高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律精品达标测试

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律精品达标测试，共7页。
(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1.已知向量|a|＝2，|b|＝eq \r(,3)，且向量a与b的夹角为150°，则a·b的值为( )


A．－eq \r(,3) B．eq \r(,3) C．－3 D．3


C [向量|a|＝2，|b|＝eq \r(,3)，且向量a与b的夹角为150°，


则a·b＝|a||b|cs 150°＝2×eq \r(,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,3),2)))＝－3.故选C．]


2.在△ABC中，∠ BAC＝eq \f(π,3)，AB＝2，AC＝3，eq \(CM,\s\up8(→))＝2eq \(MB,\s\up8(→))，则eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝( )


A．－eq \f(11,3) B．－eq \f(4,3)


C．eq \f(4,3) D．eq \f(11,3)


C [因为eq \(AM,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CM,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up8(→))，


所以eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AC,\s\up8(→))＋\f(2,3)\(AB,\s\up8(→))))·(eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→)))＝eq \f(1,3)×32－eq \f(2,3)×22＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×2×3cs eq \f(π,3)＝eq \f(4,3).]


3.已知向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为( )


A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)


C [因为向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，所以a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3，设a与b的夹角为θ，得cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,2)，因为θ∈[0, π]，所以θ＝eq \f(π,3).]


4．设单位向量e1，e2的夹角为eq \f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a上投影的数量为( )


A．－eq \f(3\r(3),2) B．－eq \r(3)


C．eq \r(3) D．eq \f(3\r(3),2)


A [因为单位向量e1，e2的夹角为eq \f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，得


e1·e2＝1×1×cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，|a|＝eq \r(e1＋2e22)＝eq \r(e\\al(2,1)＋4e\\al(2,2)＋4e1·e2)＝eq \r(3)，


a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2eeq \\al(2,1)－6eeq \\al(2,2)＋e1·e2＝－eq \f(9,2)，因此b在a上投影的数量为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－\f(9,2),\r(3))＝－eq \f(3\r(3),2)，故选A．]


5．已知平行四边形ABCD中，|eq \(AB,\s\up8(→))|＝6，|eq \(AD,\s\up8(→))|＝4，若点M，N满足eq \(BM,\s\up8(→))＝3eq \(MC,\s\up8(→))，eq \(DN,\s\up8(→))＝2eq \(NC,\s\up8(→))，则eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(NM,\s\up8(→))＝( )


A．20 B．15


C．9 D．6


C [如图所示，由题设知，eq \(AM,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BM,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up8(→))，eq \(NM,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up8(→))－eq \f(1,4)eq \(AD,\s\up8(→))，


∴eq \(AM,\s\up8(→))·eq \(NM,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\f(3,4)\(AD,\s\up8(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up8(→))－\f(1,4)\(AD,\s\up8(→))))＝eq \f(1,3)|eq \(AB,\s\up8(→))|2－eq \f(3,16)|AD|2＋eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,3)×36－eq \f(3,16)×16＝9.]





6．已知非零向量a，b满足|a＋2b|＝eq \r(,7)|a|，a⊥(a－2b)，则向量a，b的夹角为( )


A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)


C [由|a＋2b|＝eq \r(,7)|a|，得a2＋4a·b＋4b2＝7a2，


即a·b＝eq \f(3,2)a2－b2.


由a⊥(a－2b)，得a·(a－2b)＝0，即a·b＝eq \f(1,2)a2.


所以eq \f(3,2)a2－b2＝eq \f(1,2)a2，所以|a|＝|b|≠0，


所以向量a，b的夹角θ满足cs θ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(1,2)，


又θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,3).故选C．]


二、填空题


7．已知平面向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，且|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，在△ABC中，eq \(AB,\s\up8(→))＝2a＋2b，eq \(AC,\s\up8(→))＝2a－6b，D为BC中点，则|eq \(AD,\s\up8(→))|＝________.


2 [因为eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))＝eq \f(1,2)(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|eq \(AD,\s\up8(→))|2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2×2×eq \r(3)×cs eq \f(π,6)＋4)＝4，则|eq \(AD,\s\up8(→))|＝2.]


8．如图，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，eq \(AB,\s\up8(→))＝4eq \(AC,\s\up8(→))，则eq \(OC,\s\up8(→))·(eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→)))＝________.





－eq \f(1,2) [由已知得|eq \(AB,\s\up8(→))|＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up8(→))|＝eq \f(\r(2),4)，则eq \(OC,\s\up8(→))·(eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→)))＝(eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))·eq \(AB,\s\up8(→))


＝eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(AB,\s\up8(→))＝1×eq \r(2)cs eq \f(3π,4)＋eq \f(\r(2),4)×eq \r(2)＝－eq \f(1,2).]


9．(2019·南阳高一检测)已知向量|eq \(OA,\s\up8(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up8(→))|＝eq \r(,3)，eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30 °，设eq \(OC,\s\up8(→))＝meq \(OA,\s\up8(→))＋neq \(OB,\s\up8(→))，(m, n∈R)，则eq \f(m,n)＝________.


3 [|eq \(OA,\s\up8(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up8(→))|＝eq \r(,3)，eq \(OA,\s\up8(→))·eq \(OB,\s\up8(→))＝0，


所以OA⊥OB，


∴|eq \(AB,\s\up8(→))|＝2＝2|eq \(OA,\s\up8(→))|，


∴∠OBC＝30°，


又因为∠AOC＝30°，所以eq \(OC,\s\up8(→))⊥eq \(AB,\s\up8(→))，


故(meq \(OA,\s\up8(→))＋neq \(OB,\s\up8(→)))·(eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→)))＝0，


从而－meq \(OA,\s\up8(→))2＋neq \(OB,\s\up8(→))2＝0，


所以3n－m＝0，即m＝3n，


所以eq \f(m,n)＝3.]


三、解答题


10．利用向量法证明直径对的圆周角为直角．


已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点．求证：∠ ACB＝90°.





[解] 设圆心为O，连接OC，则|eq \(CO,\s\up8(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up8(→))|，eq \(CO,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→)))，


所以|eq \(CO,\s\up8(→))|2＝eq \f(1,4)|eq \(AB,\s\up8(→))|2，eq \(CO,\s\up8(→))2＝eq \f(1,4)(eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→)))2，得|eq \(AB,\s\up8(→))|2＝(eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→)))2，


即(eq \(CB,\s\up8(→))－eq \(CA,\s\up8(→)))2＝(eq \(CA,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→)))2，得eq \(CB,\s\up8(→))2＋eq \(CA,\s\up8(→))2－2eq \(CB,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝eq \(CB,\s\up8(→))2＋eq \(CA,\s\up8(→))2＋2eq \(CA,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))


所以4eq \(CB,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝0，eq \(CB,\s\up8(→))·eq \(CA,\s\up8(→))＝0，所以eq \(CB,\s\up8(→))⊥eq \(CA,\s\up8(→))，


即∠ ACB＝90°.





[等级过关练]


1.已知eq \(AB,\s\up8(→))和eq \(AC,\s\up8(→))是平面内的两个单位向量，它们的夹角为60°，则2eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))与eq \(CA,\s\up8(→))的夹角是( )


A．30° B．60°


C．90° D．120°


C [设2eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→))与eq \(CA,\s\up8(→))的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(2\(AB,\s\up8(→))－\(AC,\s\up8(→))·\(CA,\s\up8(→)),|2\(AB,\s\up8(→))－\(AC,\s\up8(→))|·|\(CA,\s\up8(→))|)，又eq \(AB,\s\up8(→))和eq \(AC,\s\up8(→))是平面内的两个单位向量，则|eq \(AB,\s\up8(→))|＝1，|eq \(AC,\s\up8(→))|＝1，则(2eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))·eq \(CA,\s\up8(→))＝－(2eq \(AB,\s\up8(→))－eq \(AC,\s\up8(→)))·eq \(AC,\s\up8(→))＝－2eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))2＝－2|eq \(AB,\s\up8(→))|·|eq \(AC,\s\up8(→))|cs 60°＋|eq \(AC,\s\up8(→))|2＝0，所以cs θ＝0，又0°≤θ≤180°，所以θ＝90°，故选C．]


2.(2019·沈阳高一检测)已知向量eq \(OA,\s\up8(→))与eq \(OB,\s\up8(→))的夹角为θ，|eq \(OA,\s\up8(→))|＝2，|eq \(OB,\s\up8(→))|＝1，eq \(OP,\s\up8(→))＝teq \(OA,\s\up8(→))，eq \(OQ,\s\up8(→))＝(1－t)eq \(OB,\s\up8(→))，t∈R, |eq \(PQ,\s\up8(→))|在t＝t0时取得最小值，当0