数学必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式优质第1课时学案

这是一份数学必修 第一册3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式优质第1课时学案，共12页。

3.3.2 从函数观点看一元二次不等式


第1课时 一元二次不等式及其解法








2022年，冬季奥运会将在中国举行，跳台滑雪是其中最具有观赏性的项目之一，一位跳台滑雪运动员在90 m级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过68 m．他若以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110 km/h．那么他能实现自己的目标吗？








1．一元二次不等式的概念


只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式．


思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？


[提示] 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．


2．三个“二次”的关系


设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0


思考2：若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？


[提示] 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,1－4a<0，))解得a>eq \f(1,4)，所以a∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))使不等式ax2＋x＋1>0的解集为R．





1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )


A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞3或x＜－\f(1,2)))))


B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3))))


C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥3或x≤－\f(1,2)))))


D．R


C [3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－eq \f(1,2)．]


2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )


A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜x＜\f(1,3))))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＜x＜1))))


C．∅ D．R


D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R．]


3．不等式x2－2x－5>2x的解集是 ．


{x|x>5或x<－1} [由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，


因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，


故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．]


4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为 ．


∅ [原不等式变形为3x2－5x＋4<0．


因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．


由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅．]





【例1】 解下列不等式：


(1)2x2＋7x＋3>0；


(2)－4x2＋18x－eq \f(81,4)≥0；


(3)－2x2＋3x－2<0．


[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－eq \f(1,2)．又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(1,2)或x<－3))))．


(2)原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(9,2)))eq \s\up12(2)≤0，所以原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(9,4)))))．


(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R．





解不含参数的一元二次不等式的一般步骤


1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.


2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.


3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.


4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.


5写解集.根据图象写出不等式的解集.





eq \([跟进训练])


1．解下列不等式


(1)2x2－3x－2>0；


(2)x2－4x＋4>0；


(3)－x2＋2x－3<0；


(4)－3x2＋5x－2>0．


[解] (1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－eq \f(1,2)，x2＝2，


∴不等式2x2－3x－2>0的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,2)或x>2))))．


(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，


∴不等式x2－4x＋4>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠2))．


(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，


由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，


∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R．


(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，


由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝eq \f(2,3)，x2＝1，


∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,3)




【例2】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．


[思路点拨] ①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？


[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1．


当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0．


当a<0时，不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，


∵eq \f(1,a)<1，∴x1．


当a>0时，原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0．


若eq \f(1,a)<1，即a>1，则eq \f(1,a)

若eq \f(1,a)＝1，即a＝1，则x∈∅；


若eq \f(1,a)>1，即0

综上所述，当a<0时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)或x>1))))；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)




解含参数的一元二次不等式的一般步骤





提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．





eq \([跟进训练])


2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．


[解] 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，


化简为(x＋1)(ax－2)≥0．


∵a<0，∴(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,a)))≤0．


当－2

当a＝－2时，x＝－1；


当a<－2时，－1≤x≤eq \f(2,a)．


综上所述，


当－2

当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；


当a<－2时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤\f(2,a)))))．





[探究问题]


1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？


[提示] y＝x2－2x－3的图象如示．





函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1

方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．


2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？


[提示] 方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．


不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．


3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1

[提示] 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1

【例3】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2

[思路点拨]





[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－eq \f(5,6)x＋eq \f(1,6)>0，解得xeq \f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,3)))或x>\f(1,2)))．


法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2\f(1,2)))．





1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．


[解] 由根与系数的关系知eq \f(b,a)＝－5，eq \f(c,a)＝6且a<0．


∴c<0，eq \f(b,c)＝－eq \f(5,6)，故不等式cx2－bx＋a>0，


即x2－eq \f(b,c)x＋eq \f(a,c)<0，即x2＋eq \f(5,6)x＋eq \f(1,6)<0．


解得eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)

2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2

[解] 法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤2))))知a＜0．


又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×2＝eq \f(c,a)＜0，则c＞0．


又－eq \f(1,3)，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，


∴－eq \f(b,a)＝eq \f(5,3)，∴eq \f(b,a)＝－eq \f(5,3)．


又eq \f(c,a)＝－eq \f(2,3)，∴b＝－eq \f(5,3)a，c＝－eq \f(2,3)a，


∴不等式变为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a))x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)a))x＋a＜0，


即2ax2＋5ax－3a＞0．


又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，


所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－3＜x＜\f(1,2)))))．


法二：由已知得a＜0 且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋2＝－eq \f(b,a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×2＝eq \f(c,a)知c＞0，


设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，


则x1＋x2＝－eq \f(b,c)，x1·x2＝eq \f(a,c)，


其中eq \f(a,c)＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×2)＝－eq \f(3,2)，


－eq \f(b,c)＝eq \f(－\f(b,a),\f(c,a))＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))×2)＝－eq \f(5,2)，


∴x1＝－3，x2＝eq \f(1,2)．


∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－3＜x＜\f(1,2)))))．





已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：


1根据解集来判断二次项系数的符号；


2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；


3约去 a， 将不等式化为具体的一元二次不等式求解.











1．解一元二次不等式的常见方法


(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：


①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；


②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；


③由图象得出不等式的解集．


(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．


当m

有口诀如下：大于取两边，小于取中间．


2．含参数的一元二次型的不等式


在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑


(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0．


(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．


(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．


3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )


(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )


(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1

(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R．( )


[提示] (1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．


(2)因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R．


(3)当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1

(4)因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R．


[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√


2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))<0的解集为 ．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\f(1,a))))) [因为a<－1，所以a(x－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))<0⇔(x－a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))>0．又a<－1，所以eq \f(1,a)>a，所以x>eq \f(1,a)或x

3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－2或x>－\f(1,2)))))，则ax2－bx＋c>0的解集为 ．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)

故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－\f(b,a)，,－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝\f(c,a)，))


解得a＝c，b＝eq \f(5,2)a．


所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，


解得eq \f(1,2)0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)

4．解下列不等式：


(1)x(7－x)≥12；


(2)x2>2(x－1)．


[解] (1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，


所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．


(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，


因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，


所以原不等式的解集为R．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．掌握一元二次不等式的解法．(重点)


2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)
通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
方程ax2＋bx＋c＝0的根



有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有根实数
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
ax2＋bx＋c＞0的解集
{x|x＜x1或x＞x2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c＜0的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法
三个“二次”的关系