高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 指数函数的概念优秀课件ppt

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第1课时　指数函数的概念、图象与性质
当有机体生存时,会因呼吸、进食等不断地从外界摄入碳14,最终体内碳14与碳12的比值会达到与环境一致(该比值基本不变),当有机体死亡后,碳14的摄入停止,之后体中碳14因衰变就会逐渐减少,通过测定碳14与碳12的比值就可以测定该生物的死亡年代.已知碳14的半衰期(消耗一半所花费的时间)为5 730年,你能用函数表示有机体内的碳14与其死亡时间之间的关系吗?
一、指数函数的概念1.形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数称为指数函数.其中x是自变量,且x∈R.即定义域为R,值域为(0,+∞).2.指数函数的图象过定点(0,1).名师点析1.当x=0时,y=a0=1,即指数函数的图象过定点(0,1);若a=1,指数函数y=ax即为y=1,图象为经过点(0,1)与x轴平行的直线.所以图象过定点(0,1).2.根据指数函数的定义,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数才叫指数函数,如
微思考指数函数中,为什么要规定a>0,且a≠1?
如果a=0,那么当x>0时,ax=0,当x≤0时,ax无意义;如果a=1,y=1x=1是个常数函数,没有研究的必要.所以规定a>0,且a≠1,此时x可以是任意实数.
二、指数函数的图象和性质1.指数函数的图象和性质
2.函数y=ax和y=bx函数值的大小关系
名师点析1.指数函数的图象,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,所以指数函数既不是奇函数,也不是偶函数.2.指数函数的图象永远在x轴的上方.底数越大,图象越高,简称“底大图高”.
微判断(1)指数函数y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函数.(　　)(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函数,也不是偶函数.(　　)(3)所有的指数函数图象过定点(0,1).(　　)(4)函数y=a|x|与函数y=|ax|的图象是相同的.(　　)
答案: (1)×　(2)√　(3)√　(4)×
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
微练习1若指数函数y=(a-2)x是R上的单调增函数,则实数a的取值范围是　　　　　. 微练习2函数y=2-x的图象是(　　)
答案: (3,+∞)　 解析:由函数y=(a-2)x是R上的单调增函数,得a-2>1,即a>3.
指数函数的概念例1(1)若指数函数f(x),满足f(2)-f(1)=6,则f(3)=　　　　　; (2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.
答案: (1)27　解析:设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则a2-a=6,得a=-2(舍去)或a=3,于是f(3)=33=27.
反思感悟1.判断一个函数是不是指数函数的方法:(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,且a≠1,x∈R)这一结构形式.(2)明特征:指数函数的解析式具备的三个特征,只要有一个特征不具备,则不是指数函数.2.已知某个函数是指数函数,求参数值的步骤:(1)列:依据指数函数解析式所具备的三个特征,列出方程(组)或不等式(组).(2)解解所列的方程(组)或不等式(组),求出参数的值或范围.
变式训练1下列函数,一定是指数函数的是　　　　　.(填序号) 
答案:①⑥　解析:①y=5x符合指数函数的定义,是指数函数;②y=4x-1中,指数是x-1而非x,不是指数函数;③y=-3x中,系数是-1而非1,不是指数函数;
⑦y=(a+3)x中,底数a+3不一定满足“大于0,且不等于1”的条件,不一定是指数函数.
指数函数的图象及应用1.图象过定点问题例2已知函数f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标是　　　　　. 
答案: (-1,4)　解析:∵当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒过点(-1,4).
反思感悟指数型函数图象过定点问题的解法因为函数y=ax(a>0且a≠1)的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
延伸探究本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4呢?
2.画指数型函数的图象例3画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎样的变换得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.分析作出函数y=2x的图象,利用平移变换与对称变换求解.
解:(1)如图①,y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位长度得到的.(2)如图①,y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位长度得到的.(3)如图①,y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.(4)函数y=2|x|为偶函数,图象关于y轴对称,且其在x≥0上的图象与y=2x的图象一致,可得y=2|x|的图象如图②所示.
反思感悟变换作图法及注意点(1)平移变换及对称变换:
(2)翻折变换:①将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,替代原x轴下方部分,并保留y=f(x)的图象在x轴上及其上方部分即可得到函数y=|f(x)|的图象.②将函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分沿y轴翻折到y轴左侧,替代原y轴左侧部分,并保留y=f(x)的图象在y轴上及其右侧的部分即可得到函数y=f(|x|)的图象.(3)利用变换作图法作图要注意以下两点:①选择哪个指数函数作为起始函数;②要注意平移的方向及单位长度.
变式训练2函数y= 的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?
3.函数图象的识别例4如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是 (　　)A.a答案:B　解析:(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底数越小,图象向下越靠近x轴,故有b反思感悟指数函数图象的特点指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即底数,由此可得底数的大小.
变式训练3若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则必有(　　)A.00B.01,b<0D.a>1,b>0
答案:D　解析:由指数函数y=ax图象的性质知函数y=ax的图象过第一、二象限,且恒过点(0,1),而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的图象向下平移(b+1)个单位长度得到的,如图,故若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、三、四象限,则a>1,且b+1>1,从而a>1,且b>0.故选D.
利用指数函数单调性比较幂值大小例5比较下列各题中两个值的大小:
解:(1)(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.又3<5.7,∴2.53<
(3)(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.
反思感悟比较幂的大小的常用方法
延伸探究比较下面两个数的大小:(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解:因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0(a-1)2.4.故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1(a-1)2.4.
数形结合思想——指数函数图象的应用典例若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,求实数a的取值范围.
反思感悟在运用指数型函数的图象求解相关问题时,要注意已知函数与指数函数的联系,把握图象的特点,抓住特殊点,巧用函数图象的平移和对称变换规律,结合函数的性质进行求解.特别是在图象变换时,要注意渐近线的相应变化.如本题中,就容易忽视渐近线问题,即没有考虑直线y=2的限制,而得出2a>1的错误结论.
变式训练(2020陕西师大附中高一月考)方程2x+x2-2=0的实数根有　　　　　个. 
答案:2　解析:原方程可化为2x=-x2+2,设函数f(x)=2x,g(x)=-x2+2,在同一个平面直角坐标系中分别作出两个函数的图象,如图所示.
则由两个函数的图象有两个交点,得方程2x+x2-2=0有两个不同的实数根.
1.给出下列函数:①y=x3;②y=-2x;③y=2x;④y=2x+1;⑤y=3·2x,其中是指数函数的个数是(　　)A.1B.2C.3D.4
答案:A　解析:指数函数是形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数,故只有y=2x是指数函数,所以正确选项为A.
2.若函数f(x)=(m-2)·mx是指数函数,则f(-2)=(　　)
A.a>b>cB.a解析:因为函数y=0.5x是R上的减函数,
4.函数f(x)=7+ax-1(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,则定点P的坐标为(　　)A.(1,7)B.(1,8)C.(0,1)D.(0,7)
答案:B　解析:∵a0=1,f(1)=7+a1-1=8,故函数恒过点P(1,8),所以正确选项为B.