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初中数学北师大版八年级上册2 定义与命题教学演示ppt课件
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这是一份初中数学北师大版八年级上册2 定义与命题教学演示ppt课件，共23页。PPT课件主要包含了素养目标，证实其他命题的正确性，演绎推理的过程叫证明，一些条件，其他公理，平角的定义，补角的定义，同角的补角相等，证明过程的注意事项，证明的书写格式等内容，欢迎下载使用。
如何证实一个命题是真命题呢？
用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.
这些方法往往并不可靠.
那已经知道的真命题又是如何证实的?
能不能根据已经知道的真命题证实呢?
1. 知道什么是公理，什么是定理，理解证明的概念.
2.了解真命题的证明、公理化思想，以及证明的出发点，通过具体事例感受证明的基本步骤和书写格式.
3. 理解证明要步步有据，培养学生养成科学严谨的学习态度.
了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例．1.原名:2.公理:3.证明:4.定理:
某些数学名词称为原名.
公认的真命题称为公理.
除了公理外,其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明.
经过证明的真命题称为定理.
经过证明的真命题叫定理
本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条:1.两点确定一条直线;2.两点之间线段最短;3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;8.三边分别相等的两个三角形全等.
等式的有关性质和不等式的有关性质（以后将会学到）都可以看作公理．“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”.这一性质也看作公理,简称为“等量代换”.
证明定理“对顶角相等”
如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD
∴ ∠AOB与∠COD都是平角( ).
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°.
∴ ∠AOC =∠BOD ( ).
∵直线AB与直线CD相交于点O ( )，
∠BOD＋∠AOD＝180°
( ).
根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据.
证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
证明定理 ：同角的补角相等.
已知：∠2是∠1的补角， ∠3是∠1的补角.
∴ ∠2＋∠1=180°( ).
∴ ∠2＝ 180°－∠1 ( ).
∵∠3是∠1的补角( ),
∴ ∠3＋∠1＝180°( ).
∴ ∠3＝ 180°－∠1 ( ).
∴ ∠2=∠3( ).
∵∠2是∠1的补角( ),
分析：要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的条件，图中∠1与∠3就是同位角.我们只要找到：能说明它们相等的条件就行了. 从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确切条件了.
例 如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行.
证明：∵∠2与∠3是对顶角∴∠3=∠2又∵∠1=∠2∴∠1=∠3∴AB∥CD
（同位角相等，两直线平行）.
如图所示，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截，在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并写出对应的推理过程①AB∥CD，②BE∥CF，③∠1＝∠2题设(已知): .…结论(求证)： ...
证明：∵AB∥CD∴∠ABC＝∠DCB又∵BE∥CF∴∠EBC＝∠FCB∵∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠FCB∴∠1＝∠2.
（两直线平行，内错角相等）.
（2019•武汉）如图，点A, B, C, D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．
解：∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D，∵∠A＝∠1，∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠ D﹣∠1，∴∠E＝∠F．
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ） A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
3.下列句子中，是定理的是（ ），是公理的是（ ）. A.若a=b，b=c，则a=c； B.对顶角相等; C.全等三角形的对应边相等，对应角相等.
4.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,求证∠ B+ ∠D=180°.证明： ∵ AB ∥ CD, ∴ ∠B= ∠C( ). ∵ CB ∥ DE, ∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ). ∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ).
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
5. 已知：b∥c， a⊥b ．
证明： ∵ a ⊥b（已知）,
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
又 b ∥ c（已知）,
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
填空已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：EG∥FH．证明：∵∠1=∠2（已知） ∠AEF=∠1 （ ）,∴∠AEF=∠2 （ ）．∴AB∥CD （ ）．∴∠BEF=∠CFE （ ）． ∵∠3=∠4（已知）,∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3,即∠GEF=∠HFE （ ）．∴EG∥FH （ ）．
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
内错角相等，两直线平行
证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)． 又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)， ∴∠GPQ＝ ∠BPQ,∠HQP＝ ∠CQP(角平分线的定义)， ∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)， ∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，求证PG∥HQ.
定理：经过证明的真命题
如何证实一个命题是真命题呢？
用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.
这些方法往往并不可靠.
那已经知道的真命题又是如何证实的?
能不能根据已经知道的真命题证实呢?
1. 知道什么是公理，什么是定理，理解证明的概念.
2.了解真命题的证明、公理化思想，以及证明的出发点，通过具体事例感受证明的基本步骤和书写格式.
3. 理解证明要步步有据，培养学生养成科学严谨的学习态度.
了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例．1.原名:2.公理:3.证明:4.定理:
某些数学名词称为原名.
公认的真命题称为公理.
除了公理外,其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明.
经过证明的真命题称为定理.
经过证明的真命题叫定理
本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条:1.两点确定一条直线;2.两点之间线段最短;3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）;5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;8.三边分别相等的两个三角形全等.
等式的有关性质和不等式的有关性质（以后将会学到）都可以看作公理．“在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”.这一性质也看作公理,简称为“等量代换”.
证明定理“对顶角相等”
如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD
∴ ∠AOB与∠COD都是平角( ).
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°.
∴ ∠AOC =∠BOD ( ).
∵直线AB与直线CD相交于点O ( )，
∠BOD＋∠AOD＝180°
( ).
根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据.
证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.
证明定理 ：同角的补角相等.
已知：∠2是∠1的补角， ∠3是∠1的补角.
∴ ∠2＋∠1=180°( ).
∴ ∠2＝ 180°－∠1 ( ).
∵∠3是∠1的补角( ),
∴ ∠3＋∠1＝180°( ).
∴ ∠3＝ 180°－∠1 ( ).
∴ ∠2=∠3( ).
∵∠2是∠1的补角( ),
分析：要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的条件，图中∠1与∠3就是同位角.我们只要找到：能说明它们相等的条件就行了. 从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确切条件了.
例 如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行.
证明：∵∠2与∠3是对顶角∴∠3=∠2又∵∠1=∠2∴∠1=∠3∴AB∥CD
（同位角相等，两直线平行）.
如图所示，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截，在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并写出对应的推理过程①AB∥CD，②BE∥CF，③∠1＝∠2题设(已知): .…结论(求证)： ...
证明：∵AB∥CD∴∠ABC＝∠DCB又∵BE∥CF∴∠EBC＝∠FCB∵∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠FCB∴∠1＝∠2.
（两直线平行，内错角相等）.
（2019•武汉）如图，点A, B, C, D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠1，CE∥DF，求证：∠E＝∠F．
解：∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D，∵∠A＝∠1，∴180°﹣∠ACE﹣∠A＝180°﹣∠D﹣∠1，又∵∠E＝180°﹣∠ACE﹣∠A，∠F＝180°﹣∠ D﹣∠1，∴∠E＝∠F．
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ） A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题
3.下列句子中，是定理的是（ ），是公理的是（ ）. A.若a=b，b=c，则a=c； B.对顶角相等; C.全等三角形的对应边相等，对应角相等.
4.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE ,求证∠ B+ ∠D=180°.证明： ∵ AB ∥ CD, ∴ ∠B= ∠C( ). ∵ CB ∥ DE, ∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ). ∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ).
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
5. 已知：b∥c， a⊥b ．
证明： ∵ a ⊥b（已知）,
∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
又 b ∥ c（已知）,
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
填空已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：EG∥FH．证明：∵∠1=∠2（已知） ∠AEF=∠1 （ ）,∴∠AEF=∠2 （ ）．∴AB∥CD （ ）．∴∠BEF=∠CFE （ ）． ∵∠3=∠4（已知）,∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3,即∠GEF=∠HFE （ ）．∴EG∥FH （ ）．
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
内错角相等，两直线平行
证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)． 又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)， ∴∠GPQ＝ ∠BPQ,∠HQP＝ ∠CQP(角平分线的定义)， ∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)， ∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)．
如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，求证PG∥HQ.
定理：经过证明的真命题
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