苏教版 (2019)第2章 常用逻辑用语2.2 充分条件、必要条件、冲要条件优秀学案设计

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2.2 充分条件、必要条件、充要条件








“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？


(1)习近平总书记在2020年3月26日出席二十国集团领导人应对新冠肺炎特别峰会上讲话中指出：“只要我们同舟共济、守望相助，就一定能够彻底战胜疫情，迎来人类发展更加美好的明天！”．


(2)“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”(《人民日报》)．





1．充分条件与必要条件


“p⇒q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立．即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q对p的成立是充分的．


思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？


(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q．这五种表述形式等价吗？


[提示] (1)相同，都是p⇒q．(2)等价．


2．充要条件


(1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件．


为了方便起见，p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”或“p等价于q”“⇒”和“⇔”都具有传递性，即


①如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s；


②如果p⇔q, q⇔s，则p⇔s；


(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．


(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．


(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．


思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？


(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？


[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q．


(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．


②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．


3．性质定理和判定定理与充分必要条件的关系


(1)性质定理是某类对象具有的具体特征，所以性质定理具有“必要性”；


(2)判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征，所以判定定理具有“充分性”；


(3)数学中的定义既可以作为判定，也可以作为性质．即数学中的定义具有“充要性”．





1．“同位角相等”是“两直线平行”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．既是充分条件，也是必要条件


D．既不充分也不必要条件


[答案] C


2．使x>3成立的一个充分条件是( )


A．x>4 B．x>0


C．x>2 D．x<2


A [只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3．]


3．使x>3成立的一个必要不充分条件是( )


A．x>4 B．x<4


C．x>2 D．x<2


C [因为x>3⇒x>2，x>2x>3，所以选C．]


4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件


A [因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]





【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件．


(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0．


(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等．


(3)p：a＞b，q：ac＞bc．


[解] (1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．


(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．


(3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，


故p是q的既不充分也不必要条件．





定义法判断充分条件、必要条件


1确定谁是条件，谁是结论.


2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件.


3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.





eq \([跟进训练])


1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．


(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．


(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0．


[解] (1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，


所以p是q的既不充分也不必要条件．


(2)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，所以p是q的充分不必要条件．


[探究问题]


1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？


[提示] 若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA．


2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？


[提示] 若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．


【例2】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ．


[思路点拨]


{m|m≥9} [因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp．


即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,m>0，,1＋m>10，))解得m≥9．


所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]





1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．


[解] 因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且pq．


则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,1－m≥－2,1＋m≤10，))，解得0

即m的取值范围是{m|0＜m≤3}．


2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4

[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P．


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4≤1，,a＋4≥3，))解得－1≤a≤5，


即a的取值范围是{a|－1≤a≤5}．





利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围


1化简p，q两命题；


2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；


3利用集合间的关系建立不等式；


4求解参数范围.








【例3】 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．


[思路点拨] 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．


[证明] ①必要性：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0．


②充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝eq \f(c,a)＜0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．


综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0．





充要条件的证明策略


(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．


(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．


提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向．





eq \([跟进训练])


2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．


[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，


q：a＋b＋c＝0．


①证明p⇒q，即证明必要性．


∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，


∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0．


②证明q⇒p，即证明充分性．


由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b．


∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，


即a(x2－1)＋b(x－1)＝0．故(x－1)(ax＋a＋b)＝0．


∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0．








充分条件、必要条件的判断方法


(1)定义法：直接利用定义进行判断．


(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．


(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么


①若A⊆B，则p是q的充分条件；q是p的必要条件；


②若AB，则p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件；


③若A＝B，则p是q的充分必要条件．





1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)


(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )


(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．( )


(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( )


[答案] (1)√ (2)√ (3)×


2．“x>0”是“x≠0”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件


A [由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]


3．已知：A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}, x，y∈Z，则x，y∈A是x＋y∈B的 条件．


(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)


既不充分又不必要 [若x＝2，y＝4, 则x＋y＝6B；因为1＋3＝4∈B，但1,3A．]


4．已知p：实数x满足3a

[解] 由p：3a

q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．


因为p⇒q，所以A⊆B，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a≥－2，,a≤3，,a<0，))即－eq \f(2,3)≤a<0，


所以a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)≤a<0))))．


学 习 目 标
核 心 素 养
1．结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)


2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)


3．理解性质定理、判定定理和定义与充分条件和必要条件之间的关系．(重点)


4．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
1．通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．


2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养．
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
pq
条件关系
p是q的充分条件


q是p的必要条件
p不是q的充分条件


q不是p的必要条件
充分条件、必要条件的判断
充分条件、必要条件、充要条件的应用
充要条件的探求与证明