江苏省无锡江阴市2021届高三暑期作业开学检测 数学（word版含答案）

江阴市2020年暑假作业开学检测
高三数学2020. 8
注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则(▲)
A． B． C． D．
2.命题“”的否定是 (▲)
A． B．
C． D．
3.设，则 (▲)
A． B． C． D．
4．已知等差数列前9项的和为27，，则 (▲)
A. 100 B. 98 C. 99 D. 97
5．若非零向量、满足且，则与的夹角为 (▲)
A． B． C． D．
6．函数（）的图象大致为 (▲)
A． B．
C． D．
7.已知函数（e为自然对数的底数），若，，，则 (▲)
A． B．
C． D．
8．2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度.随着疫情发展，某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院，其占地是一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m的等腰三角形组成的图形（如图所示），为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为(▲)

A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. 给出下列命题，其中正确命题为 (▲)
A．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为4；
B．回归方程为时，变量x与y具有负的线性相关关系；
C．随机变量X服从正态分布，，则；
D．相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好
10. 下面的命题正确的有(▲)
A.方向相反的两个非零向量一定共线
B单位向量都相等
C.若,b满足||>|b|且与b同向,则>b;
D.“若A、B、C、D是不共线的四点，则＝”⇔“四边形ABCD是平行四边形”．
11.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是(▲)
A． B． C． D．
12．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有
A. B．函数在上为增函数
C. 直线要是函数图象的一条对称轴
D. 点是函数图象的一个对称中心.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第1空2分，第2空3分，共20分.
13.的展开式中，的系数是 ▲ ．
14.设曲线在点(0，1)处的切线与曲线上的点处的切线垂直，则点的坐标为 ▲ ．
15．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为 ▲ ．
16．已知长方体的顶点都在球的表面上，且，则球的表面积为 ▲ ．若与所成的角为，则与所成角的余弦值为 ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）
在平面四边形中，，，，．
(1)求；(2)若，求．

▲▲▲

18. （本小题满分10分）
已知等差数列满足
求数列的通项公式；设数列满足，求数列的前项和；

▲▲▲
19．（本小题满分10分）
第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
收看时间（单位：小时）






收看人数
14
30
16
28
20
12
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：

男
女
合计
体育达人
40


非体育达人

30

合计



并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率。
附表及公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
.
▲▲▲

20. （本小题满分12分）
如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．


▲▲▲

21. （本小题满分14分）
为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
个数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本直径的平均值μ＝65，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)：①P(μ－σ (2)将直径小于等于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品．
①从设备M的生产流水线上随机抽取2件零件，计算其中次品件数Y的数学期望E(Y)；
②从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数Z的概率分布列和数学期望E(Z).



▲▲▲



22. （本小题满分14分）
已知函数且的导函数为.
（1）求函数的极大值；
（2）若函数有两个零点，求a的取值范围。
























江阴市2020年暑假作业开学检测
高三数学答案
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以．故选A．
2. 命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 把量词“”改为“”，把结论否定，故选C．
3.设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，所以，故选C．
4．（原）已知等差数列前9项的和为27，，则（ ）
A. 100 B. 98 C. 99 D. 97
【答案】B
【解析】解：设的公差为d，
等差数列前9项的和为27，
．
，，
又，
，
．
故选B．
5．若非零向量、满足且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设与的夹角为，
由已知得：，，则，
，，，解得.
故选：C
6．函数（）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以是奇函数，故排除A、C；
因为，所以当时，，，所以，故排除D.
故选：B.
7. 已知函数（e为自然对数的底数），若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，∴
又在R上是单调递减函数，故.
故选:D.
8．2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度.随着疫情发展，某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院，其占地是一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m的等腰三角形组成的图形（如图所示），为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：设底角为，由三角形的面积公式可得4个等腰三角形的面积和为，
由余弦定理可得正方形边长为，
故正方形面积为，
所以所求占地面积为，
所以当，即时，占地面积最大，此时底角为，
故选D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ）
A．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为4；
B．回归方程为时，变量x与y具有负的线性相关关系；
C．随机变量X服从正态分布，，则；
D．相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好
【答案】B D
【解析】A．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为，故A错误；
B．回归方程为，可知，则变量x与y具有负的线性相关关系，B正确；
C．随机变量X服从正态分布，，
根据正态分布的对称性，所以，∴C错误；
D．相关指数来刻画回归的效果，值越大，
说明模型的拟合效果越好，因此D正确．
故选： B D
10. （原）下面的命题正确的有(　　 )
A.方向相反的两个非零向量一定共线
B单位向量都相等
C.若,b满足||>|b|且与b同向,则>b;
D.“若A、B、C、D是不共线的四点，则＝”⇔“四边形ABCD是平行四边形”．
【答案】AD
【解析】A因为方向相反的两个非零向量必定平行,所以方向相反的两个非零向量一定共线,故A是对的;
B.单位向量的大小相等,但方向不一定相同，故B是错的，
C.向量是有方向的量,不能比较大小,故C错误,
D .＝，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故D正确．
11.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由奇函数定义可知，A、B、D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；
对于选项A，，所以在上单调递增；
对于选项B，，所以在上单调递增；
对于选项D，是偶函数，所以错误。
故选：AB
12．已知的最小正周期为，则下列说法正确的有
A. B．函数在上为增函数
C. 直线要是函数图象的一条对称轴
D. 点是函数图象的一个对称中心.
【答案】BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第1空2分，第2空3分，共20分.
13. 的展开式中，的系数是________ .
【答案】207
【解析】由题可知：常数1和的五次项可以构成五次项，和的2次项构成5次项，故，所以的系数是252-45=207
14.（原）设曲线在点(0，1)处的切线与曲线上的点处的切线垂直，则点的坐标为________．
【答案】(1，1)
【解析】：y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－(m>0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1)．
15．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为________.

【答案】
【解析】由题意建立如图所示的直角坐标系，

因为，，则，，.
设，则，，
因为，所以，
解得，
由，得，
所以解得，所以.
16．已知长方体的顶点都在球的表面上，且，则球的表面积为______.若与所成的角为，则与所成角的余弦值为______.
【答案】 或
【解析】空1：如图，在长方体中，因为，所以.因为为球的一条直径，所以球的半径，所以球的表面积为.
空2：

因为与所成的角为，，所以或，
若，则.因为，所以.
又，所以为与所成的角（或补角）.在中，，.
由余弦定理可得，
若，所以有，
则，
同理可求得，所以与所成的余弦角为或.
故答案为：；或
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本题10分）在平面四边形中，，，，．
(1)求； (2)若，求．
【解析】(1)在中，由正弦定理得．
由题设知，，所以．--------------------3分
由题设知，，所以．--------------5分
(2)由题设及(1)知，． --------------------------7分
在中，由余弦定理得

． -------------------------------------9分
所以． -------------------------------------10分
18. 原（本题10分） 已知等差数列满足
求数列的通项公式；
设数列满足，求数列的前项和；
【解析】：（1）依题得，解得 ------------2分
--------------------4分
（2），
①
②
两式相减得： ----------------6分
==
， ------------------------------------9分
． ------------------------------------10分
19．（本题10分）第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
收看时间（单位：小时）






收看人数
14
30
16
28
20
12
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：

男
女
合计
体育达人
40


非体育达人

30

合计



并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.求抽取的这两人恰好是一男一女的概率。
附表及公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
.
【解析】（1）由题意得下表：

男
女
合计
体育达人
40
20
60
非体育达人
30
30
60
合计
70
50
120
-------------------------------------2分
的观测值为．-----------------4分
所以有的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关． -------------5分
（2）由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工， -------------7分
记“抽取的这两人恰好是一男一女”为时间A
--------------------------------------9分
答：抽取的这两人恰好是一男一女的概率为．-----------------10分
20.（本题12分） 如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【解析】




（1）在图的直角梯形中，中，因为，，是的中点，
所以,
连接，则四边形ABCE是菱形，
又因为，所以四边形ABCE是正方形。----------------------2分
所以．即在图2中，，．-------------------3分
又因为且，，是的中点
所以
所以四边形BCDE是平行四边形。
从而 ---------------------------------------------5分
所以，．
又因为
所以平面． --------------------------6分
（2）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，，．
所以为二面角的平面角，所以． ------------7分
如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
因为，
所以，，，．
得: ，
．
设平面的法向量，平面的法向量，
平面与平面夹角为，
则，得，取， -----------------9分
，得，取， ------------------11分
从而，
即平面与平面夹角的余弦值为．------------------------12分
21. 原（本题14分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/mm
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
个数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本直径的平均值μ＝65，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)：①P(μ－σ (2)将直径小于等于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品．
①从设备M的生产流水线上随机抽取2件零件，计算其中次品件数Y的数学期望E(Y)；
②从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数Z的概率分布列和数学期望E(Z).
【解析】(1)P(μ－σ0.6826，------------------1分
P(μ－2σ P(μ－3σ 因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙． -----------4分
(2)易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.
①由题意可知Y～B(2，)， -----------------------------6分
于是E(Y)＝2×＝. -------------------------------8分
②由题意可知Z的取值有0,1,2
-------------------------------9分
-------------------------------10分
-------------------------------11分
Z的概率分布列为：
Z
0
1
2
P



--------------------------------------------12分
故E(Z)＝0×＋1×＋2×＝. ----------------14分
22. 原（本题14分）已知函数且的导函数为.
（1）求函数的极大值；
（2）若函数有两个零点，求a的取值范围。
【解析】：-------2分
当时，，当时，，在单调递增
当时，，在单调递减 ---------------------4分
所以当时，有极大值. ----------------------6分
当时，由知在单调递增，在单调递减，有极大值，故若有两个零点，则必有 -------------------------8分
令，则在单调递增，所以，
所以， --------------------------10分
则当时， ------------------11分
， ------------------12分
又 ---------------------13分
所以在和各有一个零点，所以的取值范围为. --------------14分


欢迎访问“