人教B版 (2019)必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念优秀巩固练习

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念优秀巩固练习，共6页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.已知向量|a|＝1，|b|＝2，a，b的夹角为θ，若tan θ＝eq \r(3)，则a·b的值为( )


A．1 B．2


C．3 D．－1


A [因为向量|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝θ，tan θ＝eq \r(3)，θ∈[0, π]，则θ＝60°，所以a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉＝1.]


2.已知向量|a|＝3|b|＝a·b＝3，则下列结论正确的是( )


A．a⊥b B．a∥b


C．|a＋b|＝3 D．|a－b|＝3


B [已知向量|a|＝3|b|＝a·b＝3，则|b|＝1，a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉＝3 cs 〈a，b〉＝3，


所以cs 〈a，b〉＝1，因为〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝0，所以a＝3b，a∥b，|a＋b|＝4，|a－b|＝2，故选B．]


3.若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是( )


A．e1·e2＝1B．e1·e2＝－1


C．e1·e2＝±1D．|e1·e2|<1


C [因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝|e1||e2|cs 0°＝1；


当e1，e2方向相反时，e1·e2＝|e1||e2|cs 180°＝－1.综上所述，得e1·e2＝±1.]


4．如图，已知正六边形ABCDEF，下列向量的数量积中最大的是( )





A．eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))


B．eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))


C．eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AE,\s\up8(→))


D．eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AF,\s\up8(→))


A [法一：设正六边形的边长为2，则AC＝2eq \r(3)，eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(AC,\s\up8(→))|cs 30°＝6，


eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(AD,\s\up8(→))|cs 60°＝4，


eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AE,\s\up8(→))＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(AE,\s\up8(→))|cs 90°＝0，


eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AF,\s\up8(→))＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(AF,\s\up8(→))|cs 120°＝－2.


法二：显然，向量eq \(AC,\s\up8(→))在eq \(AB,\s\up8(→))上投影的数量最大，


所以eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))最大．]


5．已知单位向量a，b满足|a－b|＝|a＋2b|，则a，b夹角为( )


A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)


C [∵a，b是单位向量，且|a－b|＝|a＋2b|，


∴(a－b)2＝(a＋2b)2，


∴a2－2a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，


∴1－2a·b＋1＝1＋4a·b＋4，∴a·b＝－eq \f(1,2)，


∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(1,2)，


又0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝eq \f(2π,3).故选C．]


6．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则下列结论错误的是( )


A．eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝0 B．eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝2


C．eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝2 D．|eq \(AB,\s\up8(→))|cs B＝|eq \(BC,\s\up8(→))|


C [在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，


则eq \f(1,2)AC2＝1，得AC＝eq \r(2)，得AB＝2，


所以eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝0 ，选项A正确；


eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(AC,\s\up8(→))|cs 45°＝2，选项B正确；


eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs 135°＝－2，选项C不正确；


向量eq \(BA,\s\up8(→))在eq \(BC,\s\up8(→))上投影的数量为|eq \(BC,\s\up8(→))|，即|eq \(AB,\s\up8(→))|cs B＝|eq \(BC,\s\up8(→))|，选项D正确，故选C．]


二、填空题


7．已知向量a·b＝15＝3|b|，则向量a在b 上投影的数量为______．


3 [因为a·b＝15＝3|b|，所以|b|＝5，则向量a在b上投影的数量为|a|cs 〈a，b〉＝eq \f(a·b,|b|)＝3.]


8．已知点A，B，C满足|eq \(AB,\s\up8(→))|＝3，|eq \(BC,\s\up8(→))|＝4，|eq \(CA,\s\up8(→))|＝5，则eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))的值是________．


－25 [ ∵|eq \(CA,\s\up8(→))|2＝|eq \(AB,\s\up8(→))|2＋|eq \(BC,\s\up8(→))|2，


∴B＝90°，∴eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝0.


∵cs C＝eq \f(4,5)，cs A＝eq \f(3,5)，


∴eq \(BC,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝|eq \(BC,\s\up8(→))|·|eq \(CA,\s\up8(→))|cs(180°－C)


＝4×5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＝－16.


eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝|eq \(CA,\s\up8(→))|·|eq \(AB,\s\up8(→))|cs(180°－A)


＝5× 3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－9.


∴eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝－25.]


9．已知正方形ABCD的边长为2，则向量eq \(AB,\s\up8(→))在eq \(AD,\s\up8(→))上的投影的数量为________，eq \(AB,\s\up8(→))在eq \(CA,\s\up8(→))上的投影的数量为________．


0 －eq \r(2) [法一：因为正方形ABCD的边长为2，eq \(AB,\s\up8(→))⊥eq \(AD,\s\up8(→))，则向量Aeq \(B,\s\up8(→))在Aeq \(D,\s\up8(→))上的投影的数量为|Aeq \(B,\s\up8(→))|cs 90°＝0，Aeq \(B,\s\up8(→))在eq \(CA,\s\up8(→))上的投影的数量为|Aeq \(B,\s\up8(→))|cs 135°＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－eq \r(2).


法二：如图，正方形ABCD的边长为2，eq \(AB,\s\up8(→))⊥Aeq \(D,\s\up8(→))，则向量eq \(AB,\s\up8(→))在eq \(AD,\s\up8(→))上的投影的数量为0，eq \(AB,\s\up8(→))在Aeq \(C,\s\up8(→))上的投影的数量为eq \r(2)，所以eq \(AB,\s\up8(→))在eq \(CA,\s\up8(→))上的投影的数量为－eq \r(2).


]


三、解答题


10．已知|a|＝2，b2＝3，


若(1)a∥b；


(2)a⊥b；


(3)a与b的夹角为150°，分别求a·b.


[解] 因为|a|＝2，b2＝3，所以|b|＝eq \r(3).


(1)当a∥b时， a·b＝|a||b|cs 0°＝2×eq \r(3)×1＝2eq \r(3)或a·b＝|a||b|cs 180°＝2×eq \r(3)×(－1)＝－2eq \r(3).


(2)当a⊥b时，a·b＝|a||b|cs 90°＝2×eq \r(3)×0＝0.


(3)当a与b的夹角为150°时， a·b＝|a||b|cs 150°＝2×eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝－3.


[等级过关练]


1.已知a是非零向量，e是单位向量，则下列表示正确的是( )


A．a·e＝|a| B．a·e<|a|


C．a·e≤|a| D．|a·e|<|a|


C [因为a是非零向量，e是单位向量，则a·e＝|a||e|cs 〈a，b〉＝|a|cs 〈a，b〉≤|a|，


|a·e|≤|a|，故选C．]


2.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝－8，则△ABC的形状是( )


A．直角三角形 B．等边三角形


C．钝角三角形 D．等腰直角三角形


B [依题意，得eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(AC,\s\up8(→))|cs ∠BAC，即8＝4×4cs ∠BAC，于是cs ∠BAC＝eq \f(1,2)，所以∠BAC＝60°.


又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．]


3.己知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上的动点．则eq \(BC,\s\up8(→))·eq \(DE,\s\up8(→))的值为________．


－a2 [如图，因为向量eq \(DE,\s\up8(→))在eq \(DA,\s\up8(→))上投影的数量为a，即|eq \(DE,\s\up8(→))|cs ∠ ADE＝a，所以eq \(DE,\s\up8(→))在eq \(BC,\s\up8(→))上投影的数量为－a，所以eq \(BC,\s\up8(→))·eq \(DE,\s\up8(→))＝|eq \(BC,\s\up8(→))||eq \(DE,\s\up8(→))|cs 〈eq \(BC,\s\up8(→))，eq \(DE,\s\up8(→))〉＝－a|eq \(BC,\s\up8(→))|＝－a2.


]


4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E则eq \(AE,\s\up8(→))·eq \(EC,\s\up8(→))＝________________________.





eq \f(144,25) [建立平面直角坐标系，如图所示．





矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，


则A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,3)．


直线BD的方程为y＝eq \f(3,4)x.


由AE⊥BD，则直线AE的方程为y－3＝－eq \f(4,3)x，即y＝－eq \f(4,3)x＋3.


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,4)x,y＝－\f(4,3)x＋3))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(36,25),y＝\f(27,25)))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(36,25)，\f(27,25)))


所以eq \(AE,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(36,25)，－\f(48,25)))，eq \(EC,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(64,25)，－\f(27,25)))，


所以eq \(AE,\s\up8(→))·eq \(EC,\s\up8(→))＝eq \f(36,25)×eq \f(64,25)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(48,25)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,25)))＝eq \f(144,25).]


5．已知△ABC的面积为S满足eq \r(,3)≤2S≤3，且eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝3，eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(BC,\s\up8(→))的夹角为θ.求eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(BC,\s\up8(→))夹角的取值范围．


[解] 因为△ABC中，eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝3，eq \(AB,\s\up8(→))与eq \(BC,\s\up8(→))夹角θ＝π－B，所以eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs 〈eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(BC,\s\up8(→))〉＝3，即|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|cs θ＝3，得|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|＝eq \f(3,cs θ).


又S＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|sinB＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|sin(π－θ)


＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up8(→))||eq \(BC,\s\up8(→))|sin θ＝eq \f(3,2)tan θ，


由eq \r(,3)≤2S≤3得eq \r(,3)≤3tan θ≤3，所以eq \f(\r(,3),3)≤tan θ≤1，由于θ∈[0, π]，所以eq \f(π,6)≤θ≤eq \f(π,4).