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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念精品课件ppt
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念精品课件ppt，共40页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，0+∞，无理数e，探究一，探究二，探究三，探究四，探究五，素养形成等内容，欢迎下载使用。
第1课时 对数函数的概念、图象与性质
某种细胞进行分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……,则1个这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y如何表示?反之,如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞,该如何求解x的值呢?
一、对数函数1.对数函数的概念(1)一般地,函数 叫作对数函数,其中a称为 ,由定义可知,对数函数具有以下基本性质:①定义域是 ;②图象过定点 . (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数.两者的定义域与值域正好互换.2.两种特殊的对数函数以 为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;以 为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x.
y=lgax(a>0,且a≠1)
名师点析1.判断一个函数是不是对数函数的依据:(1)形如y=lgax;(2)底数a满足a>0,且a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数.2.根据指数式与对数式的关系知,y=lgax可化为ay=x,由指数函数的性质,可知在对数函数中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R.3.同底的指数函数与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域.
微练习(1)下列函数是对数函数的是( )A.y=lgax+2(a>0,且a≠1,x>0)
微拓展1.若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图象上;反之亦然.2.单调函数的反函数与原函数有相同的单调性.3.若一个奇函数存在反函数,则这个反函数也是奇函数.
二、对数函数y=lgax(a>0,a≠1)的图象和性质
名师点析1.对数函数的图象都在y轴的右侧,y轴可以看成对数函数图象的渐近线,x的取值越接近于0,图象越接近y轴.2.对数函数函数值的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.3.两个底数都大于1的对数函数,图象在第一象限内越接近x轴,底数越大;两个底数都大于0小于1的对数函数,图象在第四象限内越接近x轴,底数越小.
微练习(1)(多选题)若函数y=lgax的图象如图所示,则a的值不可能是( )A.0.5 B.2C.e D.π
(2)下列函数中,在区间(0,+∞)上不单调递增的是( )A.y=5x B.y=lg x+2C.y=x2+1
(3)函数f(x)=lga(x-2)的图象必经过定点 .
答案:(1)BCD (2)D (3)(3,0)
解析:(1)∵函数y=lgax在(0,+∞)上单调递减,∴0
①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.分析(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解即可;(2)根据已知设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数,然后利用指对互化解方程.
(1) 答案: 2 解析:由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.
反思感悟1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可.
变式训练1(1)若函数f(x)=lg(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= . (2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n= .
解得a=4.(2)设对数函数为f(x)=lgax(a>0,且a≠1).则由题意可得f(8)=-3,即lga8=-3,
指数函数与对数函数关系的应用例2(2020四川宜宾高一检测)已知函数f(x)=lg2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=( )A.1B.2C.3D.4
答案:B 解析:∵g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=2x.∴g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=lg24=2.
反思感悟涉及指数函数和对数函数互为反函数的问题,一定注意前提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数.
变式训练2已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=lg2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=( )A.-7B.-9C.-11D.-13
答案:C 解析:由题意知f(x)=2x,所以当x>0时,g(x)=2x+x2.又∵g(x)为奇函数,∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.∴g(-1)+g(-2)=-11.
与对数函数有关的定义域、值域问题例3(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1)D.[0,1](2)已知函数f(x)=2l x的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是 .
解析: (1)由题意得x2-x>0,解得x>1或x<0,故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.
反思感悟定义域问题注意事项(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式被开方式大于或等于零等.(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
对数函数的图象例4函数y=lg2x,y=lg5x,y=lg x的图象如图所示.(1)指出三个函数分别对应于哪个图象,并说明理由;
(3)从(2)的图中你发现了什么?
解:(1)①对应函数y=lg x,②对应函数y=lg5x,③对应函数y=lg2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出
反思感悟对数函数图象的变化规律:1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即各函数的底数,如图所示.
变式训练3作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解:先画出函数y=lg x的图象(如图①).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).
由图易知函数的定义域为在区间(1,+∞),值域为[0,+∞),函数在区间(1,2]上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.
利用对数函数的性质比较大小例5比较下列各组中两个值的大小:(1)lg31.9,lg32;(2)lg23,lg0.32;(3)lgaπ,lga3.141(a>0,且a≠1).
分析(1)构造函数f(x)=lg3x,利用其单调性比较大小;(2)分别比较两个对数与0的大小;(3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小.
解:(1)(单调性法)因为f(x)=lg3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)lg21=0,lg0.32lg0.32.(3)(分类讨论法)当a>1时,函数y=lgax在定义域内是增函数,则有lgaπ>lga3.141;当01时,lgaπ>lga3.141;当0
变式训练4比较下列各组中两个值的大小:(1)ln 0.3,ln 2;(2)lga3.1,lga5.2(a>0,且a≠1);(3)lg30.2,lg40.2;(4)lg3π,lgπ3.
解:(1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln 0.31时,函数y=lgax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以lga3.1lga5.2.故当a>1时,lga3.1lga5.2.
(3)(方法一)因为0>lg0.23>lg0.24,
(方法二)画出y=lg3x与y=lg4x的图象,如图所示,由图可知lg40.2>lg30.2.(4)因为函数y=lg3x在定义域内是增函数,且π>3,所以lg3π>lg33=1.同理,1=lgππ>lgπ3,所以lg3π>lgπ3.
互为反函数的两个函数图象间的关系我们知道,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数.它们的图象有什么关系呢?下面,请你运用所学的数学知识和计算工具,探索几个问题,亲自发现其中的奥秘吧!(1)在同一直角坐标系中,画出指数函数y=2x及其反函数y=lg2x的图象.你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗?(2)取y=2x图象上的几个点,如P1 ,P2(0,1),P3(1,2),P1,P2,P3关于直线y=x的对称点的坐标是什么?它们在y=lg2x的图象上吗?为什么?
(3)如果点P0(x0,y0)在函数y=2x的图象上,那么P0关于直线y=x的对称点在函数y=lg2x的图象上吗?为什么?(4)根据上述探究过程,你可以得到什么结论?(5)上述结论对于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)及其反函数y=lgax(a>0,且a≠1)也成立吗?为什么?
答案:(1)y=2x与y=lg2x的图象关于直线y=x对称.(2)点P1,P2,P3关于直线y=x的对称点的坐标分别为
(4)y=2x与y=lg2x的图象关于直线y=x对称.
A.[-1,3)B.(-1,3)C.(-1,3]D.[-1,3]
A.[-1,0] B.[0,1]C.[1,+∞)D.(-∞,-1]
A.y
答案: (2,2) 解析:令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,∴f(x)的图象恒过定点(2,2).
答案:b>a>c 解析:因为f(x)=lg0.2x在定义域内为减函数,且0.2<0.3<1<4,所以lg0.20.2>lg0.20.3>lg0.21>lg0.24,即1>a>0>c.同理lg26>lg22=1,所以b>a>c.
第1课时 对数函数的概念、图象与性质
某种细胞进行分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……,则1个这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y如何表示?反之,如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞,该如何求解x的值呢?
一、对数函数1.对数函数的概念(1)一般地,函数 叫作对数函数,其中a称为 ,由定义可知,对数函数具有以下基本性质:①定义域是 ;②图象过定点 . (2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数.两者的定义域与值域正好互换.2.两种特殊的对数函数以 为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lg x;以 为底的对数函数为自然对数函数,记作y=ln x.
y=lgax(a>0,且a≠1)
名师点析1.判断一个函数是不是对数函数的依据:(1)形如y=lgax;(2)底数a满足a>0,且a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数.2.根据指数式与对数式的关系知,y=lgax可化为ay=x,由指数函数的性质,可知在对数函数中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R.3.同底的指数函数与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域.
微练习(1)下列函数是对数函数的是( )A.y=lgax+2(a>0,且a≠1,x>0)
微拓展1.若函数y=f(x)图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其反函数图象上;反之亦然.2.单调函数的反函数与原函数有相同的单调性.3.若一个奇函数存在反函数,则这个反函数也是奇函数.
二、对数函数y=lgax(a>0,a≠1)的图象和性质
名师点析1.对数函数的图象都在y轴的右侧,y轴可以看成对数函数图象的渐近线,x的取值越接近于0,图象越接近y轴.2.对数函数函数值的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.3.两个底数都大于1的对数函数,图象在第一象限内越接近x轴,底数越大;两个底数都大于0小于1的对数函数,图象在第四象限内越接近x轴,底数越小.
微练习(1)(多选题)若函数y=lgax的图象如图所示,则a的值不可能是( )A.0.5 B.2C.e D.π
(2)下列函数中,在区间(0,+∞)上不单调递增的是( )A.y=5x B.y=lg x+2C.y=x2+1
(3)函数f(x)=lga(x-2)的图象必经过定点 .
答案:(1)BCD (2)D (3)(3,0)
解析:(1)∵函数y=lgax在(0,+∞)上单调递减,∴0
①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.分析(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解即可;(2)根据已知设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数,然后利用指对互化解方程.
(1) 答案: 2 解析:由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.
反思感悟1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可.
变式训练1(1)若函数f(x)=lg(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a= . (2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n= .
解得a=4.(2)设对数函数为f(x)=lgax(a>0,且a≠1).则由题意可得f(8)=-3,即lga8=-3,
指数函数与对数函数关系的应用例2(2020四川宜宾高一检测)已知函数f(x)=lg2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=( )A.1B.2C.3D.4
答案:B 解析:∵g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=2x.∴g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=lg24=2.
反思感悟涉及指数函数和对数函数互为反函数的问题,一定注意前提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数.
变式训练2已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=lg2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=( )A.-7B.-9C.-11D.-13
答案:C 解析:由题意知f(x)=2x,所以当x>0时,g(x)=2x+x2.又∵g(x)为奇函数,∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.∴g(-1)+g(-2)=-11.
与对数函数有关的定义域、值域问题例3(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为( )A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1)D.[0,1](2)已知函数f(x)=2l x的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是 .
解析: (1)由题意得x2-x>0,解得x>1或x<0,故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.
反思感悟定义域问题注意事项(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式被开方式大于或等于零等.(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.
对数函数的图象例4函数y=lg2x,y=lg5x,y=lg x的图象如图所示.(1)指出三个函数分别对应于哪个图象,并说明理由;
(3)从(2)的图中你发现了什么?
解:(1)①对应函数y=lg x,②对应函数y=lg5x,③对应函数y=lg2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出
反思感悟对数函数图象的变化规律:1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即各函数的底数,如图所示.
变式训练3作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解:先画出函数y=lg x的图象(如图①).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).
由图易知函数的定义域为在区间(1,+∞),值域为[0,+∞),函数在区间(1,2]上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.
利用对数函数的性质比较大小例5比较下列各组中两个值的大小:(1)lg31.9,lg32;(2)lg23,lg0.32;(3)lgaπ,lga3.141(a>0,且a≠1).
分析(1)构造函数f(x)=lg3x,利用其单调性比较大小;(2)分别比较两个对数与0的大小;(3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小.
解:(1)(单调性法)因为f(x)=lg3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)
变式训练4比较下列各组中两个值的大小:(1)ln 0.3,ln 2;(2)lga3.1,lga5.2(a>0,且a≠1);(3)lg30.2,lg40.2;(4)lg3π,lgπ3.
解:(1)因为函数y=ln x在定义域内是增函数,且0.3<2,所以ln 0.3
(3)(方法一)因为0>lg0.23>lg0.24,
(方法二)画出y=lg3x与y=lg4x的图象,如图所示,由图可知lg40.2>lg30.2.(4)因为函数y=lg3x在定义域内是增函数,且π>3,所以lg3π>lg33=1.同理,1=lgππ>lgπ3,所以lg3π>lgπ3.
互为反函数的两个函数图象间的关系我们知道,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数.它们的图象有什么关系呢?下面,请你运用所学的数学知识和计算工具,探索几个问题,亲自发现其中的奥秘吧!(1)在同一直角坐标系中,画出指数函数y=2x及其反函数y=lg2x的图象.你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗?(2)取y=2x图象上的几个点,如P1 ,P2(0,1),P3(1,2),P1,P2,P3关于直线y=x的对称点的坐标是什么?它们在y=lg2x的图象上吗?为什么?
(3)如果点P0(x0,y0)在函数y=2x的图象上,那么P0关于直线y=x的对称点在函数y=lg2x的图象上吗?为什么?(4)根据上述探究过程,你可以得到什么结论?(5)上述结论对于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)及其反函数y=lgax(a>0,且a≠1)也成立吗?为什么?
答案:(1)y=2x与y=lg2x的图象关于直线y=x对称.(2)点P1,P2,P3关于直线y=x的对称点的坐标分别为
(4)y=2x与y=lg2x的图象关于直线y=x对称.
A.[-1,3)B.(-1,3)C.(-1,3]D.[-1,3]
A.[-1,0] B.[0,1]C.[1,+∞)D.(-∞,-1]
A.y
答案: (2,2) 解析:令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,∴f(x)的图象恒过定点(2,2).
答案:b>a>c 解析:因为f(x)=lg0.2x在定义域内为减函数,且0.2<0.3<1<4,所以lg0.20.2>lg0.20.3>lg0.21>lg0.24,即1>a>0>c.同理lg26>lg22=1,所以b>a>c.
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