苏教版 (2019)必修 第一册6.2 指数函数精品第1课时导学案及答案

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册6.2 指数函数精品第1课时导学案及答案，共12页。




6.2 指数函数


第1课时 指数函数的概念、图象与性质








某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂1次(1个分裂成2个)，那么经过3 h，这种细菌由1个可分裂为几个？经过x h，这种细菌由1个可分裂为几个？





1．指数函数的概念


一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R．


2．指数函数的图象和性质





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)函数y＝3·2x是指数函数．( )


(2)指数函数的图象与x轴永不相交．( )


(3)函数y＝2－x在R上为增函数．( )


(4)当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1．( )


[提示] (1)y＝3·2x的系数为3，故y＝3·2x不是指数函数．


(2)指数函数的值域为(0，＋∞)，故它与x轴不相交．


(3)y＝2－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)是减函数．


(4)a>1时，若x<0，则ax<1．


[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×


2．下列函数中，是指数函数的为 ．(填序号)


(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；


(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且a≠2)．


(4)(6) [只有(4)(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b＝a－1，则y＝bx，b>0且b≠1，所以是．]


3．若函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝ ．


3x [由于a2＝9，∴a＝±3．∵a＞0，∴a＝3，


∴f(x)＝3x．]





【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( )


①y＝(－8)x；②y＝2eq \s\up12(x2－1)；③y＝ax；④y＝2·3x．


A．1 B．2


C．3 D．0


(2)已知函数f(x)为指数函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)，则f(－2)＝ ．


(1)D (2)eq \f(1,9) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；


②中指数不是自变量x，而是x的函数，


所以不是指数函数；


③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数；


④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D．


(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(\r(3),9)得aeq \s\up12(－eq \f(3,2))＝eq \f(\r(3),9)，所以a＝3，又f(－2)＝a－2，所以f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9)．]





指数函数具有以下特征：①底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x；②指数位置是自变量x，且x的系数是1；③ax的系数是1.





eq \([跟进训练])


1．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为( )


A．f(x)＝x3 B．f(x)＝2x


C．f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x) D．f(x)＝xeq \s\up12(eq \f(1,3))


B [设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得


a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B．]


2．已知y＝(2a－1)x是指数函数，则a的取值范围是 ．


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>\f(1,2)且a≠1)))) [要使y＝(2a－1)x是指数函数，则2a－1>0且2a－1≠1，


∴a>eq \f(1,2)且a≠1．]


【例2】 比较下列各组数的大小：


(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(－1.8)与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(－2.6)；(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,8)))eq \s\up12(－eq \f(2,3))与1；(3)0.6－2与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(－eq \f(2,3))；(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0.3)与3－0.2；(5)0.20.6与0.30.4；


(6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(eq \f(2,3))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(eq \f(1,3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(eq \f(2,3))．


[思路点拨] 观察底数是否相同(或能化成底数相同)，若相同用单调性，否则结合图象或中间值来比较大小．


[解] (1)∵0

－1.8>－2.6，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(－1.8)













在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类：


1底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决.


2底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决.


3底数不同、指数也不同：采用介值法.以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数.比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象.





eq \([跟进训练])


3．比较下列各组数的大小：


(1)1．9－π与1．9－3；


(2)0．60．4与0．40．6；


(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(eq \f(1,3))，2eq \s\up12(eq \f(2,3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(eq \f(1,2))．


[解] (1)由于指数函数y＝1．9x在R上单调递增，而－π<－3，


∴1.9－π<1．9－3．


(2)∵y＝0．6x在R上递减，


∴0.60.4>0.60.6．


又在y轴右侧，函数y＝0．6x的图象在y＝0．4x图象的上方，


∴0.60.6>0．40.6，∴0.60.4>0.40.6．


(3)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(3)<0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(eq \f(1,3))>1,2eq \s\up12(eq \f(2,3))>1,0

又在y轴右侧，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(x)的图象在y＝4x的下方，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(eq \f(1,3))<4eq \s\up12(eq \f(1,3))＝2eq \s\up12(eq \f(2,3))，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up12(3)

【例3】 (1)已知4≥2x＋1>2eq \s\up12(eq \f(2,3))，求x的取值范围；


(2)已知0．3x>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)))eq \s\up12(y)，求x＋y的符号；


(3)解不等式ax>3(a>0且a≠1)．


[思路点拨] 化为同底，利用指数函数的单调性求解．


[解] (1)∵4＝22，∴原式化为22≥2x＋1>2eq \s\up12(eq \f(2,3))．


∵y＝2x是单调递增的，∴2≥x＋1>eq \f(2,3)，


∴－eq \f(1,3)

∴x的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)

(2)0.3x>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)))eq \s\up12(y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,10)))eq \s\up12(－y)＝0.3－y．


∵y＝0.3x是减函数，∴x<－y，∴x＋y<0．


(3)由ax>3得ax>aeq \s\up12(lga3)


当a>1时，x>lga3


当0

综上，当a>1时，原不等式的解集为(lga3，＋∞)，当0




1．形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．


2．形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．





eq \([跟进训练])


4．解关于x的不等式a3x－2≤ax＋2，(a＞0且a≠1)．


[解] ①当a>1时，3x－2≤x＋2，∴x≤2．


②当0

综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x≤2}，


当0

[探究问题]


1．在同一坐标系中作出y＝2x，y＝2x＋1，y＝2x＋1＋2的图象，在另一坐标系中做出y＝2x，y＝2x－1，y＝2x－1－2的图象，结合以前所学的知识，归纳出图象变换的规律．


[提示] 结论：y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位得到；





y＝2x＋1＋2的图象是由y＝2x＋1的图象再向上平移2个单位得到；


y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到；


y＝2x－1－2的图象是由y＝2x－1的图象再向下平移2个单位得到．


2．在同一坐标系中，做出y＝2x－1，y＝3x－1，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么？能否由此得出结论y＝ax－1均过该点？在另一坐标系中，做出y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x＋1)－1的图象，它们有公共点吗？坐标是什么？能得出y＝ax＋1－1均过该点的结论吗？由以上两点，能否说明形如y＝ax＋m＋n(m，n>0)的图象经过的定点是什么？


[提示]





结论：y＝2x－1，y＝3x－1，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)－1都过定点(0,0)，且y＝ax－1也总过定点(0,0)．y＝2x＋1－1，y＝3x＋1－1，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x＋1)－1都过定点(－1,0)，且y＝ax＋1－1也总过定点(－1,0)．综上得y＝ax＋m＋n的图象经过定点(－m,1＋n)．


3．除去用图象变换的方法外，还有无其它方式寻找定点．如y＝4a2x－4＋3是否过定点？


[提示] 还可以整体代换．


将y＝4a2x－4＋3变形为eq \f(y－3,4)＝a2x－4．


令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－3,4)＝1，,2x－4＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝7，))即y＝4a2x－4＋3过定点(2,7)．


【例4】 (1)函数y＝3－x的图象是 ．(填序号)





(2)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过第 象限．


(3)函数f(x)＝2ax＋1－3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点 ．


[思路点拨] 题(1)中可将y＝3－x转化为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)．


题(2)中，函数y＝ax＋b的图象过点(0,1＋b)，


因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上．


题(3)应该根据指数函数经过定点求解．


(1)② (2)一 (3)(－1，－1) [(1)y＝3－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)为单调递减的指数函数，其图象为②．


(2)函数y＝ax(0＜a＜1)在R上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数y＝ax＋b的图象在R上单调递减，且过点(0,1＋b)．因为b＜－1，所以点(0,1＋b)在y轴负半轴上，故图象不经过第一象限．


(3)令x＋1＝0，得x＝－1，此时y＝2a0－3＝－1，故图象恒过定点(－1，－1)．]





1．处理函数图象问题的策略


(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)．


(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．


(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．


2．指数型函数图象过定点问题的处理方法


求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．





eq \([跟进训练])


5．(一题两空)函数y＝f(x)＝ax＋2－eq \f(1,2)(a>1)的图象必过定点 ，其图象必不过第 象限．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2))) 四 [y＝ax(a>1)在R上单调递增，必过(0,1)点，故求f(x)所过的定点时可以令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,y＋\f(1,2)＝1))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝\f(1,2)，))即定点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,2)))．结合图象(图略)可知，f(x)的图象必不在第四象限．]








1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1．


2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的性质分底数a>1,0

3．指数函数的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)，且f(0)＝1．


4．(1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分01两种情况进行讨论．


(2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，即b＝aeq \s\up12(lgab)，再借助y＝ax的单调性求解．


5．在y轴右侧，底数a越大，图象越靠近y轴．





1．下列所给函数中为指数函数的是( )


①y＝4x；②y＝x4；③y＝－4x；④y＝(－4)x；⑤y＝4x2；⑥y＝x2；⑦y＝(2a－1)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>\f(1,2)，a≠1))．


A．①③ B．②④⑥


C．①⑦ D．①④⑦


C [形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数为指数函数，故①⑦是指数函数．]


2．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是 ．


(1,2) [由题意可知，0<2－a<1，即1

3．函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点 ．


(5,2) [指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．]


4．比较下列各组数的大小：


(1)1．70．2和0．92．1；


(2)a1．1与a0．3(a>0且a≠1)．


[解] (1)由指数函数性质得，1．70．2>1．70＝1,0．92．1<0．90＝1，


所以1．70．2>0．92．1．


(2)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1．1>a0．3；


当0

5．画出函数y＝2|x|的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间．


[解] 当x≥0时，y＝2|x|＝2x；





当x＜0时，y＝2|x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)．


∴函数y＝2|x|的图象如图所示，


由图象可知，y＝2|x|的图象关于y轴对称，值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解指数函数的概念．(重点)


2．掌握指数函数的图象和性质．(重点)


3．能够利用指数函数的图象和性质解题．(重点、难点)


4．掌握函数图象的平移变换和对称变换．
通过学习本节内容，培养学生的逻辑推理和直观想象的数学核心素养．
a>1
0图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
定点
图象过点(0,1)，图象在x轴的上方
函数值的变化
x>0时，y>1；x<0时，0x>0时，01
单调性
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
指数函数的概念
利用单调性比较大小
利用单调性解指数不等式
图象变换及其应用