高中数学8.2.4 三角恒等变换的应用精品第2课时2课时导学案

这是一份高中数学8.2.4 三角恒等变换的应用精品第2课时2课时导学案，共9页。






1.积化和差公式


cs αcs β＝eq \f(1,2)[cs(α＋β)＋cs(α－β)]；


sin αsin β＝－eq \f(1,2)[cs(α＋β)－cs(α－β)]；


sin αcs β＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；


cs αsin β＝eq \f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．


2.和差化积公式


设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝eq \f(x＋y,2)，β＝eq \f(x－y,2).这样，上面的四个式子可以写成，


sin x＋sin y＝2sin eq \f(x＋y,2)cs eq \f(x－y,2)；


sin x－sin y＝2cs eq \f(x＋y,2)sin eq \f(x－y,2)；


cs x＋cs y＝2cs eq \f(x＋y,2)cs eq \f(x－y,2)；


cs x－cs y＝－2sin eq \f(x＋y,2)sin eq \f(x－y,2).


思考：和差化积公式的适用条件是什么？


[提示] 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．





1.计算sin 105°cs 75°的值是( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4) C．－eq \f(1,4) D．－eq \f(1,2)


B [sin 105°cs 75°＝eq \f(1,2)(sin 180°＋sin 30°)＝eq \f(1,4).]


2.sin 20°·cs70°＋sin10°·sin50°的值为( )


A．－eq \f(1,4) B．eq \f(1,4)


C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)


B [sin20°·cs70°＋sin10°·sin50°


＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20°＋70°))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20°－70°))))＋eq \f(1,2)[cs(10°－50°)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10°＋50°))]＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin 90°－sin 50°))＋eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs 40°－cs 60°))


＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin 50°＋eq \f(1,2)cs 40°


＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin 50°＋eq \f(1,2)sin 50°＝eq \f(1,4).故选B．]


3.下列等式正确的是( )


A．sin x＋sin y＝2sin eq \f(x＋y,2)sin eq \f(x－y,2)


B．sin x－sin y＝2cs eq \f(x＋y,2)cs eq \f(x－y,2)


C．cs x＋cs y＝2cs eq \f(x＋y,2)cs eq \f(x－y,2)


D．cs x－cs y＝2sin eq \f(x＋y,2)sin eq \f(x－y,2)


C [由和差化积公式知C正确．]





【例1】(1)求值：sin 20°cs 70°＋sin 10°sin 50°.


(2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.


[思路探究] 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．


[解](1)sin 20°cs 70°＋sin 10°sin 50°


＝eq \f(1,2)(sin 90°－sin 50°)－eq \f(1,2)(cs 60°－cs 40°)


＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin 50°＋eq \f(1,2)cs 40°


＝eq \f(1,4)－eq \f(1,2)sin 50°＋eq \f(1,2)sin 50°＝eq \f(1,4).


(2)原式＝cs 10°cs 30°cs 50°cs 70°


＝eq \f(\r(3),2)cs 10°cs 50°cs 70°


＝eq \f(\r(3),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 60°＋cs 40°·cs 70°))


＝eq \f(\r(3),8)cs 70°＋eq \f(\r(3),4)cs 40°cs 70°


＝eq \f(\r(3),8)cs 70°＋eq \f(\r(3),8)(cs 110°＋cs 30°)


＝eq \f(\r(3),8)cs 70°＋eq \f(\r(3),8)cs 110°＋eq \f(3,16)＝eq \f(3,16).





积化和差公式的功能与关键


1功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式.


②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.


2关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.








1.求sin220°＋cs250°＋sin 20°cs 50°的值．


[解] 原式＝eq \f(1－cs 40°,2)＋eq \f(1＋cs 100°,2)＋eq \f(1,2)(sin 70°－sin 30°)


＝1＋eq \f(1,2)(cs 100°－cs 40°)＋eq \f(1,2)sin 70°－eq \f(1,4)


＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)(－2sin 70°sin 30°)＋eq \f(1,2)sin 70°


＝eq \f(3,4)－eq \f(1,2)sin 70°＋eq \f(1,2)sin 70°＝eq \f(3,4).


【例2】 已知cs α－cs β＝eq \f(1,2)，sin α－sin β＝－eq \f(1,3)，求sin(α＋β)的值．


[思路探究] 利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．


[解] ∵cs α－cs β＝eq \f(1,2)，


∴－2sineq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2).①


又∵sin α－sin β＝－eq \f(1,3)，


∴2cseq \f(α＋β,2)sineq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3).②


∵sineq \f(α－β,2)≠0，


∴由①②，得－taneq \f(α＋β,2)＝－eq \f(3,2)，即taneq \f(α＋β,2)＝eq \f(3,2).


∴sin(α＋β)＝eq \f(2sin\f(α＋β,2)cs\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cs2\f(α＋β,2))


＝eq \f(2tan\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(2×\f(3,2),1＋\f(9,4))＝eq \f(12,13).





1.(变结论)本例中条件不变，试求cs(α＋β)的值．


[解] 因为cs α－cs β＝eq \f(1,2)，


所以－2sin eq \f(α＋β,2)sin eq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2).①


又因为sin α－sin β＝－eq \f(1,3)，


所以2cs eq \f(α＋β,2)sin eq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3).②


因为sin eq \f(α－β,2)≠0，


所以由①②，得－tan eq \f(α＋β,2)＝－eq \f(3,2)，即tan eq \f(α＋β,2)＝eq \f(3,2).


所以cs(α＋β)＝eq \f(cs2\f(α＋β,2)－sin2\f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cs2\f(α＋β,2))


＝eq \f(1－tan2\f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up8(2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up8(2))＝－eq \f(5,13).


2.(变条件)将本例中的条件“cs α－cs β＝eq \f(1,2)，sin α－sin β＝－eq \f(1,3)”变为“cs α＋cs β＝eq \f(1,2)，sin α＋sin β＝－eq \f(1,3)”，结果如何？


[解] 因为cs α＋cs β＝eq \f(1,2)，


所以2cs eq \f(α＋β,2)cs eq \f(α－β,2)＝eq \f(1,2).①


又因为sin α＋sin β＝－eq \f(1,3)，


所以2sin eq \f(α＋β,2)cs eq \f(α－β,2)＝－eq \f(1,3).②


所以cs eq \f(α－β,2)≠0，所以由①②，得tan eq \f(α＋β,2)＝－eq \f(2,3)，


所以sin(α＋β)＝eq \f(2sin \f(α＋β,2)cs \f(α＋β,2),sin2\f(α＋β,2)＋cs2\f(α＋β,2))


＝eq \f(2tan \f(α＋β,2),1＋tan2\f(α＋β,2))＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))eq \s\up8(2))＝－eq \f(12,13).





和差化积公式应用时的注意事项


1在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.


2根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：


①运用公式之后，能否出现特殊角；


②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.


3为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如 eq \f(1,2)－cs α＝cs eq \f(π,3)－cs α.





[探究问题]


1.解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？


[提示] 注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋b>c等．


2.在△ABC中有哪些重要的三角关系？


[提示] 在△ABC中的三角关系：


sin(A＋B)＝sin C，cs(A＋B)＝－cs C，


sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)，cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2)，


sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cs(2A＋2B)＝cs 2C．


【例3】 在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C


＝4sineq \f(A,2)sineq \f(B,2)cseq \f(C,2).


[思路探究] 利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.


[解] 左边＝sin(B＋C)＋2sineq \f(B－C,2)·cseq \f(B＋C,2)


＝2sineq \f(B＋C,2)cseq \f(B＋C,2)＋2sineq \f(B－C,2)cseq \f(B＋C,2)


＝2cseq \f(B＋C,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(B＋C,2)＋sin\f(B－C,2)))


＝4sineq \f(A,2)sineq \f(B,2)cseq \f(C,2)＝右边，


∴原等式成立．





证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.








2.在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C＝4cs eq \f(A,2)cs eq \f(B,2)·cs eq \f(C,2).


[证明] 由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，


即eq \f(C,2)＝90°－eq \f(A＋B,2)，∴cs eq \f(C,2)＝sin eq \f(A＋B,2).


∴sin A＋sin B＋sin C


＝2sineq \f(A＋B,2)·cseq \f(A－B,2)＋sin(A＋B)


＝2sineq \f(A＋B,2)·cseq \f(A－B,2)＋2sineq \f(A＋B,2)·cseq \f(A＋B,2)


＝2sineq \f(A＋B,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(A－B,2)＋cs \f(A＋B,2)))


＝2cs eq \f(C,2)·2cs eq \f(A,2)·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(B,2)))


＝4cs eq \f(A,2)cs eq \f(B,2)cs eq \f(C,2)，


∴原等式成立．





1.公式的记忆


和差化积公式记忆口诀：


“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．”


(正代表sin α，余代表cs α)


2.公式的应用


注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导.





1.sin 75°－sin 15°的值为( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)


C．eq \f(\r(3),2)D．－eq \f(1,2)


B [sin 75°－sin 15°＝2cseq \f(75°＋15°,2)sineq \f(75°－15°,2)＝2×eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2).故选B．]


2.函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))cs x的最大值为( )


A．eq \f(1,2) B．eq \f(1,4)


C．1 D．eq \f(\r(2),2)


B [∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))cs x


＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)＋x))＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)－x))))


＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－\f(1,2)))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))－eq \f(1,4).


∴函数y的取最大值为eq \f(1,4).]


3.已知sin(α＋β)＝eq \f(2,3)，sin(α－β)＝eq \f(1,5)，则sin αcs β＝________.


eq \f(13,30) [sin αcs β＝eq \f(1,2)sin(α＋β)＋eq \f(1,2)sin(α－β)＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,5)＝eq \f(13,30).]


4．化简下列各式：


(1)eq \f(cs A＋cs120°＋B＋cs120°－B,sin B＋sin120°＋A－sin120°－A)；


(2)eq \f(sin A＋2sin 3A＋sin 5A,sin 3A＋2sin 5A＋sin 7A).


[解](1)原式＝eq \f(cs A＋2cs 120°cs B,sin B＋2cs 120°sin A)


＝eq \f(cs A－cs B,sin B－sin A)＝eq \f(2sin \f(A＋B,2)sin \f(B－A,2),2cs \f(A＋B,2)sin \f(B－A,2))＝tan eq \f(A＋B,2).


(2)原式＝eq \f(sin A＋sin 5A＋2sin 3A,sin 3A＋sin 7A＋2sin 5A)


＝eq \f(2sin 3Acs 2A＋2sin 3A,2sin 5Acs 2A＋2sin 5A)


＝eq \f(2sin 3Acs 2A＋1,2sin 5Acs 2A＋1)＝eq \f(sin 3A,sin 5A).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．(难点)


2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．(重点)
1.通过三角函数的积化和差与和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．


2.借助积化和差与和差化积公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
积化和差问题
和差化积问题
公式的综合应用