人教B版 (2019)必修 第三册第七章 三角函数本章综合与测试优质导学案

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掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．


【例1】 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－eq \f(2\r(5),5)，则y＝________.


－8 [r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(16＋y2)，且sin θ＝－eq \f(2\r(5),5)，


所以sin θ＝eq \f(y,r)＝eq \f(y,\r(16＋y2))＝－eq \f(2\r(5),5)，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.]





1.已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：


(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值．


(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r＞0)．则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r).已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．


2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．








1.若角α的终边在直线y＝3x上，且sin α＜0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝eq \r(10)，求sin α，cs α，tan α.


[解] ∵sin α＜0，且角α的终边在直线y＝3x上，∴角α的终边在第三象限，又∵P(m，n)为终边上一点，∴m＜0，n＜0.


又∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝3m，,n2＋m2＝10，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝－3，,m＝－1，))


∴sin α＝eq \f(n,|OP|)＝－eq \f(3,\r(10))＝－eq \f(3\r(10),10)，


cs α＝eq \f(m,|OP|)＝eq \f(－1,\r(10))＝－eq \f(\r(10),10)，


tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(－3\r(10),10),－\f(\r(10),10))＝3.


诱导公式是解决三角函数关系式化简、求值、证明的前提和基础．解答此类问题时常用到分类讨论思想、函数与方程的思想，主要体现在三角函数的定义、化简、求值等知识上．


【例2】 已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cs θ，θ∈(0,2π)．求：


(1)eq \f(cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))＋cs－π－θ)＋eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)),1＋tanπ－θ)；


(2)m的值；


(3)方程的两根及此时θ的值．


[解] 由根与系数的关系得：


sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，sin θcs θ＝eq \f(m,2).


(1)原式＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))


＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)－eq \f(cs2θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2).


(2)由sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，


两边平方可得：


1＋2sin θcs θ＝eq \f(4＋2\r(3),4)，


1＋2×eq \f(m,2)＝1＋eq \f(\r(3),2)，


m＝eq \f(\r(3),2).


(3)由m＝eq \f(\r(3),2)可解方程：


2x2－(eq \r(3)＋1)x＋eq \f(\r(3),2)＝0，得两根eq \f(1,2)和eq \f(\r(3),2).


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2)，)) 或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2).))


∵θ∈(0,2π)，


∴θ＝eq \f(π,6)或eq \f(π,3).





1.牢记两个基本关系式sin2α＋cs2α＝1及eq \f(sin α,cs α)＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cs α的值，可求cs αsin α.注意应用(cs α±sin α)2＝1±2sin αcs α.


2.诱导公式可概括为k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．








2.已知f(α)＝eq \f(sin2π－α·cs2π－α·tan－π＋α,sin－π＋α·tan－α＋3π).


(1)化简f(α)；


(2)若f(α)＝eq \f(1,8)，且eq \f(π,4)<α

(3)若α＝－eq \f(47π,4)，求f(α)的值．


[解](1)f(α)＝eq \f(sin2α·cs α·tan α,－sin α－tan α)＝sin α·cs α.


(2)由f(α)＝sin α·cs α＝eq \f(1,8)可知，


(cs α－sin α)2＝cs2α－2sin α·cs α＋sin2α


＝1－2sin α·cs α＝1－2×eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)，


又∵eq \f(π,4)<α

∴cs α－sin α＝－eq \f(\r(3),2).


(3)∵α＝－eq \f(47,4)π＝－6×2π＋eq \f(π,4)，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47,4)π))＝


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47,4)π))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(47,4)π))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(π,4)))


＝cseq \f(π,4)·sineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,2).


三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．


【例3】 某同学用“ 五点法” 画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：


(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；


(2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝g(x)图像，求y＝g(x)的图像离原点O最近的对称中心．


[解](1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq \f(π,6).数据补全如下表：


且函数表达式为f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).


(2)由(1)知f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，


因此，g(x)＝5sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).


令2x＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)，k∈Z.


即y＝g(x)图像的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，0))，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0)).





本题是“ 五点法” 作图的具体体现，对于已知图像用“ 五点法” 确定初相，这五点一定要在同一周期内；第二、第四点应分别为图像的最高点和最低点，第二、第四两点之间的图像与x轴的交点为第三点，而第五点则是最低点后面最靠近最低点的图像与x轴的交点.








3.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R，其中A>0，ω>0,0<φ

(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))时，求f(x)的最值，并写出相应的x值．


[解](1)∵T＝π，∴eq \f(2π,ω)＝π，∴ω＝2.


又∵图像上一个最高点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，2))，


∴A＝2.


且2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)，φ＝eq \f(π,6) ，


∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).


(2)∵0≤x≤eq \f(π,4) ，


∴eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3) ，


∴eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≤1.


1≤f(x)≤2.


当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)，即x＝0时，f(x)最小值为1；


当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6) 时，f(x)最大值为2.


三角函数的性质，重点应掌握y＝sin x，y＝cs x，y＝tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质．在研究其相关性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．


【例4】 已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1(其中a为常数)．


(1)求f(x)的单调区间；


(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最大值为4，求a的值；


(3)求f(x)取最大值时x的取值集合．


[思路探究](1)将2x＋eq \f(π,6) 看成一个整体，利用y＝sin x的单调区间求解．


(2)先求x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x＋eq \f(π,6) 的范围，再根据最值求a的值．


(3)先求f(x)取最大值时2x＋eq \f(π,6) 的值，再求x的值．


[解](1)由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，


解得－eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z，


∴函数f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)＋kπ，\f(π,6)＋kπ))(k∈Z)，


由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，


解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z，


∴函数f(x)的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))(k∈Z)．


(2)∵0≤x≤eq \f(π,2) ，∴eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6) ，


∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))≤1，


∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.


(3)当f(x)取最大值时，2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋2kπ，


∴2x＝eq \f(π,3)＋2kπ，∴{x|x＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z}，


∴当f(x)取最大值时，x的取值集合是xx＝eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z.





研究y＝Asinωx＋φ的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.








4．在下列给出的函数中，以π为周期且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))内是增函数的是( )


A．y＝sin eq \f(x,2) B．y＝cs 2x


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))) D．y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))


D [由函数周期为π可排除选项A．x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x∈(0，π)，2x＋eq \f(π,4) ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，此时B，C项中函数均不是增函数．故选D．]


【例5】 已知函数f(x)＝－sin2x－asin x＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>0，求a、b的值．


[解] 令t＝sin x，则


g(t)＝－t2－at＋b＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(a,2)))eq \s\up8(2)＋eq \f(a2,4)＋b＋1，


且t∈[－1,1]．


下面根据对称轴t0＝－eq \f(a,2)与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论．


①当－eq \f(a,2)≤－1，即a≥2时，


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ymax＝g－1＝a＋b＝0，,ymin＝g1＝－a＋b＝－4.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2.))


②当－1<－eq \f(a,2)<0，即0

eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ymax＝g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)))＝\f(a2,4)＋b＋1＝0，,ymin＝g1＝－a＋b＝－4.))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－2))(舍)


或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－6，,b＝－10.))(舍)


都不满足a的范围，舍去．


综上所述，a＝2，b＝－2.





转化与化归的思想方法是数学中最基本的数学思想方法.数学中一切问题的解决都离不开转化与化归.上述解答将三角函数问题转化为熟悉的二次函数在闭区间上的最值问题.








5．已知定义在(－∞ ,3]上的单调减函数f(x)使得f(1＋sin2x)≤f(a－2cs x)对一切实数x都成立，求a的取值范围．


[解] 根据题意，对一切x∈R都成立，有：


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋sin2x≤3，,a－2cs x≤3，,a－2cs x≤1＋sin2x，))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin2x≤2，,a≤2cs x＋3，,a≤1＋sin2x＋2cs x，))


⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤2cs x＋3min，,a≤1＋sin2x＋2cs xmin，))⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，,a≤[－cs x－12＋3]min，))


⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤1，,a≤－1，))∴a≤－1.


数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形结合来思考，使抽象思维和形象思维结合，通过“ 以形助数” 和“ 以数解形” 使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的．“以形助数”是借助形的生动和直观来阐述数间的联系．“以数解形” 是借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性．由于三角函数具有实际的几何背景，因此，在本章中，处处可见“数形结合”思想的身影．


【例6】 函数y＝eq \f(2－sin x,3＋cs x) 的最小值为________，最大值为________．


[思路探究] 根据题目特征，构造符合题意图形，运用“ 数形结合” 思想往往可以很简捷地解决问题．


eq \f(3－\r(3),4) eq \f(3＋\r(3),4) [如图所示，y＝eq \f(2－sin x,3＋cs x) 可看做定点A(3,2)与动点B(－cs x，sin x)连线的斜率，而动点(－cs x，sin x)是单位圆上点，故问题转化为定点与单位圆上点B连线的斜率的最值问题．根据数形结合不难得知，当连线与圆相切时，斜率取最值，所以最小值为eq \f(3－\r(3),4) ，取最大值为eq \f(3＋\r(3),4).]





6．求函数y＝eq \f(sin x＋1,cs x－2) 的值域．


[解] 将y＝eq \f(sin x＋1,cs x－2) 看成是单位圆上的点(cs x，sin x)到点(2，－1)的斜率，即求斜率的范围．如图所示，


由解析几何知识可求得过点(2，－1)，且与单位圆有交点的直线的斜率k∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，0))，即值域y∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，0)).


三角函数的定义
同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用
三角函数的图像及变换
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
eq \f(13,12)π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
三角函数的性质
转化与化归思想在三角函数中的应用
数形结合思想