人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广精品达标测试

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广精品达标测试，共6页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.已知cs α＝eq \f(1,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则sin eq \f(α,2)等于( )


A．eq \f(\r(10),5) B．－eq \f(\r(10),5)


C．eq \f(2\r(6),5) D．eq \f(2\r(5),5)


A [∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，∴eq \f(α,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2))＝eq \f(\r(10),5).]


2.设α是第二象限角，tan α＝－eq \f(4,3)，且sin eq \f(α,2)

A．－eq \f(\r(5),5) B．eq \f(\r(5),5)


C．eq \f(3,5) D．－eq \f(3,5)


A [因为α是第二象限角，且sin eq \f(α,2)

因为tan α＝－eq \f(4,3)，所以cs α＝－eq \f(3,5)，所以cs eq \f(α,2)


＝－eq \r(\f(1＋cs α,2))＝－eq \f(\r(5),5).]


3.若sin74°＝m，则cs 8°＝( )


A．eq \r(,\f(1－m,2))B．±eq \r(,\f(1－m,2))


C．eq \r(,\f(1＋m,2))D．±eq \r(,\f(1＋m,2))


C [∵sin74°＝m＝cs 16°，∴cs 8°＝eq \r(,\f(1＋cs 16°,2))


＝eq \r(,\f(1＋m,2))，故选C．]


4．已知cs θ＝－eq \f(3,5)，且180°<θ<270°，则taneq \f(θ,2)的值为( )


A．2 B．－2


C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)


B [法一：∵180°<θ<270°，∴90°

∴tan eq \f(θ,2)<0，


∴tan eq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1－cs θ,1＋cs θ))＝－eq \r(\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))))＝－2.


法二：∵180°<θ<270°，∴sin θ<0，


∴sin θ＝－eq \r(1－cs2θ)＝－eq \r(1－\f(9,25))＝－eq \f(4,5)，


∴taneq \f(θ,2)＝eq \f(sin θ,1＋cs θ)＝eq \f(－\f(4,5),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))))＝－2.]


5．已知taneq \f(θ,2)＝3，则cs θ等于( )


A．eq \f(4,5) B．－eq \f(4,5)


C．eq \f(4,15) D．－eq \f(3,5)


B [cs θ＝eq \f(cs2\f(θ,2)－sin2\f(θ,2),cs2\f(θ,2)＋sin2\f(θ,2))＝eq \f(1－tan2\f(θ,2),1＋tan2\f(θ,2))＝eq \f(1－32,1＋32)＝－eq \f(4,5).]


6．若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))等于( )


A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．2 D．－2


A [∵α是第三象限角，cs α＝－eq \f(4,5)，∴sin α＝－eq \f(3,5).


∴eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq \f(1＋\f(sin\f(α,2),cs \f(α,2)),1－\f(sin\f(α,2),cs \f(α,2)))＝eq \f(cs \f(α,2)＋sin\f(α,2),cs \f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq \f(1＋sin α,cs α)＝eq \f(1－\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq \f(1,2).故选A．]


二、填空题


7．设5π＜θ＜6π，cs eq \f(θ,2)＝a，则sin eq \f(θ,4)的值等于________．


－eq \r(\f(1－a,2)) [由sin2eq \f(θ,4)＝eq \f(1－cs \f(θ,2),2)，∵θ∈(5π，6π)，


∴eq \f(θ,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))，


∴sin eq \f(θ,4)＝－eq \r(\f(1－cs \f(θ,2),2))＝－eq \r(\f(1－a,2)).]


8．在△ABC中，若cs A＝eq \f(1,3)，则sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A＝________.


－eq \f(1,9) [sin2eq \f(B＋C,2)＋cs 2A＝eq \f(1－csB＋C,2)＋2cs2A－1＝eq \f(1＋cs A,2)＋2cs2A－1＝－eq \f(1,9).]


9．已知α是第三象限角，sin α＝－eq \f(24,25)，则taneq \f(α,2)的值是________．


－eq \f(4,3) [∵α是第三象限角，∴2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq \f(3π,2)，


∴kπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜kπ＋eq \f(3π,4)，


∴taneq \f(α,2)＜－1，sinα＝eq \f(2tan\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝－eq \f(24,25)，


整理得12tan2eq \f(α,2)＋25taneq \f(α,2)＋12＝0


∴taneq \f(α,2)＝－eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)(排除)．]


三、解答题


10．已知0＜x＜eq \f(π,2)＜y＜π，cs(y－x)＝eq \f(5,13).若taneq \f(x,2)＝eq \f(1,2)，分别求：


(1)sineq \f(x,2)和cseq \f(x,2)的值；


(2)cs x及cs y的值．


[解](1)由tan x＝eq \f(2tan\f(x,2),1－tan2\f(x,2))＝eq \f(2×\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up8(2))＝eq \f(4,3)且x为锐角，


所以cs x＝eq \f(1,\r(,1＋tan2x))＝eq \f(3,5)，


因为cs x＝2cs2eq \f(x,2)－1＝eq \f(3,5)，解得cseq \f(x,2)＝eq \f(2\r(,5),5)，


而taneq \f(x,2)＝eq \f(sin\f(x,2),cs\f(x,2))＝eq \f(1,2)，所以sineq \f(x,2)＝eq \f(1,2)cs x＝eq \f(\r(,5),5).


(2)由题知0＜y－x＜π，而cs(y－x)＝eq \f(5,13)得到y－x为锐角，


所以sin(y－x)＝eq \r(,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,13)))eq \s\up8(2))＝eq \f(12,13)，


则tan(y－x)＝eq \f(tan y－tan x,1+tan ytan x)＝eq \f(12,5).


由tanx＝eq \f(4,3)，所以tan y＝－eq \f(56,33).则cs x＝eq \f(3,5)，


因为y为钝角，所以cs y＝－eq \f(1,\r(,1＋tan2y))


＝－eq \f(33,65).


[等级过关练]


1.已知sin θ＝eq \f(m－3,m＋5)，cs θ＝eq \f(4－2m,m＋5),θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan eq \f(θ,2)等于( )


A．－eq \f(1,3) B．5


C．－5或eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)或5


B [由sin2θ＋cs 2θ＝1，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m－3,m＋5)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－2m,m＋5)))eq \s\up12(2)＝1，解得m＝0或8，当m＝0时，sin θ<0，不符合eq \f(π,2)<θ<π.


∴m＝0舍去，故m＝8，sin θ＝eq \f(5,13)，cs θ＝－eq \f(12,13)，tan eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cs θ,sin θ)＝eq \f(1＋\f(12,13),\f(5,13))＝5.]


2.若α∈(0，π)，且3sin α＋2cs α＝2，则taneq \f(α,2)等于( )


A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(,3),2) D．eq \f(3,2)


D [∵α∈(0，π)，且3sinα＋2cs α＝6sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＋2(2cs2eq \f(α,2)－1)＝2，∴6sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＋4cs2eq \f(α,2)＝4，


即3sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＋2cs2eq \f(α,2)＝2，


∴eq \f(3sin\f(α,2)cs\f(α,2)＋2cs2\f(α,2),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2))＝eq \f(3tan\f(α,2)＋2,tan2\f(α,2)＋1)＝2，解得taneq \f(α,2)＝eq \f(3,2)或taneq \f(α,2)＝0(舍去)，故选D．]


3.eq \f(sin 4x,1＋cs 4x)·eq \f(cs 2x,1＋cs 2x)·eq \f(cs x,1＋cs x)＝________.


tan eq \f(x,2) [原式＝eq \f(2sin 2xcs 2x,2cs22x)·eq \f(cs 2x,1＋cs 2x)·eq \f(cs x,1＋cs x)＝eq \f(sin 2x,1＋cs 2x)·eq \f(cs x,1＋cs x)＝eq \f(2sin xcs x,2cs2x)·eq \f(cs x,1＋cs x)＝eq \f(sin x,1＋cs x)＝tan eq \f(x,2).]


4．设0≤ α≤ π，不等式8x2－8xsin α＋cs 2α≥0对任意x∈R恒成立，则α的取值范围是________．


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π)) [由题意知，Δ＝(8sin α)2－4×8×cs 2α≤0，即2sin2α－cs 2α≤ 0，所以4sin2α≤1，


所以－eq \f(1,2)≤ sin α≤ eq \f(1,2).因为0≤ α≤ π，所以0≤ α≤ eq \f(π,6)或eq \f(5π,6)≤α≤π.]


5．如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？





[解] 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcs α，∴l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcs α＝R(sin α＋cs α)＋R＝eq \r(2)Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＋R.


∵0＜α＜eq \f(π,2)，∴eq \f(π,4)＜α＋eq \f(π,4)＜eq \f(3π,4).


∴l的最大值为eq \r(2)R＋R＝(eq \r(2)＋1)R，此时，α＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(π,4)，


即当α＝eq \f(π,4)时，△OAB的周长最大．