黑龙江省大庆实验中学2021届高三上学期开学考试 理科数学（含答案）
展开大庆实验中学2021届高三数学（理）上学期开学考试试题
第I卷（选择题)
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分
1.“”是“函数在上单调递减”的( )。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2．如果消息发生的概率为，那么消息所含的信息量为，若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（ ）
A．王教授在第4排 B．王教授在第4排第5列 C．王教授在第5列 D．王教授在某一排
3．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．
最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( )
A．7班、14班、15班 B．14班、7班、15班 C．14班、15班、7班 D．15班、14班、7班
4．我们从这个商标中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是( )
A. B．
C． D．
5．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下列联表：
并计算得到，下列小波对地区A天气判断不正确的是（ ）
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C．有的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D．出现“日落云里走”，有的把握认为夜晚会下雨
夜晚天气,日落云里走 | 下雨 | 未下雨 |
出现 | 25 | 5 |
未出现 | 25 | 45 |
P（） | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
6．2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”，则P（A|B）＝（ ）
A． B． C． D．
7．函数，的部分图像如图所示，图中圆与的图像交于M,N两点，且M在轴上，则下列说法正确的是（ ）
A.函数的最小正周期为
B.函数的图像关于点对称
C.函数在的最小正周期为单调递增
D.将函数的图像像左平移后关于轴对称
8．电梯有位乘客，在层楼房的每一层停留，如果有两位乘客从同一层出去，另两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，则不同的下楼方法的种类数是( )
A. B. C. D.
9．若 则( )
A． B． C． D．
10．已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
11．若存在，使得函数与的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．设函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知是定义在R上的周期为3的奇函数，且，则的值_____.
14．设负数，满足，则 。
15．在平面直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，直线的极坐标方程为，直线交圆于两点，为中点.若，则.
16.已知定义在上的函数的导函数满足，则不等式的解集是____.
三、解答题：本大题共6小题，共70分
17．以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，，的轨迹为.
（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程，
（2）若点，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线的交点为，当取最小值时，求直线的普通方程.
18．已知定义域为的函数，是奇函数.
（1）求，的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作区间，9:40~10:00记作，10:00~10:20记作,10:20~10:40记作.例如：10点04分，记作时刻64.
（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；
（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9:20~10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
参考数据：若，则，，.
20．已知函数.
（1）若时，存在，使得不等式成立，求的最小值；
（2）若在上是单调函数，求的取值范围.（参考数据）
21．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若，求的取值范围．
22．已知函数
（1）证明：在区间上存在唯一的零点
（2）证明：对任意，都有
大庆实验中学2020-2021学年度上学期开学初考试
高三数学（理）答案
一、单选题(本大题共12小题，每题5分，共60分)
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
选项 | B | B | C | D | D | A | C | C | D | A | D | D |
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．14．15．或．16.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.解析：（1），（2）
【解析】（1）设点P，Q的极坐标分别为，)，因为，…2’
所以曲线的极坐标方程为，……3’
两边同乘以ρ，得，
所以的直角坐标方程为，即……5’
（2）设点A，B对应的参数分别为，，则，
将直线l的参数方程，（为参数），代入的直角坐标方程中，整理得.由根与系数的关系得……6’
∴……8’
，
( 当且仅当时，等号成立)……9’
∴当取得最小值时，直线l的普通方程为……10’
18.解析：（1）因为是上的奇函数，所以，即，解得.……2’
从而有.又由知，解得
经检验，当时，，满足题意……4’
（2）由（1）知，由上式易知在上为减函数，……6’
又因为是奇函数，从而不等式等价于.……8’
因为是上的减函数，由上式推得.……10’
即对一切有，从而，解得.……12’
19．解析：（1）由题意，这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为
，即10点04分. …2’
（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在这一区间内的车辆数，即，所以X的可能取值为0，1，2，3，4.……4’
所以，，，
，，
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
所以X的分布列为
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
p |
……6’
所以. ……8’
（3）由（1）可得，
，所以.……10’
估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，由，
……11’
所以，估计在9:46~10:40这一时间段内通过的车辆数为辆.……12’
20.解析：解：（1）存在，使得不等式成立，则只需.……2’
∵.……3’
∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.……4’
∴在处取得极小值，即，又，∴，……5’
∴，∴.故.……6’
（2）当时，.……7’
当时，，则在上单调递增；……8’
当时，∵，∴，∴，则在上单调递增；……9’
当时，设，函数开口向下，其对称轴，……11’
故只需，即，此时在上单调递减.
综上可得，.……12’
- 解析:（1），，……1’
.，∴切点坐标为(1,1+e),……2’
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,∴所求三角形面积为;……4’
（2）解法一：,，且.……5’
设,则∴在上单调递增，即在上单调递增，……6’
当时，,∴,∴成立.……7’
当时， ，，,
∴存在唯一，使得，……8’
且当时，当时，，，…9’
因此
∴∴恒成立；…10’
当时， ∴不是恒成立.…11’
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).……12’
解法二：等价于,……6’
令,上述不等式等价于,
显然为单调增函数，∴又等价于，即，…8’
令,则
在上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，……10’
∴,……11’
，∴的取值范围是.……12’
解法三：，……5’
证明：……7’
又，所以，因此只需证明：，即证：……8’
①当时，恒成立……9’
②当时满足题意……10’
③当时，不成立
又当时， ∴不是恒成立……11’
∴的取值范围是.……12’
- 证明：设，……2’
，即……3’
故在区间上单调递减……4’
又……5’
所以在区间上存在唯一零点……6’
（2）要证，
即证……7’
……8’
，所以存在唯一的……9’
当，当……10’
故……11’
因为，综上所述对任意，都有……12’
