高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数7.1 任意角的概念与弧度制7.1.2 弧度制及其与角度制的换算精品课后测评
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[合格基础练]
一、选择题
1.下列转化结果错误的是( )
A.60°化成弧度是eq \f(π,3)
B.-eq \f(10,3) π化成度是-600°
C.-150°化成弧度是-eq \f(7,6) π
D.eq \f(π,12) 化成度是15°
C [对于A,60°=60×eq \f(π,180)=eq \f(π,3);对于B,-eq \f(10π,3)=-eq \f(10,3)×180°=-600°;对于C,-150°=-150×eq \f(π,180)=-eq \f(5,6) π;对于D,eq \f(π,12)=eq \f(1,12)×180°=15°.]
2.若α=-3,则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C [∵-π<-3<-eq \f(π,2) ,∴α是第三象限角.]
3.将1 920°转化为弧度数为( )
A.eq \f(16,3) B.eq \f(32,3)
C.eq \f(16π,3) D.eq \f(32π,3)
D [1 920°=1 920×eq \f(π,180)=eq \f(32π,3).]
4.把-eq \f(11,4) π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是( )
A.-eq \f(3π,4) B.-eq \f(π,4)
C.eq \f(π,4) D.eq \f(3π,4)
A [-eq \f(11π,4)=-2π-eq \f(3π,4).
∴-eq \f(11π,4) 与-eq \f(3π,4) 是终边相同的角,且此时|-eq \f(3π,4) |=eq \f(3π,4) 是最小的.]
5.圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(2π,3)
C.eq \r(3) D.2
C [如图,设圆的半径为R,则圆的内接正三角形的边长为eq \r(3) R,所以圆弧长度为eq \r(3)R的圆心角的弧度数α=eq \f(\r(3)R,R)=eq \r(3).]
6.已知半径为1的扇形面积为eq \f(3,8) π,则扇形的圆心角为( )
A.eq \f(3,16) π B.eq \f(3,8) π
C.eq \f(3,4) π D.eq \f(3,2) π
C [∵S=eq \f(1,2) rl,∴eq \f(3π,8)=eq \f(1,2) l,∴l=eq \f(3π,4) ,故选C.]
二、填空题
7.如果一个圆的半径变为原来的一半,而弧长变为原来的eq \f(3,2) 倍,则该弧所对的圆心角是原来的________倍.
3 [设圆的半径为r,弧长为l,其弧度数为eq \f(l,r).将半径变为原来的一半,弧长变为原来的eq \f(3,2) 倍,则弧度数变为eq \f(\f(3,2)l,\f(1,2)r)=3·eq \f(l,r) ,即弧度数变为原来的3倍.]
8.已知扇形的半径是16,圆心角是2弧度,则扇形的弧长是________.
32 [∵R=16,α=2 rad,
∴l=α·R=16×2=32.]
9.若角α的终边与eq \f(8,5) π角的终边相同,则在[0,2π]上,终边与eq \f(α,4) 角的终边相同的角是________.
eq \f(2π,5) ,eq \f(9π,10) ,eq \f(7π,5) ,eq \f(19π,10) [由题意,得α=eq \f(8π,5)+2kπ,∴eq \f(α,4)=eq \f(2π,5)+eq \f(kπ,2)(k∈Z).令k=0,1,2,3,得eq \f(α,4)=eq \f(2π,5) ,eq \f(9π,10) ,eq \f(7π,5) ,eq \f(19π,10).]
三、解答题
10.如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.
[解] 取AB的中点D,连接OD,
∵120°=eq \f(120,180) π=eq \f(2,3) π,
∴l=6×eq \f(2,3) π=4π,∴eq \(AB,\s\up10(︵)) 的长为4π.
∵S扇形OAB=eq \f(1,2) lr=eq \f(1,2)×4π×6=12π,
如图所示,有S△OAB=eq \f(1,2)×AB×OD=eq \f(1,2)×2×6cs 30°×3=9eq \r(3).
∴S弓形ACB=S扇形OAB-S△OAB=12π-9eq \r(3).
∴弓形ACB的面积为12π-9eq \r(3).
[等级过关练]
1.若α是第四象限角,则π-α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
C [∵α是第四象限角.∴2kπ-eq \f(π,2)<α<2kπ(k∈Z),
∴-2kπ<-α<-2kπ+eq \f(π,2).∴-2kπ+π<π-α<-2kπ+eq \f(3π,2).
∴π-α是第三象限角.]
2.集合P={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},Q={α|-4≤α≤4},则P∩ Q=( )
A.
B.{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}
C.{α|-4≤α≤4}
D.{α|0≤α≤π}
B [如图,在k≥1或k≤-2时,[2kπ,(2k+1)π]∩[-4,4]为空集,分别取k=-1,0,于是P∩Q={α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}.]
3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2,则这扇形圆心角所对的弧长为________.
eq \f(2,sin 1) [设半径为R,则R sin 1=1,∴R=eq \f(1,sin 1) ,∴弧长l=eq \f(2,sin 1).]
4.若角α的终边与角eq \f(π,6)的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α=________.
-eq \f(11π,3),-eq \f(5π,3),eq \f(π,3),eq \f(7π,3) [由题意,角α与eq \f(π,3)终边相同,则eq \f(π,3)+2π=eq \f(7,3)π,
eq \f(π,3)-2π=-eq \f(5,3)π,eq \f(π,3)-4π=-eq \f(11,3)π.]
5.如图,已知一长为eq \r(3) dm,宽1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚,翻滚到第三面时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成30°的角.问点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积.
[解] AA1所对的圆半径是2 dm,圆心角为eq \f(π,2) ,A1A2所对圆半径是1 dm,圆心角是eq \f(π,2) ,A2A3所对的圆半径是eq \r(3) dm,圆心角是eq \f(π,3) ,所以走过的路程是3段圆弧之和,即2×eq \f(π,2)+1×eq \f(π,2)+eq \r(3)×eq \f(π,3)=eq \f(9+2\r(3),6) π(dm);3段圆弧所对的扇形的总面积是eq \f(1,2)×2×π+eq \f(1,2)×eq \f(π,2)×1+eq \f(1,2)×eq \r(3)×eq \f(\r(3)π,3)=eq \f(7π,4)(dm2).
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