2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.4.1~6.4.2　向量在物理中的应用举例

6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
学习目标　1.能用向量方法解决简单的几何问题.2.能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.3.培养学生运算能力，分析和解决实际问题的能力.

知识点一　向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
知识点二　向量方法解决物理问题的步骤
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
思考　物理问题中有哪些量是向量？它们与向量的哪些运算相关？
答案　物理中的向量：①物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法.③动量mv是数乘向量.④力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.

1.若△ABC为直角三角形，则有·＝0.(　×　)
2.若向量∥，则AB∥CD.(　×　)
3.功是力F与位移s的数量积.(　√　)
4.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.(　√　)

一、利用向量证明平面几何问题
例1　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.

证明　方法一　设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋，
＝＋＝b＋，
所以·＝·
＝－－a·b＋
＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
方法二　如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则＝(2,1)，＝(1，－2).

因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
反思感悟　用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤
(1)利用线性运算证明的四个步骤
①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何问题向量化.
(2)利用坐标运算证明的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把几何问题向量化.
跟踪训练1　已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，
(1)用，表示；
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形.
(1)解　因为2＋＝0，
所以2(－)＋(－)＝0，
2－2＋－＝0，
所以＝2－.
(2)证明　如图，＝＋＝－＋＝(2－).

故＝.即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形.
二、利用向量解决平面几何求值问题
例2　如图，已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||＝________.

答案　
解析　由题意知2＝＋，
因为＝5p＋2q，＝p－3q，
所以2＝＋＝6p－q，
所以2||＝|6p－q|
＝＝15，所以||＝.
反思感悟　(1)用向量法求长度的策略
①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.
②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝.
(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想
①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
跟踪训练2　在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是(　　)
A.2 B. C.3 D.
答案　B
解析　∵BC的中点为D，＝，
∴||＝.
三、向量在物理中的应用
例3　一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________ km/h.
答案　5
解析　如图所示，船速|v1|＝5 km/h，水流速度为v2，

实际航行方向v与水流方向v2成30°角，
∴|v2|＝＝5(km/h).
反思感悟　用向量解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型.
(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值.
(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象.
跟踪训练3　一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________.
答案　－40
解析　∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，
∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).
又∵＝(－1,4)，
∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，
即三个力的合力做的功等于－40.

1.在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC(　　)
A.是正三角形 B.是直角三角形
C.是等腰三角形 D.形状无法确定
答案　C
解析　(＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，∴CA＝CB，则△ABC是等腰三角形.
2.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　)
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
答案　A
解析　∵＝(3,3)，＝(－2，－2)，
∴＝－，∴与共线.
又||≠||，∴该四边形为梯形.
3.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　)
A.30° B.60° C.90° D.120°
答案　D
解析　作＝F1，＝F2，＝－G(图略)，
则＝＋，
当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，
所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.
4.在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋，则等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为＝＋，所以点D在AB边的中位线上，从而有S△ABD＝S△ABC.

5.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝________.

答案　1
解析　由已知得A(1,0)，C(0,1)，
所以＝(0,1)，＝(－1,1).
所以·＝1.

1.知识清单：
(1)平面几何中的向量方法.
(2)向量在物理中的应用.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：要注意选择恰当的基底.


1.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为(　　)
A.7 B.10 C.14 D.70
答案　D
解析　F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.
2.已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案　C
解析　＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，
＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，
·＝21－21＝0，∴⊥.
则∠A＝90°，
又||≠||，
∴△ABC为直角三角形.
3.点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高所在直线的交点
答案　D
解析　∵·＝·，∴(－)·＝0，
∴·＝0，∴OB⊥AC.
同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高所在直线的交点.
4.在Rt△ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于(　　)
A.2 B.1 C. D.4
答案　B
解析　∵＝＋(＋)，
∴－＝(＋)，＝(＋)，
∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.∴||＝1.
5.在四边形ABCD中，若＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)
A. B.2 C.5 D.10
答案　C
解析　∵·＝0，∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积
S＝||||＝××2＝5.
6.已知点A(1,1)，M(x，y)，且A与M不重合，若向量与向量a＝(1,2)垂直，则点M的坐标x，y之间的关系为________________.
答案　x＋2y－3＝0(x≠1)
解析　·a＝(x－1，y－1)·(1,2)＝x－1＋2y－2＝x＋2y－3＝0.
又A与M不重合，所以x≠1.
7.一条河宽为8 000 m，一船从A出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ h.
答案　0.5
解析　v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，

|v1|＝20，|v2|＝12，
∴|v|＝
＝＝16(km/h).
∴所需时间t＝＝0.5(h).
∴该船到达B处所需的时间为0.5 h.
8.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________.
答案　－
解析　如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，
∴C(2,1).
∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E，F(1,1)，
∴＋＝，＝(－2,1)，
∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－.
9.已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，求使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值.
解　∵＝－，
∴x2＋x＋－＝0，
即＝－x2－(x－1)，
∵A，B，C三点共线，
∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.
当x＝0时，x2＋x＋＝0，＝0，
此时B，C两点重合，不合题意，舍去.
故x＝－1.
10.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.
解　建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h，设帆船行驶的速度为v，则v＝v1＋v2.由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,10)，向量v2＝(20,0)，则v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)，所以|v|＝＝20(km/h).因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h.


11.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于(　　)

A. B.2
C.3 D.2
答案　B
解析　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.

设||＝a(a>0)，则A(0,0)，C(4，a)，
D(0，a)，E(2,0)，
所以＝(2，－a)，＝(4，a).
因为⊥，所以·＝0，
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8.
所以a＝2，所以＝(2，－2)，
所以||＝＝2.
12.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　)
A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5
答案　B
解析　如图，D为BC边的中点，

则＝(＋).
因为3－－＝0，
所以3＝2，所以＝，
所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.
13.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N.

答案　10
解析　设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，
且|F1|＝|F2|，F1＋F2＋G＝0.
∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，
∴每根绳子的拉力都为10 N.
14.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝________.

答案　－
解析　＝＋，＝＋，且＝－，
所以·＝(＋)·(＋)
＝2－2＝－1＝－.

15.在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点.
(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值.
解　(1)由题意得，＝(t－4,2)，＝(2，t)，
＝(6－t，t－2)，
若∠A＝90°，则·＝0，即2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2；
若∠B＝90°，则·＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，
∴t＝6±2；
若∠C＝90°，则·＝0，
即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解，
∴t的值为2或6±2.
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，
设点D的坐标为(x，y)，
即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，
∴即D(10－t，t－2)，
∴||＝＝，
∴当t＝6时，||取得最小值4.
16.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风吹向北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.
解　如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.可求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是 km/h.