高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数精品导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册4.2 对数精品导学案，共10页。学案主要包含了＝eq等内容，欢迎下载使用。

4.2.2 对数的运算性质








回顾指数性质：(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．那么对数有哪些性质？如lga(MN)＝？





1．符号表示


如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则


(1)lga(MN)＝lgaM＋lgaN；


(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；


(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．


2．文字表述


(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和；


(2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；


(3)一个正数的n次幂的对数等于n倍的该数的对数．


3．换底公式


一般地，我们有lgaN＝eq \f(lgcN,lgca)，(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1)，这个公式称为对数的换底公式．


4．与换底公式有关的几个结论


(1)lga b·lgb a＝1(a，b>0且a，b≠1)；


(2) ＝eq \f(n,m)lga b(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差．( )


(2)lgax·lgay＝lga(x＋y)．( )


(3)lga(－2)4＝4lga(－2)．( )


[提示] 根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中－2不能作真数．


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．(1)lg2 25－lg2 eq \f(25,4)＝ ；(2)lg2 8＝ ．


(1)2 (2)3 [(1)lg2 25－lg2 eq \f(25,4)＝lg2 25×eq \f(4,25)＝lg2 4＝lg2 22＝2lg2 2＝2．


(2)lg2 8＝lg2 23＝3lg2 2＝3．]


3．若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示lg75＝ ．


eq \f(a,b) [lg75＝eq \f(lg 5,lg 7)＝eq \f(a,b)．]








【例1】 计算下列各式的值：


(1)lg 2＋lg 5；(2)lg535＋2lgeq \s\d12(eq \f(1,2))eq \r(2)－lg5 eq \f(1,50)－lg5 14；


(3)[(1－lg6 3)2＋lg6 2·lg6 18]÷lg6 4．


[思路点拨] 根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．


[解] (1)lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1．


(2)原式＝lg5 eq \f(35×50,14)＋2lgeq \s\d12(eq \f(1,2))2eq \s\up12(eq \f(1,2))＝lg5 53－1＝2．


(3)原式＝[(lg6 6－lg6 3)2＋lg6 2·lg6(2·32)]÷lg6 4


＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg6 \f(6,3)))eq \s\up12(2)＋lg6 2lg6 2＋lg6 32))÷lg6 22


＝[(lg6 2)2＋(lg6 2)2＋2lg6 2·lg6 3]÷2lg6 2


＝lg6 2＋lg6 3＝lg6(2·3)＝1．





1．对于同底的对数的化简常用的方法


(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；


(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．


2．注意对数的性质的应用，如lga1＝0，lgaa＝1，aeq \s\up12(lgaN)＝N．


3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．





eq \([跟进训练])


1．计算下列各式的值：


(1)eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245)；


(2)lg 25＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；


(3)2lg32－lg3eq \f(32,9)＋lg38－5eq \s\up12(lg53)．


[解] (1)法一：原式＝eq \f(1,2)(5lg 2－2lg 7)－eq \f(4,3)×eq \f(3,2)lg 2＋eq \f(1,2)(2lg 7＋lg 5)


＝eq \f(5,2)lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋eq \f(1,2)lg 5


＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5＝eq \f(1,2)(lg 2＋lg 5)


＝eq \f(1,2)lg 10＝eq \f(1,2)．


法二：原式＝lg eq \f(4\r(2),7)－lg 4＋lg 7eq \r(5)


＝lg eq \f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg (eq \r(2)·eq \r(5))＝lg eq \r(10)＝eq \f(1,2)．


(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3．


(3)原式＝2lg32－(lg332－lg39)＋3lg32－3＝2lg32－5lg32＋2＋3lg32－3＝－1．


【例2】 化简：


(1)lg2(28×82)；(2)用lg 2和lg 3表示lg 24；


(3)用lga x，lga y，lga z表示lga(xy2zeq \s\up12(－eq \f(1,2)))．


[思路点拨] 将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来．


[解] (1)lg2(28×82)＝lg2[28×(23)2]＝lg2(28＋3×2)＝lg2 214＝14．


(2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2．


(3)lga(xy2zeq \s\up12(－eq \f(1,2)))＝lga x＋lga y2＋lga zeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝lga x＋2lga y－eq \f(1,2)lga z．





1．这类问题一般有两种处理方法


一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；


另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意lga(MN)≠lga M·lga N，lga(M±N)≠lga M±lga N．


2．对数的运算性质的推广：＝eq \f(n,m)lga b(a，b>0且a，b≠1，m≠0)．





eq \([跟进训练])


2．化简：


(1)lgeq \s\d7(eq \r(2)) (45×82)；(2)lgeq \s\d7(eq \f(1,3)) 27－lgeq \s\d7(eq \f(1,3)) 9；


(3)用lg x，lg y，lg z表示lg eq \f(x2\r(y),\r(3,z))．








【例3】 (1)已知3a＝5b＝c，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则c的值为 ．


(2)已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py．


①求p；


②证明：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y)．


[思路点拨] 用换底公式统一底数再求解．


(1)eq \r(15) [由3a＝5b＝c，得a＝lg3c，b＝lg5c，所以eq \f(1,a)＝lgc3，eq \f(1,b)＝lgc5．又eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，所以lgc3＋lgc5＝2，即lgc15＝2，c＝eq \r(15)．]


(2)[解] ①设3x＝4y＝6z＝k(k＞1)，则x＝lg3k，y＝lg4k，z＝lg6k，由2x＝py，得2lg3k＝plg4k，


解得p＝2lg34＝4lg32．


②证明：eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,lg6k)－eq \f(1,lg3k)


＝lgk6－lgk3＝lgk2，


而eq \f(1,2y)＝eq \f(1,2lg4k)＝eq \f(1,2)lgk4＝lgk2．


故eq \f(1,z)－eq \f(1,x)＝eq \f(1,2y)．





1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．


2．换底公式推导出的两个恒等式：


(1)＝eq \f(n,m)lga N；


(2)lga b·lgb a＝1，要注意熟练应用．





eq \([跟进训练])


3．计算：(lg2 125＋lg4 25＋lg8 5)(lg5 2＋lg25 4＋lg125 8)．








【例4】 2019年我国国民生产总值为a亿元，如果年平均增长8%，那么经过多少年，我国国民生产总值是2019年的2倍？(已知lg 2≈0．301 0，lg 3≈0．477 1，lg 1．08≈0．033 4，精确到1年)


[思路点拨] 认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解．


[解] 设经过x年，我国国民生产总值是2019年的2倍．


经过1年，总产值为a(1＋8%)，


经过2年，总产值为a(1＋8%)2，


……


经过x年，总产值为a(1＋8%)x．


由题意得a(1＋8%)x＝2a，即1．08x＝2，


两边取常用对数，得lg 1．08x＝lg 2，


则x＝eq \f(lg 2,lg 1.08)≈eq \f(0.301 0,0.033 4)≈9(年)．


答：约经过9年，国民生产总值是2019年的2倍．





解对数应用题的步骤








eq \([跟进训练])


4．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的eq \f(1,3)(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)


[解] 假设经过x年，该物质的剩余量是原来的eq \f(1,3)，


根据题意得：0.75x＝eq \f(1,3)，


∴x＝lg0.75 eq \f(1,3)＝－eq \f(lg 3,lg 3－lg 4)＝－eq \f(lg 3,lg 3－2lg 2)≈4．


故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的eq \f(1,3)．





[探究问题]


1．对数的运算性质有哪些？


[提示] lga (MN)＝lga M＋lga N，lga eq \f(M,N)＝lga M－lga N，lga b＝eq \f(lgc b,lgc a)，lga Mn＝nlga M，＝eq \f(n,m)lga b．


2．解对数方程lga M＝lga N应注意什么？


[提示] eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(M＝N，,M>0，,N>0，,a>0且a≠1.))


【例5】 已知lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求lgeq \s\d12(eq \f(1,2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))的值．


[思路点拨] 根据对数的运算性质得到x，y的关系式，解方程即可．


[解] lg x＋lg y＝lg (xy)＝2lg (x－2y)＝lg (x－2y)2，


由题知，xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))eq \s\up12(2)－5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)))＋4＝0，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,y)－4))＝0，故eq \f(x,y)＝1或4．


又当x＝y时，x－2y＝－y<0，故舍去，∴eq \f(x,y)＝4．


∴lgeq \s\d12(eq \f(1,2)) eq \f(x,y)＝lgeq \s\d12(eq \f(1,2)) 4＝－2．





解含对数式的方程应注意的两点


(1)对数的运算性质；


(2)对数中底数和真数的范围限制．





eq \([跟进训练])

















1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．


2．运用对数的运算性质应注意：


(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．


(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．


(3)在运算过程中避免出现以下错误：


①lgaNn＝(lgaN)n；②lga(MN)＝lgaM·lgaN；③lgaM±lgaN＝lga(M±N)．





1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，则下列式子正确的是( )


A．lgax＋lgay＝lga(x＋y)


B．lgax－lgay＝lga(x－y)


C．lgaeq \f(x,y)＝lgax÷lgay


D．lga(xy)＝lgax＋lgay


D [由对数的运算性质知D正确．]


2．已知lg 2＝a，lg 7＝b，那么用a，b表示lg8 98＝ ．


eq \f(a＋2b,3a) [lg8 98＝eq \f(lg 98,lg 8)＝eq \f(2lg 7＋lg 2,3lg 2)＝eq \f(a＋2b,3a)．]


3．已知2m＝5n＝10，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝ ．


1 [因为m＝lg2 10，n＝lg5 10，所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．]


4．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(lgab＋lgba)的值．


[解] 原方程可化为：2(lg x)2－4lg x＋1＝0．


设lg x＝t，即原方程为2t2－4t＋1＝0．


所以t1＋t2＝2，t1·t2＝eq \f(1,2)．


又因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，


则lg a＝t1，lg b＝t2，即lg a＋lg b＝2, lg a·lg b＝eq \f(1,2)．


lg(ab)·(lgab＋lgba)


＝(lg a＋lg b)·eq \f(lg b2＋lg a2,lg a·lg b)


＝(lg a＋lg b)·eq \f(lg a＋lg b2－2lg a·lg b,lg a·lg b)


＝2×eq \f(22－2×\f(1,2),\f(1,2))＝12，


即lg(ab)·(lgab＋lgba)＝12．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)


2．了解换底公式．


3．能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数．(难点)
通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的核心素养．
对数运算性质的应用
换底公式及其应用
对数运算在实际问题中的应用
利用对数运算性质解简单的对数方程