人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式优秀当堂检测题

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.2.3 同角三角函数的基本关系式优秀当堂检测题，共5页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.下列结论中成立的是( )


A．sin α＝eq \f(1,2) 且cs α＝eq \f(1,2)B．tan α＝2且eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,3)


C．tan α＝1且cs α＝±eq \f(\r(2),2)D．sin α＝1且tan α·cs α＝1


C [A中，sin2α＋cs2α＝eq \f(1,2) ≠1，故不成立；B中，eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(1,3) ，即tan α＝3，与tan α＝2矛盾，故不成立；D中，sin α＝1时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，此时tan α无意义，故不成立．]


2.化简 eq \r(1－sin2\f(π,5)) 的结果是( )


A．sin eq \f(π,5) B．－sin eq \f(π,5)


C．cs eq \f(π,5) D．－cs eq \f(π,5)


C [∵00.∴ eq \r(1－sin2\f(π,5))＝eq \r(cs2\f(π,5))＝cs eq \f(π,5).]


3.已知eq \f(sin θ＋cs θ,sin θ－cs θ)＝2，则sin θcs θ的值是( )


A．eq \f(3,4) B．±eq \f(3,10)


C．eq \f(3,10) D．－eq \f(3,10)


C [由题意得sin θ＋cs θ＝2(sin θ－cs θ)，∴(sin θ＋cs θ)2＝4(sin θ－cs θ)2，


解得sin θcs θ＝eq \f(3,10).]


4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcs θ的值是( )


A．eq \f(7,3) B．eq \f(7,5)


C．eq \f(5,4) D．eq \f(5,3)


B [1＋sin θcs θ＝eq \f(sin2θ＋cs2θ＋sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(1＋tan2θ＋tan θ,1＋tan2θ)＝eq \f(1＋22＋2,1＋22)＝eq \f(7,5).]


5．若sin θ＝eq \f(m－3,m＋5) ，cs θ＝eq \f(4－2m,m＋5) ，则m的值为( )


A．0 B．8


C．0或8 D．3

C [由sin2θ＋cs2θ＝1，得eq \f(m－32,m＋52)＋eq \f(4－2m2,m＋52)＝1，解得m＝0或8.]


6．函数y＝eq \f(\r(1－sin2x),cs x)＋eq \f(\r(1－cs2x),sin x)的值域是( )


A．{0,2} B．{－2,0}


C．{－2,0,2} D．{－2,2}


C [y＝eq \f(|cs x|,cs x)＋eq \f(|sin x|,sin x).当x为第一象限角时，y＝2；


当x为第三象限角时，y＝－2；当x为第二、四象限角时，y＝0.]


二、填空题


7．已知eq \f(sin α＋2cs α,cs α)＝1，则α在第________象限．


二或四 [由eq \f(sin α＋2cs α,cs α)＝1⇒tan α＝－1<0.∴α在第二或第四象限．]


8．化简eq \f(sin α,1＋sin α)－eq \f(sin α,1－sin α) 的结果为________．


－2tan2α [eq \f(sin α,1＋sin α)－eq \f(sin α,1－sin α)


＝eq \f(sin α1－sin α－sin α1＋sin α,1＋sin α1－sin α)


＝eq \f(－2sin2α,1－sin2α)＝eq \f(－2sin2α,cs2α)＝－2tan2α.]


9．在△ABC中，eq \r(2) sin A＝eq \r(3csA) ，则角A＝________.


eq \f(π,3) [由题意知cs A>0，即A为锐角．


将eq \r(2) sin A＝eq \r(3csA) 两边平方得2sin2A＝3cs A．


∴2cs2A＋3csA－2＝0，


解得cs A＝eq \f(1,2) 或cs A＝－2(舍去)，∴A＝eq \f(π,3).]


三、解答题


10．已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cs θ(θ∈(0，π))，求：


(1)m的值；


(2)eq \f(sin θ,1－ct θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中ct θ＝\f(1,tan θ)))；


(3)方程的两根及此时θ的值．


[解](1)由根与系数的关系可知，


sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，①


sin θ·cs θ＝m.②


将①式平方得1＋2sin θ·cs θ＝eq \f(2＋\r(3),2)，


所以sin θ·cs θ＝eq \f(\r(3),4)，


代入②得m＝eq \f(\r(3),4).


(2)eq \f(sin θ,1－ct θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)


＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2).


(3)由(1)得m＝eq \f(\r(3),4)，所以原方程化为2x2－(eq \r(3)＋1)x＋eq \f(\r(3),2)＝0，解得x1＝eq \f(\r(3),2)，x2＝eq \f(1,2).


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2),cs θ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2).))


又因为θ∈(0，π)，


所以θ＝eq \f(π,3)或eq \f(π,6).


[等级过关练]


1.已知－eq \f(π,2)<θ

A．－3 B．3或eq \f(1,3)


C．－eq \f(1,3) D．－3或－eq \f(1,3)


C [因为sin θ＋cs θ＝a，a∈(0,1)，两边平方整理得sin θcs θ＝eq \f(a2－1,2)<0，故－eq \f(π,2)<θ<0且cs θ>－sin θ，


∴|cs θ|>|sin θ|，借助三角函数线可知－eq \f(π,4)<θ<0，－1

2.已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcs θ－2cs2θ等于( )


A．－eq \f(4,3) B．eq \f(5,4)


C．－eq \f(3,4) D．eq \f(4,5)


D [sin2θ＋sin θcs θ－2cs2θ


＝eq \f(sin2θ＋sin θcs θ－2cs2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(tan2θ＋tan θ－2,tan2θ＋1)，


又tan θ＝2，故原式＝eq \f(4＋2－2,4＋1)＝eq \f(4,5).]


3.已知sin α＋2cs α＝0，则2sin αcs α－cs2α的值是________．


－1 [由sin α＋2cs α＝0，得tan α＝－2.


所以2sin αcs α－cs2α＝eq \f(2sin αcs α－cs2α,sin2α＋cs2α)＝


eq \f(2tan α－1,tan2α＋1)＝eq \f(－4－1,4＋1)＝－1.]


4．若sin α＋cs α＝1，则sinnα＋csnα(n∈Z)的值为________．


1 [∵sin α＋cs α＝1，


∴(sin α＋cs α)2＝1，又sin2α＋cs2α＝1，


∴sin αcs α＝0，∴sin α＝0或cs α＝0，


当sin α＝0时cs α＝1，此时有sinnα＋csnα＝1；


当cs α＝0时sin α＝1，也有sinnα＋csnα＝1，


∴sinnα＋csnα＝1.]


5．是否存在一个实数k，使方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦．


[解] 设这两个锐角为A，B，


∵ A＋B＝90°，∴ sin B＝cs A，


所以sin A，cs A为8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根．


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin A＋cs A＝－\f(3k,4) ①,sin Acs A＝\f(2k＋1,8) ②))


② 代入① 2，得9k2－8k－20＝0，解得k1＝2，k2＝－eq \f(10,9) ，当k＝2时，原方程变为8x2＋12x＋5＝0，


∵ Δ<0，∴ 方程无解；将k＝－eq \f(10,9) 代入② ，得sin Acs A＝－eq \f(11,72)<0，


所以A是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k.