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北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率1 随机现象与随机事件1.4 随机事件的运算完美版课件ppt
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这是一份北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率1 随机现象与随机事件1.4 随机事件的运算完美版课件ppt，共35页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，探究一，探究二，探究三，探究四，素养形成，当堂检测等内容，欢迎下载使用。
同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y),你知道这个试验有多少种不同的结果吗?
一、现象的相关概念1.确定性现象:在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.2.随机现象:在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.名师点析随机现象的两个特点(1)结果至少有两种;(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
微练习以下现象是随机现象的是( )A.过了冬天就是春天B.物体只在重力作用下自由下落C.不共线的三点确定一个平面D.下一届奥运会中国获得100枚金牌
答案:D 解析:A,B,C均是确定性现象,D是随机现象.
二、样本空间1.试验:在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.2.样本空间:一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.3.样本点:样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.4.有限样本空间:如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
微练习连续抛掷2枚硬币,观察落地后这2枚硬币出现正面还是反面.(1)写出这个试验的样本空间;(2)求这个试验的样本点的总数.
解:(1)试验的样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.(2)样本点的总数是4.
三、随机事件1.随机事件:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件.常用A,B,C等表示.2.必然事件:样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.3.不可能事件:空集Φ也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称⌀为不可能事件.
名师点析(1)随机事件是指在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件.应注意:事件的结果是相对于条件而言的,所以必须明确何为事件发生的条件,何为此条件下产生的结果.(2)随机事件的“可能发生也可能不发生”并不是指没有任何规律地随意发生.
微练习在下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?(1)如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;(2)没有水分,种子发芽;(3)在标准大气压下,水的温度达到50 ℃时沸腾.
解:由定义可知三个事件都是随机事件.由实数运算性质知(1)恒成立,故(1)为必然事件.没有水分,种子不会发芽,在标准大气压下,水的温度达到50 ℃时不沸腾,故(2)(3)是不可能事件.
四、随机事件的运算1.交事件与并事件
2.互斥事件与对立事件
微拓展事件运算的性质(1)A∪B=B∪A.(2)并事件包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生.即A∪B表示事件A,B至少有一个发生.(3)A∩B或AB表示事件A与事件B同时发生.
微思考互斥事件与对立事件之间有什么关系?
提示:(1)根据对立事件的概念易知,若两个事件对立,则这两个事件是互斥事件;反之,若两个事件是互斥事件,则这两个事件未必是对立事件.(2)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B对立,则A与B互斥,而且A∪B是必然事件.
样本点与样本空间例1同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(1)写出这个试验的样本空间;(2)求这个试验的样本点的总数;(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点?分析根据题意可用列举法按照顺序列举出所有的样本点.
解:(1)试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.(2)样本点的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
反思感悟确定样本空间的方法1.必须明确事件发生的条件;2.根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
延伸探究同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面,写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的样本点.
解:“恰有一枚正面向上”这一事件包含3个样本点,分别是:(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正).
随机事件的概念及分类例2(1)以下的随机事件中不是必然事件的是( )A.标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×bC.走到十字路口,遇到红灯D.三角形内角和为180°(2)下列事件中,是必然事件的是( )A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数B.12个人中有两个人生肖相同C.买了一注彩票中一等奖D.实数a+b=b+a
答案: (1) C (2) D 解析:(1)在A中,标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾是必然事件,故A不符合题意;在B中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b是必然事件,故B不符合题意;在C中,走到十字路口,遇到红灯是随机事件但不是必然事件,故C符合题意;在D中,三角形内角和为180°是必然事件,故D不符合题意.(2)四个选项都是随机事件,但选项A,B,C中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,只有选项D总会发生,因此是必然事件.
反思感悟 (1)要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件,要从定义出发.(2)必然事件和不可能事件不具有随机性,但为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形,具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件.
变式训练1从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是( )A.3个都是篮球B.至少有1个是排球C.3个都是排球D.至少有1个是篮球
答案:C 解析:根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.
互斥事件与对立事件的判定例3某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”.分析紧扣互斥事件与对立事件的定义判断.
解:从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,1男1女.(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
反思感悟互斥事件和对立事件的判定方法利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有样本点,看它们能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
变式训练2把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A.对立事件 B. 不可能事件C.互斥但不对立事件 D. 以上答案都不对
答案:C 解析:“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.故选C.
事件的运算例4盒子里有质地相同的6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={有1个红球、2个白球},事件B={有2个红球、1个白球},事件C={至少有1个红球},事件D={既有红球又有白球}.(1)事件D与A,B是什么运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?
解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球、2个白球,或2个红球、1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球,或者2个红球、1个白球,或者3个均为红球,故C∩A=A.
反思感悟事件间运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
变式训练3在本例中,设事件E={3个红球},事件F={至少有一个白球},那么事件C与A,B,E是什么运算关系?C与F的交事件是什么?
解:分析可得C=A∪B∪E,C∩F=A∪B.
确定样本空间的方法典例 写出下列试验的样本空间.(1)同时抛掷三颗骰子,记录三颗骰子之和;(2)从一批产品中,任选三件,记录出现正品(记作N)与次品(记作D)的情况.
解: (1)抛掷三颗骰子,其样本空间为:Ω={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}.(2)抽取一批产品,其样本空间为:Ω={NNN,NND,NDN,DNN,NDD,DDN,DND,DDD}.
方法点睛确定样本空间时,首先要确定样本点的个数,当样本点个数较多时,可借助图形观察,如树状图,当样本点个数较少时,可利用分类写法,依次一一列举出来,写出样本空间.
1.下列现象:①当x是实数时,x-|x|=2;②某班一次数学测试,及格率低于75%;③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团是偶数;④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机现象的是( )A.①②③B.①③④C. ②③④D.①②④
答案:C 解析:由随机现象的定义知②③④正确.
2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,则必然事件是( )A.3件都是正品B.至少有1件次品C.3件都是次品D.至少有1件正品
答案:D 解析:从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,选项A:3件都是正品是随机事件,A错误;选项B:至少有1件次品是随机事件,B错误;选项C:3件都是次品是不可能事件,C错误;选项D:至少有1件正品是必然事件,D正确,故选D.
3.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则( )A.A∩B=⌀B.A=BC.A+B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3
答案:C 解析:设A={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3,故选C.
4.已知事件M“3粒种子全部发芽”,事件N“3粒种子都不发芽”,那么事件M和N是( )A.互斥且对立事件B.不是互斥事件C.互斥但不对立事件D.对立事件
答案:C 解析:事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生,故事件M和事件N互斥,而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”,有可能1个不发芽,也有可能2个不发芽,也有可能3个不发芽,故事件M和事件N不对立,故事件M和事件N互斥不对立.故选C.
同时转动如图所示的两个转盘,记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y,结果为(x,y),你知道这个试验有多少种不同的结果吗?
一、现象的相关概念1.确定性现象:在一定条件下必然出现的现象,称为确定性现象.2.随机现象:在一定条件下,进行试验或观察会出现不同的结果,而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象,称为随机现象.名师点析随机现象的两个特点(1)结果至少有两种;(2)事先并不知道会出现哪一种结果.
微练习以下现象是随机现象的是( )A.过了冬天就是春天B.物体只在重力作用下自由下落C.不共线的三点确定一个平面D.下一届奥运会中国获得100枚金牌
答案:D 解析:A,B,C均是确定性现象,D是随机现象.
二、样本空间1.试验:在概率与统计中,把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验,一般用E表示,把观察结果或实验结果称为试验结果.2.样本空间:一般地,将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间,记作Ω.3.样本点:样本空间Ω的元素,即试验E的每种可能结果,称为试验E的样本点,记作ω.4.有限样本空间:如果样本空间Ω的样本点的个数是有限的,那么称样本空间Ω为有限样本空间.
微练习连续抛掷2枚硬币,观察落地后这2枚硬币出现正面还是反面.(1)写出这个试验的样本空间;(2)求这个试验的样本点的总数.
解:(1)试验的样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}.(2)样本点的总数是4.
三、随机事件1.随机事件:一般地,把试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件.常用A,B,C等表示.2.必然事件:样本空间Ω是其自身的子集,因此Ω也是一个事件;又因为它包含所有的样本点,每次试验无论哪个样本点ω出现,Ω都必然发生,因此称Ω为必然事件.3.不可能事件:空集Φ也是Ω的一个子集,可以看作一个事件;由于它不包含任何样本点,它在每次试验中都不会发生,故称⌀为不可能事件.
名师点析(1)随机事件是指在一定条件下可能发生,也可能不发生的事件.应注意:事件的结果是相对于条件而言的,所以必须明确何为事件发生的条件,何为此条件下产生的结果.(2)随机事件的“可能发生也可能不发生”并不是指没有任何规律地随意发生.
微练习在下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?(1)如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;(2)没有水分,种子发芽;(3)在标准大气压下,水的温度达到50 ℃时沸腾.
解:由定义可知三个事件都是随机事件.由实数运算性质知(1)恒成立,故(1)为必然事件.没有水分,种子不会发芽,在标准大气压下,水的温度达到50 ℃时不沸腾,故(2)(3)是不可能事件.
四、随机事件的运算1.交事件与并事件
2.互斥事件与对立事件
微拓展事件运算的性质(1)A∪B=B∪A.(2)并事件包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生.即A∪B表示事件A,B至少有一个发生.(3)A∩B或AB表示事件A与事件B同时发生.
微思考互斥事件与对立事件之间有什么关系?
提示:(1)根据对立事件的概念易知,若两个事件对立,则这两个事件是互斥事件;反之,若两个事件是互斥事件,则这两个事件未必是对立事件.(2)对立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B对立,则A与B互斥,而且A∪B是必然事件.
样本点与样本空间例1同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(1)写出这个试验的样本空间;(2)求这个试验的样本点的总数;(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点?分析根据题意可用列举法按照顺序列举出所有的样本点.
解:(1)试验的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}.(2)样本点的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
反思感悟确定样本空间的方法1.必须明确事件发生的条件;2.根据题意,按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的,按规律去写,要做到既不重复也不遗漏.
延伸探究同时掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面,写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的样本点.
解:“恰有一枚正面向上”这一事件包含3个样本点,分别是:(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正).
随机事件的概念及分类例2(1)以下的随机事件中不是必然事件的是( )A.标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾B.长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×bC.走到十字路口,遇到红灯D.三角形内角和为180°(2)下列事件中,是必然事件的是( )A.任意买一张电影票,座位号是2的倍数B.12个人中有两个人生肖相同C.买了一注彩票中一等奖D.实数a+b=b+a
答案: (1) C (2) D 解析:(1)在A中,标准大气压下,水加热到100 ℃,必会沸腾是必然事件,故A不符合题意;在B中,长和宽分别为a,b的矩形,其面积为a×b是必然事件,故B不符合题意;在C中,走到十字路口,遇到红灯是随机事件但不是必然事件,故C符合题意;在D中,三角形内角和为180°是必然事件,故D不符合题意.(2)四个选项都是随机事件,但选项A,B,C中的事件都不确定发生,因此都不是必然事件,只有选项D总会发生,因此是必然事件.
反思感悟 (1)要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件,要从定义出发.(2)必然事件和不可能事件不具有随机性,但为了统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的特殊情形,具有随机性的和不具有随机性的事件都可以理论上认为是随机事件.
变式训练1从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事件是( )A.3个都是篮球B.至少有1个是排球C.3个都是排球D.至少有1个是篮球
答案:C 解析:根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.
互斥事件与对立事件的判定例3某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件:(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”.分析紧扣互斥事件与对立事件的定义判断.
解:从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名女生,1男1女.(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所以它们不是对立事件.(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全是男生”可能同时发生,所以它们不是互斥事件.(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,所以它们互斥,由于它们必有一个发生,所以它们是对立事件.(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果,当选出的是1男1女时,“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生,所以它们不是互斥事件.
反思感悟互斥事件和对立事件的判定方法利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有样本点,看它们能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
变式训练2把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )A.对立事件 B. 不可能事件C.互斥但不对立事件 D. 以上答案都不对
答案:C 解析:“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生,但分得红牌的还可能是丙或丁,所以不是对立事件.故选C.
事件的运算例4盒子里有质地相同的6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={有1个红球、2个白球},事件B={有2个红球、1个白球},事件C={至少有1个红球},事件D={既有红球又有白球}.(1)事件D与A,B是什么运算关系?(2)事件C与A的交事件是什么事件?
解:(1)对于事件D,可能的结果为1个红球、2个白球,或2个红球、1个白球,故D=A∪B.(2)对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球,或者2个红球、1个白球,或者3个均为红球,故C∩A=A.
反思感悟事件间运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
变式训练3在本例中,设事件E={3个红球},事件F={至少有一个白球},那么事件C与A,B,E是什么运算关系?C与F的交事件是什么?
解:分析可得C=A∪B∪E,C∩F=A∪B.
确定样本空间的方法典例 写出下列试验的样本空间.(1)同时抛掷三颗骰子,记录三颗骰子之和;(2)从一批产品中,任选三件,记录出现正品(记作N)与次品(记作D)的情况.
解: (1)抛掷三颗骰子,其样本空间为:Ω={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}.(2)抽取一批产品,其样本空间为:Ω={NNN,NND,NDN,DNN,NDD,DDN,DND,DDD}.
方法点睛确定样本空间时,首先要确定样本点的个数,当样本点个数较多时,可借助图形观察,如树状图,当样本点个数较少时,可利用分类写法,依次一一列举出来,写出样本空间.
1.下列现象:①当x是实数时,x-|x|=2;②某班一次数学测试,及格率低于75%;③从分别标有0,1,2,3,…,9这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团是偶数;④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机现象的是( )A.①②③B.①③④C. ②③④D.①②④
答案:C 解析:由随机现象的定义知②③④正确.
2.从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,则必然事件是( )A.3件都是正品B.至少有1件次品C.3件都是次品D.至少有1件正品
答案:D 解析:从含有8件正品、2件次品的10件产品中,任意抽取3件,选项A:3件都是正品是随机事件,A错误;选项B:至少有1件次品是随机事件,B错误;选项C:3件都是次品是不可能事件,C错误;选项D:至少有1件正品是必然事件,D正确,故选D.
3.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则( )A.A∩B=⌀B.A=BC.A+B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3
答案:C 解析:设A={1,2},B={2,3},A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3,故选C.
4.已知事件M“3粒种子全部发芽”,事件N“3粒种子都不发芽”,那么事件M和N是( )A.互斥且对立事件B.不是互斥事件C.互斥但不对立事件D.对立事件
答案:C 解析:事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生,故事件M和事件N互斥,而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”,有可能1个不发芽,也有可能2个不发芽,也有可能3个不发芽,故事件M和事件N不对立,故事件M和事件N互斥不对立.故选C.
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