高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.2 指数函数精品第2课时2课时导学案

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第2课时 指数函数的图象与性质的应用








请画出y＝2x，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)图象，归纳出函数y＝ax，y＝a－x的图象与它们具有哪些相同的特征？





指数型函数


形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．


设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．





李明于去年元旦到银行申请住房商业贷款a万元，银行贷款利率为月息p，银行按照复利计算(每期的计息是以上期的本金和利息和作为基数)，则李明计划今年9月1日一次性还款时，连本带利共需要还款金额为 万元．


a(1＋p)20 [一个月后a(1＋p)，二个月后a(1＋p)(1＋p)＝a(1＋p)2，…


今年9月1日还款时共20个月，则连本带利共需要还款金额为a(1＋p)20万元．]








【例1】 求下列函数的定义域和值域：


(1)y＝2eq \s\up12(eq \f(1,x－4))；(2)y＝eq \r(1－2x)；(3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－2x－3)；(4)y＝4x＋2x＋2－3．


[思路点拨] 使式子的每个部分有意义，即可求得各自的定义域，求值域时要把函数予以分解，求指数的范围，再求整个函数的值域．


[解] (1)由x－4≠0，得x≠4，


故y＝2eq \s\up12(eq \f(1,x－4))的定义域为{x|x≠4}．


又eq \f(1,x－4)≠0，即2eq \s\up12(eq \f(1,x－4))≠1，


故y＝2eq \s\up12(eq \f(1,x－4))的值域为{y|y>0，且y≠1}．


(2)由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，


∴y＝eq \r(1－2x)的定义域为(－∞，0]．


由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，


∴0≤1－2x<1，


∴y＝eq \r(1－2x)的值域为[0,1)．


(3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－2x－3)的定义域为R．


∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－2x－3)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－4)＝16．


又∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－2x－3) >0，


故函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x2－2x－3)的值域为(0,16]．


(4)函数 y＝4x＋2x＋2－3的定义域为R．


设t＝2x，则t>0．所以y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7，t>0．


因为函数y＝t2＋4t－3＝(t＋2)2－7在(0，＋∞)为增函数，


所以y>－3，即函数的值域为(－3，＋∞)．





1．对于y＝af(x)这类函数


(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．


(2)值域问题，应分以下两步求解：


①由定义域求出u＝f(x)的值域；


②利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．


2．对于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．





eq \([跟进训练])


1．(1)函数f(x)＝eq \r(1－2x)＋eq \f(1,\r(x＋3))的定义域为 ．


(2)求函数y＝4－x－21－x＋1在x∈[－3,2]上的最大值和最小值．


(1)(－3,0] [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2x≥0，,x＋3>0，))得－3

所以函数的定义域是(－3,0]．]


(2)[解] y＝4－x－21－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2x)－2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＋1＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－1))eq \s\up12(2)，


∵x∈[－3,2]，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，8))，


令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，得y＝(t－1)2，其中t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，8))，


∴y∈[0,49]，即最大值为49，最小值为0．


【例2】 某市现有人口总数为100万人，如果年平均增长率为1．2%，试解答下列问题：


(1)试写出x年后该城市人口总数y(万人)与年份x(年)之间的函数关系式；


(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人)．


[思路点拨] 本题考查有关增长率的问题，若设原来人口总数为N，年平均增长率为p，则对于x年后的人口总数y，可以用y＝N(1＋p)x表示．


[解] (1)1年后城市人口总数为：


y＝100＋100×1．2%＝100(1＋1．2%)．


2年后城市人口总数为：


y＝100×(1＋1．2%)＋100×(1＋1．2%)×1．2%


＝100(1＋1．2%)2，


同理3年后城市人口总数为y＝100(1＋1．2%)3，


…


故x年后的城市人口总数为y＝100(1＋1．2%)x．


(2)10年后该城市人口总数为：


y＝100(1＋1．2%)10＝100×1．01210≈100×1．127


≈113(万人)．


故10年后该城市人口总数约为113万人．





解决实际应用题的步骤


1领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言；


2根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括；


3对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求出解；


4检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符合题意的解，并作答.





eq \([跟进训练])


2．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出y关于x的函数解析式．


[解] 设该乡镇现在人口数量为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克．


经过1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数量为M(1＋1.2%)．


则人均占有粮食为eq \f(360M1＋4%,M1＋1.2%)千克，


经过2年后，人均占有粮食为


eq \f(360M1＋4%2,M1＋1.2%2)千克，


…


经过x年后，人均占有粮食为


y＝eq \f(360M1＋4%x,M1＋1.2%x)千克，


即所求函数解析式为


y＝360eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1.04,1.012)))eq \s\up12(x) (x∈N*)．


【例3】 已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数．


(1)求a，b的值；


(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围；


(3)求f(x)在[－1,2]上的值域．


[思路点拨] (1)根据奇函数的定义，求出a，b．(2)利用单调性和奇偶性去掉f解不等式求k的范围．(3)利用(2)中单调性求f(x)的值域．


[解] (1)∵函数y＝f(x)是定义域R上的奇函数，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝0，,f－1＝－f1，))


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(－1＋b,2＋a)＝0，,\f(－2－1＋b,20＋a)＝－\f(－21＋b,22＋a)，))


∴b＝1，a＝2．


(2)由(1)知f(x)＝eq \f(1－2x,22x＋1)


＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2x＋1)，


设x1，x2∈R且x1

则f(x2)－f(x1)＝eq \f(1,2x2＋1)－eq \f(1,2x1＋1)＝eq \f(2x1－2x2,2x2＋12x1＋1)<0，


∴f(x)在定义域R上为减函数，


由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，


可得f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，


∴t2－2t>k－2t2，∴3t2－2t－k>0恒成立，


∴Δ＝(－2)2＋12k<0，解得k<－eq \f(1,3)，


∴k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))．


(3)由(2)知f(x)在R上单调递减，


∴f(x)在[－1,2]上单调递减，


∴f(x)max＝f(－1)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,1＋\f(1,2))＝eq \f(1,6)，f(x)min＝f(2)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,4＋1)＝－eq \f(3,10)，


∴f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,10)，\f(1,6)))．





与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值值域等问题，求解时可充分借助已学的知识逐项求解.





eq \([跟进训练])


3．设a>0，函数f(x)＝eq \f(4x,a)＋eq \f(a,4x)是定义域为R的偶函数．


(1)求实数a的值；


(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．


[解] (1)由f(x)＝f(－x)


得eq \f(4x,a)＋eq \f(a,4x)＝eq \f(4－x,a)＋eq \f(a,4－x)，


即4xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－a))＋eq \f(1,4x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,a)))＝0，


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(1,4x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－a))＝0，


根据题意，可得eq \f(1,a)－a＝0，


又a>0，所以a＝1．


(2)由(1)可知f(x)＝4x＋eq \f(1,4x)，


设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

f(x1)－f(x2)＝4x1＋eq \f(1,4eq \s\up10(x1))－4x2－eq \f(1,4eq \s\up10(x2))





因为0

所以4x1<4x2，所以4x1－4x2<0．


又x1＋x2>0，


所以4eq \s\up12(x1＋x2) >1，





所以f(x1)－f(x2)<0，


即f(x1)

于是知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．


[探究问题]


1．y＝2x的单调性如何？y＝x＋1呢？y＝2x＋1呢？


[提示] y＝2x在R上单调递增，y＝x＋1在R上单调递增，y＝2x＋1在R上单调递增．


2．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x＋1)的单调性分别如何？


[提示] y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)单调递减，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x＋1)单调递减．


3．y＝－x与y＝2－x的单调性如何？


[提示] y＝－x单调递减，y＝2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)单调递减．


4．由以上3个探究，我们可以对由y＝f(u)，u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))的单调性做出什么猜想？


[提示] y＝f(g(x))可以由y＝f(u)，u＝g(x)复合而成，复合而成的函数单调性与y＝f(u)，u＝g(x)各自单调的关系为“同增异减”．即f与g单调性相同，复合后单调递增，f与g单调性不同，复合后单调递减．


5．用单调性的定义证明：当y＝f(u)，u＝g(x)均单调递减时y＝f(g(x))单调递增．


[提示] 任取x1，x2∈D且x1

∵g(x)单调递减，∴g(x1)>g(x2)，即u1>u2，


又f(x)单调递减，∴f(u1)

即f(g(x1))

∴y＝f(g(x))单调递增．


【例4】 判断f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x2－2x)的单调性，并求其值域．


[思路点拨] 先确定u＝x2－2x的值域、单调性，再确定f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(u)的单调性和值域．


[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(u)．


∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，


又∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(u)在(－∞，＋∞)上递减，


∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x2－2x)在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．


∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，


∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(u)，u∈[－1，＋∞)，


∴0

∴原函数的值域为(0,3]．





1．关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．其单调性由两点决定，一是底数a>1还是0

2．求这种指数型函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性，其规则是“同增异减”．





eq \([跟进训练])


4．(一题两空)函数y＝3eq \s\up12(eq \r(x－x2))的单调递减区间是 ，值域为 ．


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) [1，eq \r(3)] [由x－x2≥0得函数y＝3eq \r(x－x2)的定义域为0≤x≤1，令y＝3u，u＝eq \r(x－x2)，因为y＝3u在R上单调递增， u＝eq \r(x－x2)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上单调递减，所以函数y＝3eq \s\up12(eq \r(x－x2))的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，又0≤x≤1时，u＝eq \r(x－x2)＝eq \r(\f(1,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，所以函数y＝3eq \s\up12(eq \r(x－x2))的值域为[1，eq \r(3)]．]








1．比较两个指数式值大小的主要方法


(1)比较形如am与an的大小，可运用指数型函数y＝ax的单调性．


(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn．


2．指数型函数单调性的应用


(1)形如y＝af(x)的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．


(2)形如ax>ay的不等式，当a>1时，ax>ay⇔x>y；当0ay⇔x




1．函数f(x)＝eq \r(1－3x)＋eq \f(1,\r(x＋5))的定义域为( )


A．(－5,0) B．[－5,0)


C．(－5,0] D．[－5,0]


C [令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－3x≥0，,x＋5>0，))∴－5

2．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2016年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)．


2020 [设第n年开始超过200万元，则130×(1＋12%)n－2 016>200，化简得


(n－2 016)lg1．12>lg 2－lg 1．3，即n－2 016>eq \f(0.30－0.11,0.05)＝3．8，取n＝2 020，即开始超过200万元的年份为2020年．]


3．函数y＝3eq \s\up12(2－2x2)的单调递减区间是 ．


[0，＋∞) [令y＝3u，u＝2－2x2，因为y＝3u在R上单调递增，u＝2－2x2在[0，＋∞)上单调递减，所以y＝3eq \s\up12(2－2x2)的单调递减区间是[0，＋∞)．]


4．设0≤x≤2，y＝4eq \s\up12(x－eq \f(1,2))－3×2x＋5，试求该函数的最值．


[解] 令t＝2x，0≤x≤2，


∴1≤t≤4．


则y＝22x－1－3×2x＋5＝eq \f(1,2)t2－3t＋5．


又y＝eq \f(1,2)(t－3)2＋eq \f(1,2)，t∈[1,4]，


∴y＝eq \f(1,2)(t－3)2＋eq \f(1,2)在[1,3]上是减函数，在[3,4]上是增函数，


∴当t＝3时，ymin＝eq \f(1,2)；


当t＝1时，ymax＝eq \f(5,2)．


故函数的最大值为eq \f(5,2)，最小值为eq \f(1,2)．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．能掌握指数函数的图象和性质，会用指数函数的图象和性质解决相关的问题．(重点、难点)


2．能应用指数函数及其性质解决实际应用题．(难点)
通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养．
求函数的定义域、值域
指数型函数的应用题
指数函数性质的综合应用
复合函数的单调性