高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切优秀课后练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切优秀课后练习题，共6页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.计算sin8°cs 38°－sin82°sin38°等于( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(,2),2) C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(\r(,3),2)


C [逆用两角差的正弦公式，得sin8°cs 38°－sin82°sin38°＝sin8°cs 38°－cs 8°sin38°＝sin(8°－38°)＝sin(－30°)＝－eq \f(1,2).]


2.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋θ))cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋θ))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ))＝( )


A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)


C．eq \f(\r(,3),2) D．－eq \f(\r(,3),2)


A [逆用两角和的正弦公式，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋θ))cs eq \f(π,12)－θ＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋θ))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ))


＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋θ))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)－θ))))＝sineq \f(5π,6)＝eq \f(1,2).]


3.已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,4)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))＝( )


A．eq \f(15,16) B．－eq \f(15,16)


C．eq \f(7,8) D．－eq \f(7,8)


D [∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(1,4)，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(2π,3)))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))


＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(7,8).故选D．]


4．已知sin α＝eq \f(12,13)，cs β＝eq \f(4,5)，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )


A．eq \f(33,65) B．eq \f(63,65) C．－eq \f(16,65) D．－eq \f(56,65)


A [因为α是第二象限角， 且sin α＝eq \f(12,13)， 所以cs α


＝－eq \r(1－\f(144,169))＝－eq \f(5,13).


又因为β是第四象限角， cs β＝eq \f(4,5)， 所以sinβ


＝－eq \r(1－\f(16,25))＝－eq \f(3,5).


sin(α－β)＝sinα cs β－cs α sinβ＝eq \f(12,13)×eq \f(4,5)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝eq \f(48－15,65)＝eq \f(33,65).]


5．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcs C，则△ABC是( )


A．锐角三角形 B．直角三角形


C．钝角三角形 D．等腰三角形


D [∵A＝180°－(B＋C)，∴sin A＝sin(B＋C)


＝2sin Bcs C．


又sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C，∴sin Bcs C－cs Bsin C＝sin(B－C)＝0.


则B＝C，故△ABC为等腰三角形．]


6．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠ CED等于( )





A．eq \f(3\r(10),10) B．eq \f(\r(10),10) C．eq \f(\r(5),10) D．eq \f(\r(5),15)


B [由题意知sin∠BEC＝eq \f(1,\r(5))，cs ∠BEC＝eq \f(2,\r(5))，


又∠CED＝eq \f(π,4)－∠BEC，所以sin∠CED＝sineq \f(π,4)cs ∠BEC－cs eq \f(π,4)sin∠BEC＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(2,\r(5))－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(10),10).]


二、填空题


7．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的最小正周期和最大值分别为________．


π，1 [f(x)＝sin 2xcs eq \f(π,6)＋cs 2xsin eq \f(π,6)＋cs 2xcs eq \f(π,3)－sin 2xsin eq \f(π,3)＝cs 2x，∴最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，f(x)max＝1.]


8．计算eq \f(sin68°－cs 60°sin8°,cs 68°＋sin60°sin8°) 的值是________．


eq \r(3) [因为sin68°＝sin60°cs 8°＋cs 60°sin8°，cs 68°＝cs 60°cs 8°－sin60°sin8°，


所以eq \f(sin68°－cs 60°sin8°,cs 68°＋sin60°sin8°)＝eq \f(sin60°cs 8°,cs 60°cs 8°)＝tan60 °＝eq \r(3) .]


9．若函数f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x,0≤ x＜eq \f(π,2)，则f(x)的最大值为________．


2 [f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(3)\f(sin x,cs x)))cs x＝cs x＋eq \r(3)sin x


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs x＋\f(\r(3),2)sin x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).


∵0≤x＜eq \f(π,2)，∴eq \f(π,6)≤ x＋eq \f(π,6)＜eq \f(2π,3).


∴eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))≤ 1.


∴1≤ f(x)≤ 2.∴f(x)的最大值为2.]


三、解答题


10．已知sin(α－β)cs α－cs(β－α)sin α＝eq \f(4,5)，β是第三象限角，求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β＋\f(π,4)))的值．


[解] ∵sin(α－β)cs α－cs(β－α)sin α＝sin(α－β)cs α－cs(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝eq \f(4,5).


∴sin β＝－eq \f(4,5)，又β是第三象限角，


∴cs β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(3,5)，


∴sin(β＋eq \f(π,4))＝sin βcs eq \f(π,4)＋cs βsineq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).]


[等级过关练]


1.已知cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))的值为( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(4,5)D．－eq \f(1,2)


C [∵cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＋sin α＝eq \f(\r(3),2)cs α＋eq \f(3,2)sin α＝eq \f(4\r(3),5)，


∴eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(4,5).


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,6)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin α＋\f(1,2)cs α))＝－eq \f(4,5).]


2.已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且cs α＝eq \f(4,5)，sin(α＋β)＝eq \f(2,3)，则( )


A．β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B．β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))


C．β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3))) D．β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))


C [∵已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且cs α＝eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,2),2)，\f(\r(,3),2)))，∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4))).


∵sin(α＋β)＝eq \f(2,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(,2),2)))，∴α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(5π,6)))，


∴β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3)))，故选C．]


3.关于函数 f(x)＝sinx＋eq \r(3)cs x，有下述三个结论：


① f(x)是偶函数；


②f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上单调递增；


③当x＝θ时，函数f(x)取得最大值，则cs θ＝eq \f(\r(3),2).


其中，所有正确结论的编号是____________．


②③ [函数 f(x)＝sinx＋eq \r(3)cs x


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinx·\f(1,2)＋cs x ·\f(\r(3),2)))


＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin xcs \f(π,3)＋cs xsin\f(π,3)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，


显然， f(x)不是偶函数，①不正确；


由－eq \f(π,2)＋2kπ≤x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq \f(5π,6)＋2kπ≤x≤eq \f(π,6)＋2kπ，


所以f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)＋2kπ，\f(π,6)＋2kπ))上单调递增，从而f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,6)))上单调递增，②正确；


函数f(x)的最大值为2，


此时x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋2kπ，x＝eq \f(π,6)＋2kπx＝θ，k∈Z，所以cs θ＝eq \f(\r(3),2)， ③正确．]


4．定义运算eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc.若cs α＝eq \f(1,7)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin α sin β,cs α cs β))＝eq \f(3\r(3),14)，0＜β＜α＜eq \f(π,2)，则β等于________．


eq \f(π,3) [由题意得，sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(3\r(3),14)，∴sin(α－β)＝eq \f(3\r(3),14).


∵0＜β＜α＜eq \f(π,2)，∴cs(α－β)＝eq \r(1－\f(27,196))＝eq \f(13,14).又cs α＝eq \f(1,7)得sin α＝eq \f(4\r(3),7).


cs β＝cs [α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2).∴β＝eq \f(π,3).]


5．已知函数f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，x∈R，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝eq \f(3\r(2),2).


(1)求A的值；


(2)若f(θ)－f(－θ)＝eq \r(3)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ)).


[解](1)由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)))＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)＋\f(π,3)))


＝Asin eq \f(3π,4)＝eq \f(A\r(2),2)＝eq \f(3\r(2),2)，可得A＝3.


(2)f(θ)－f(－θ)＝eq \r(3)，


则3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))－3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ))＝eq \r(3)，


3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs θ＋\f(1,2)sin θ))－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs θ－\f(1,2)sin θ))＝eq \r(3)，


得，sin θ＝eq \f(\r(3),3).


因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以cs θ＝eq \f(\r(6),3)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))


＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ＋\f(π,3)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＝3cs θ＝eq \r(6).