D1…，白甲壳虫爬行的路线是：C1C→CB→BB1→B1C1→C1C→CB…，那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2018条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的最短路程的平方是( )





A．2 B．3 C．4 D．5


10．如图所示，在长方形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )





A．3 B．4 C．5 D．6


二、填空题


11．在△ABC中，若AC2＋BC2=AB2，∠A∶∠B=1∶2，则∠B的度数是________．


12．古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m2－1，c=m2＋1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是____________．


13．木工师傅做了一个桌面，要求桌面为长方形，现量得桌面的长为60 cm，宽为32 cm，对角线的长为68 cm，则这个桌面________．(填“合格”或“不合格”)


14．一座垂直于两岸的桥长27米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头36米，则小船实际行驶了________米．


15．如图所示，把长方形纸片ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好都落在AD边上的点P处，若∠FPH=90°，PF=8，PH=6，则BC边的长为________．





16．我国数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3=15，则S2的值是________．





三、解答题


17．(6分)如图，△ABC中，D是BC上的一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.


(1)判断AD与BC的位置关系，并说明理由；


(2)求△ABC的面积．





























18．(6分)如图所示，在长方形ABCD中，AB=CD=24，AD=BC=50，E是AD上一点，且AE∶DE=9∶16，


判断△BEC的形状．




















19．(6分)如图，是某同学设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A处先往东走4 m，又往北走1.5 m，遇到障碍后又往西走2 m，再转向北走4.5 m处往东一拐，仅走0.5 m就到达了B处，则点A，B之间的距离是多少？














20．(6分)如图所示，有两根长杆隔河相对，一杆高3 m，另一杆高2 m，两杆相距5 m．两根长杆都与地面垂直，现两杆顶部各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮出一条小鱼，于是同时以同样的速度飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．求两杆底部距小鱼的距离各是多少米．(假设小鱼在此过程中保持不动)














21．(6分)如图，河边有A，B两个村庄，A村距河边10 m，B村距河边30 m，两村平行于河边方向的水平距离为30 m，现要在河边建一抽水站，需铺设管道抽水到A村和B村．


(1)求铺设管道的最短长度是多少，请画图说明；


(2)若铺设管道每米需要500元，则最低费用为多少？

















22.(6分)有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深AE=40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG=60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵．


(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注；


(2)试求小虫爬行的最短路程．



































23．(8分)如图，在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，设每个小正方形的边长均为1.


(1)如图①，A，B，C是三个格点(即小正方形的顶点)，判断AB与BC的位置关系，并说明理由；


(2)如图②，连接三格和两格的对角线，求∠α＋∠β的度数(要求：画出示意图，并说明理由)．


























24．(8分)八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品时的第一、二个步骤是：①如图，先裁下一张长BC=20 cm，宽AB=16 cm 的长方形纸片ABCD；②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．请你根据步骤①②解答下列问题：


(1)找出图中∠FEC的余角；


(2)求EC的长．








答案


1．C 2．B 3．C 4．A5．D 6．C 7．B 8．D 9.D10．D


11．60°


12．答案不唯一，如20，99，101 13．合格 14．45


15．24 16．5


17．解：(1)AD⊥BC.理由如下：


因为BD2＋AD2=62＋82=102=AB2，


所以△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，


所以AD⊥BC.


(2)在Rt△ACD中，因为CD2=AC2－AD2=172－82=152，所以CD=15，


所以S△ABC=eq \f(1,2)BC·AD=eq \f(1,2)(BD＋CD)·AD=eq \f(1,2)×21×8=84.


18．解：因为AD=50，AE∶DE=9∶16，所以AE=18，DE=32.


在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE2=AB2＋AE2=242＋182=900.


在Rt△CDE中，由勾股定理，得CE2=DE2＋CD2=322＋242=1600.


在△BCE中，因为BE2＋CE2=900＋1600=2500=502=BC2，所以△BEC是直角三角形．





19．解：如图，过点B作BC⊥AD于点C，由图可知AC=4－2＋0.5=2.5(m)，BC=4.5＋1.5=6(m)．在Rt△ABC中，AB2=AC2＋BC2=2.52＋62=42.25，所以AB=6.5(m)，即点A，B之间的距离是6.5 m.


20．解：由题意可知AB=2 m，CD=3 m，BC=5 m，AE=DE.


设BE=x m，则EC=(5－x)m.


在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2=AB2＋BE2.


在Rt△DCE中，由勾股定理，得DE2=CD2＋EC2.


所以AB2＋BE2=CD2＋EC2，即22＋x2=32＋(5－x)2，解得x=3，则5－x=2.


所以杆AB底部距小鱼3 m，杆CD底部距小鱼2 m.


21．解：(1)如图，过点A作AC⊥CE于点C，延长AC至点D，使CD=AC，连接BD，交河边于点E，连接AE，则抽水站应建在点E处，可使铺设的管道最短，最短长度为AE＋BE，即BD的长．


过点B作BF⊥AC于点F，





由题意得：AC=10 m，CF=30 m，BF=30 m，


所以CD=AC=10 m，


所以DF=10＋30=40(m)．


在Rt△BDF中，BD2=302＋402=502，


所以BD=50(m)．


即铺设管道的最短长度是50 m.


(2)最低费用为50×500=25000(元)．


22．解：(1)如图所示，AQ→QG为最短路线．


(2)因为AE=40 cm，AA′=120 cm，所以A′E=120－40=80(cm)．因为EG=60 cm，所以A′G2=A′E2＋EG2=802＋602=10000，所以A′G=100 cm，所以AQ＋QG=A′Q＋QG=A′G=100 cm，所以小虫爬行的最短路程为100 cm.





23．解：(1)AB⊥BC.理由：如图①，连接AC.由勾股定理可得AB2=12＋22=5，BC2=12＋22=5，AC2=12＋32=10，所以AB2＋BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形且∠ABC=90°，所以AB⊥BC.





(2)∠α＋∠β=45°.理由：如图②，由勾股定理得AB2=12＋22=5，BC2=12＋22=5，AC2=12＋32=10，所以AB2＋BC2=AC2，所以△ABC是直角三角形且∠ABC=90°.又因为AB=BC，所以△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC=45°，即∠α＋∠γ=45°.由图可知∠β=∠γ，所以∠α＋∠β=45°.


24．解：(1)∠CFE，∠BAF.


(2)由折叠的性质，得AF=AD=20 cm，EF=DE.设EC=x cm，则EF=DE=(16－x)cm.


在Rt△ABF中，BF2=AF2－AB2=202－162=144，所以BF=12(cm)，


所以FC=BC－BF=20－12=8(cm)．


在Rt△EFC中，由勾股定理，得EF2=FC2＋EC2，即(16－x)2=82＋x2，解得x=6，


所以EC的长为6 cm.