高中苏教版 (2019)第5章 函数概念与性质5.1 函数的概念和图象优秀第2课时2课时学案

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第2课时 函数的图象








作出下列两个函数的的图象，并比较定义域和值域．


(1)f(x)＝x2＋1，x∈{－1,0,1}；


(2)f(x)＝x2＋1．





1．函数的图象


将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．


思考1：函数的图象是否可以关于x轴对称？


[提示] 不可以，如果关于x轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量x0，有两个值和x0相对应，不符合函数的定义．


思考2：函数y＝f(x)，x∈A的图象与直线x＝m(垂直于x轴的直线)的交点有几个？


[提示] 0或1个，具体来说，当m∈A，由函数的定义，它们有唯一交点，当mA，它们无交点．


2．作图、识图与用图


(1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线．


(2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－eq \f(b,2a)．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)直线x＝a和函数y＝f(x)，x∈[m，n]的图象有1个交点．( )


(2)设函数y＝f(x)的定义域为A，则集合P＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}与集合Q＝{y|y＝f(x)，x∈A}相等，且集合P的图形表示的就是函数y＝f(x)的图象．( )


[提示] (1)若a∈[m，n]，则x＝a与y＝f(x)有一个交点，若a[m，n]，则x＝a与y＝f(x)无交点，故(1)错误．


(2)Q是一个数集，P是一个点集，显然P≠Q，故(2)错误，但是P的图形表示的是函数y＝f(x)的图象．


[答案] (1)× (2)×


2．下列坐标系中的曲线或直线，能作为函数y＝f(x)的图象的有 ．(填序号)








②④ [能作为函数的图象，必须符合函数的定义，即定义域内的每一个x只能有唯一的y与x对应，故②④可以，①③不可以．]


3．函数y＝x＋1，x∈Z，且|x|<2的图象是 ．(填序号)





③ [由题意知，函数的定义域是{－1,0,1}，值域是{0,1,2}，函数的图象是三个点，故③正确．]





【例1】 作出下列函数的图象，并求函数的值域．


(1)y＝3－x(|x|∈N*且|x|<3)；


(2)y＝x2－2x＋2(－1≤x<2)．


[思路点拨] (1)中函数的定义域为{－2，－1,1,2}，图象为直线上的四个孤立点．


(2)中函数图象为抛物线的一部分．


[解] (1)∵|x|∈N*且|x|<3，∴定义域为{－2，－1,1,2}，


∴图象为直线y＝3－x上的4个孤立点，如图．





由图象可知，值域为{5,4,2,1}．


(2)y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1(x∈[－1,2))，


故函数图象为二次函数y＝(x－1)2＋1图象上在区间[－1,2)上的部分，如图，





x＝1时，y＝1，x＝－1时，y＝5，∴函数的值域为[1,5]．





(变条件)将例1(2)中的定义域改为[0,3)，函数的图象与值域变成怎样了？





[解] 图象变成函数y＝(x－1)2＋1在[0,3)上的部分图象，如图．


∵x＝1时，y＝1，x＝3时，y＝5．∴值域变为[1,5)．





1．画函数的图象，需首先关注函数的定义域．定义域决定了函数的图象是一系列点、连续的线或是其中的部分．


2．描点作图，要找出关键“点”，再连线．如一次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点，两点连线即得；二次函数的图象描出端点或与坐标轴的交点、顶点，连线即得．连线时还需标注端点的虚实．


3．函数的图象能体现函数的定义域、值域．这就是数形结合思想．





eq \([跟进训练])


1．画出下列函数的图象：


(1)y＝x＋1(x≤0)；


(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．


[解] (1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①．


(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②．





① ②





【例2】 已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象如图所示，据图回答以下问题：





(1)比较f(－2)，f(0)，f(3)的大小；


(2)求f(x)在[－1,2]上的值域；


(3)求f(x)与y＝x的交点个数；


(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．


[思路点拨] 从图象上找到对应问题的切入点进而求解．


[解] (1)由题图可得f(－2)＝－5，f(0)＝3，f(3)＝0，


∴f(－2)

(2)在x∈[－1,2]时，f(－1)＝0，f(1)＝4，f(2)＝3，


∴f(x)∈[0,4]．


(3)在图象上作出直线y＝x的图象，如图所示，观察可得，f(x)与y＝x有两个交点．





(4)原方程可变形为：－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3，x∈[－1,2]和函数y＝k图象的交点个数问题，移动y＝k易知0≤k<3或k＝4时，只有一个交点．


∴0≤k<3或k＝4．





1．函数图象较形象直观的反映了函数的对称性，函数的值域及函数值随自变量变化而变化的趋势．


2．常借助函数图象求解以下几类问题


(1)比较函数值的大小；


(2)求函数的值域；


(3)分析两函数图象交点个数；


(4)求解不等式或参数范围．





eq \([跟进训练])


2．若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．


[解] 原方程变形为x2－4x＋4＝1－m，


即(x－2)2＝1－m，


设曲线y1＝(x－2)2，x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图象如图所示，


由图可知：





①当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；


②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3

∴m＝1或－3

(此题也可设曲线y1＝－(x－2)2＋1，x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图象求解)





[探究问题]


1．设f(x)＝x2，则f(x＋1)的表达式是什么，在同一坐标系中，作出两者的图象，这两个图象形状一样吗？位置呢？


[提示] f(x＋1)＝(x＋1)2，两者图象的形状相同，f(x＋1)的图象比f(x)的图象向左了一个单位．如图(1)．





图(1)


2．同一坐标系中作出f(x)＝x2，f(x－2)的图象，观察两者的形状和位置有什么异同？


[提示] f(x－2)＝(x－2)2，f(x)与f(x－2)的图象形状相同，f(x－2)的图象比f(x)的图象向右了2个单位．如图(2)．





图(2)


3．若已知y＝f(x)的图象，如何得到y＝f(x＋a)的图象？


[提示] 当a>0时，y＝f(x＋a)可由y＝f(x)向左移动a个单位．当a<0时，y＝f(x＋a)可由y＝f(x)向右移动|a|个单位．


4．若f(x)＝x2，写出y＝f(x)＋1和y＝f(x)－2的表达式，并在同一坐标系中作出三者的图象，观察其形状和位置的异同，由此，结合探究3，若已知f(x)的图象，如何得到y＝f(x)＋b的图象？


[提示] y＝f(x)＋1＝x2＋1，y＝f(x)－2＝x2－2，如图(3)．





图(3)


由y＝f(x)的图象得到y＝f(x)＋b的图象时，


若b>0，把f(x)的图象向上移动b个单位得y＝f(x)＋b的图象．若b<0，把f(x)的图象向下移动|b|个单位得y＝f(x)＋b的图象．


【例3】 用平移图象的方式作出y＝2＋eq \f(1,x－1)的图象，并说明函数y＝2＋eq \f(1,x－1)的值域．


[思路点拨] y＝2＋eq \f(1,x－1)可以看作y＝eq \f(1,x)先向右移动一个单位，又向上移动2个单位得到．


[解]





从图象可以看出y＝2＋eq \f(1,x－1)的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．





函数图象的平移变换


1左右平移：a＞0时，y＝fx的图象向左平移a个单位得到y＝fx＋a的图象；a＞0时，y＝fx的图象向右平移a个单位得到y＝fx－a的图象.


2上下平移：b＞0时，y＝fx的图象向上平移b个单位得到y＝fx＋b的图象；b＞0时，y＝fx的图象向下平移b个单位得到y＝fx－b的图象.





eq \([跟进训练])


3．已知函数y＝eq \f(1,x)，将其图象向左平移a(a>0)个单位，再向下平移b(b>0)个单位后图象过坐标原点，则ab的值为 ．


1 [y＝eq \f(1,x)eq \(――→,\s\up8(左移a))y＝eq \f(1,x＋a)eq \(――→,\s\up8(下移b))y＝eq \f(1,x＋a)－b过(0,0)，故eq \f(1,a)－b＝0，


∴1－ab＝0，∴ab＝1．]








1．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描点，画出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、最高点或最低点，要分清这些关键点是实心点还是空心点．


2．在利用图象研究函数时，准确地作出函数的图象是解决问题的关键，只有这样，对性质的研究才更准确．


3．分析所给图象是不是函数图象的方法是：作一系列平行于y轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则该图象是函数的图象，否则就不是函数的图象．





1．对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是( )





D [A中有一部分x值没有与之对应的y值；B中出现“一对多”的关系，不是函数关系；C中当x＝1时对应两个不同的y值，不构成函数；D中对应关系符合函数定义．]


2．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图象的是( )





B [y＝－|x|，当x＝2时，y＝－2，当x＝－2时，y＝－2．故选B．]


3．函数y＝f(x)的图象如图所示．填空：





(1)f(0)＝ ；


(2)f(－1)＝ ；


(3)f(－3)＝ ；


(4)f(－2)＝ ；


(5)f(2)＝ ；


(6)f(4)＝ ；


(7)若2

(1)4 (2)5 (3)0 (4)3 (5)2 (6)6 (7)f(x1)≤f(x2) [由图象知f(0)＝4，f(－1)＝5，f(－3)＝0，f(－2)＝3，f(2)＝2，f(4)＝6，当2

4．作出下列函数的图象，并指出其值域．


(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；


(2)y＝eq \f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0)．


[解] (1)用描点法可以作出y＝x2＋x(－1≤x≤1)的图象，如图所示．





易知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2))．


(2)用描点法可以作出y＝eq \f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0)的图象，如图所示．





易知y＝eq \f(2,x)(－2≤x≤1，且x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解函数图象的概念，并能画出一些比较简单的函数的图象．(重点)


2．能够利用图象解决一些简单的函数问题．(难点)
通过学习本节内容培养学生的逻辑推理和直观想象核心素养．
作函数的图象
函数图象的应用
利用图象的平移变换作函数图象