初中人教版第二十五章 概率初步25.2 用列举法求概率教案

这是一份初中人教版第二十五章 概率初步25.2 用列举法求概率教案，共6页。教案主要包含了两个骰子的点数相同；等内容，欢迎下载使用。

课题
25.2 列举法求概率
课 型
新授课
课 时
1
教学


目标
知识与技能目标：学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。


过程与方法目标，经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。


情感与态度目标，通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。
教 学


重 点


难 点
教学重点：习运用列表法或树形图法计算事件的概率。


教学难点：能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。
教 学


准 备
多媒体
教





学





过





程
1.创设情景，发现新知


教材是通过P151—P152的例5、例6来介绍列表法和树形图法的。


例5（教材P151）：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：


(1) 两个骰子的点数相同；(2) 两个骰子的点数的和是9；(3) 至少有一个骰子的点数为2。


这个例题难度较大，事件可能出现的结果有36种。若首先就拿这个例题给学生讲解，大多数学生理解起来会比较困难。所以在这里，我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏（前一课已有例２作基础）。


（1）创设情景


引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。








1


6


8


A


4


5


7


B


图2 联欢晚会游戏转盘





























【设计意图】 选用这个引例，是基于以下考虑：以贴近学生生活的联欢晚会为背景，创设转盘游戏引入，能在最短时间内激发学生的兴趣，引起学生高度的注意力，进入情境。


（2）学生分组讨论，探索交流


在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即：


“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”


由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。此时我首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A、B两转盘， 即涉及2个因素，与前一课所讲授单转盘概率问题（教材P148例2）相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。怎样避免这个问题呢？


实际上，可以将这个游戏分两步进行。 于是，指导学生构造表格


（3）指导学生构造表格


A B
4
5
7

1




6




8




首先考虑转动A盘：指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会有3个。接着考虑转动B盘：当A盘指针指向1时，B盘指针可能指向4、5、7三个数字中的任意一个，这是列举法的简单情况。当A盘指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4、5、7三个数字中的任意一个。一共会产生9种不同的结果。


【设计意图】 这样既分散了难点，又激发了学生兴趣，渗透了转化的数学思想。


（4）学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论（即列表法）


A B
4
5
7

1
（1，4）
（1，5）
（1，7）

6
（6，4）
（6，5）
（6，7）

8
（8，4）
（8，5）
（8，7）

从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种。


∴P(A数较大)= , P(B数较大)=. ∴P(A数较大)＞ P(B数较大)


∴选择A装置的获胜可能性较大。


在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性。


由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举。即先转动Ａ盘，可能出现1，6，8三种结果；第二步考虑转动Ｂ盘，可能出现4，5，7三种结果。


1


6


8


开始


A装置


4


5


7


4


5


7


4


5


7


B装置


（5）解法二：























由图知：可能的结果为： （1，4），（1，5），（1，7），


（6，4），（6，5），（6，7），


（8，4），（8，5），（8，7）。共计9种。


∴P(A数较大)= , P(B数较大)=.


∴P(A数较大)＞ P(B数较大)


∴选择A装置的获胜可能性较大。


然后，引导学生对所画图形进行观察：若将图形倒置，你会联想到什么？这个图形很像一棵树，所以称为树形图（在幻灯片上放映）。列表和树形图是列举法求概率的两种常用的方法。


【设计意图】自然地学生感染了分类计数和分步计数思想。


2.自主分析，再探新知


通过引例的分析，学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这两种方法，我选用了下列两道例题（本节教材P151—P152的例5和例6）。


例1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：


(1) 两个骰子的点数相同；


(2) 两个骰子的点数的和是9；


(3) 至少有一个骰子的点数为2。


例1是教材上一道“掷骰子”的问题，有了引例作基础，学生不难发现：引例涉及两个转盘，这里涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。于是，学生通过类比列出下列表。





第2个


第1个
1
2
3
4
5
6

1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）

2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）

3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）

4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）

5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）

6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）

由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。由所列表格可以发现：


（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)==。


[满足条件的结果在表格的对角线上]


（2）满足两个骰子的点数的和是9（记为事件B）的结果有4个，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)==。


[满足条件的结果在（3，6）和（6，3）所在的斜线上]


（3）至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，所以P(C)=。


[满足条件的结果在数字2所在行和2所在的列上]


接着，引导学生进行题后小结：


当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。运用列表法求概率的步骤如下：


①列表 ；


②通过表格计数，确定公式P(A)=中m和n的值；


③利用公式P(A)=计算事件的概率。


分析到这里，我会问学生：“例1题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”，还可以使用列表法来做吗？”由此引出下一个例题。


例2： 甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中3个相同的球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H和I。从三个口袋中各随机地取出1个球。


（1）取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？


（2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？


例2与前面两题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到3个因素。此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树形图法。


本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。


A


C


D


E


H


I


H


I


H


I


B


C


D


E


H


I


H


I


H


I


甲


乙


丙


























从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即：


A


C


H


A


C


I


A


D


H


A


D


I


A


E


H


A


E


I


B


C


H


B


D


H


B


D


I


B


E


H


B


E


I


B


C


I














（幻灯片上用颜色区分）


这些结果出现的可能性相等。


（1）只有一个元音字母的结果（黄色）有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以；


有两个元音的结果（白色）有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以；


全部为元音字母的结果（绿色）只有1个，即AEI ，所以。


（2）全是辅音字母的结果（红色）共有2个，即BCH，BDH，所以。


通过例2的解答，很容易得出题后小结：


当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。运用树形图法


求概率的步骤如下：（幻灯片）


①画树形图 ；


②列出结果，确定公式P(A)=中m和n的值；


③利用公式P(A)=计算事件概率。


接着我向学生提问：到现在为止，我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况？ 列表法和画树形图法求概率有什么优越性？什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”更好呢？


【设计意图】 通过对上述问题的思考，可以加深学生对新方法的理解，更好的认识到列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息，有利于学生根据实际情况选择正确的方法。


3.应用新知，深化拓展


为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况，提高应用所学知识解决问题的能力，在此我选择了教材P154课后练习作为随堂练习。


（1）经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也可能向左或向右，如果这三种可能性大小相同。三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：


①三辆车全部继续前行；


②两辆车向右转，一辆车向左转；


③至少有两辆车向左转。


[随堂练习（1）是一道与实际生活相关的交通问题，可用树形图法来解决。]


（2）在6张卡片上分别写有1——6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？


通过解答随堂练习（2），学生会发现列出的表格和例1的表格完全一样。不同的是：变换了实际背景，设置的问题也不一样。这时，我提出：我们是否可以根据这个表格再编一道用列举法求概率的题目来呢？


为了进一步拓展思维，我向学生提出了这样一个问题，供学生课后思考：


在前面的引例中，转盘的游戏规则是不公平的，你能把它改成一个公平的游戏吗？


【设计意图】 以上问题的提出和解决有利于学生发现数学问题的本质，做到举一反三，融会贯通。



作 业





布 置
教材第139页～140页 习题第1～3题和第5题
课堂总结
本节课应掌握：


1．利用树状图法求概率．


2．什么时候用列表法，什么时候用树状图法，各自的应用特点：有两个元素且情况较多时用列表法，当有三个或三个以上元素时用树状图法．