这是一份高中数学苏教版 (2019)必修第一册第3章不等式本章综合与测试优秀练习，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(十) 基本不等式的证明

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )

A．s≥t B．s>t

C．s≤t D．s

A [∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1．]

2．下列不等式中正确的是( )

A．a＋eq \f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab

C．eq \r(ab)≥eq \f(a＋b,2) D．x2＋eq \f(3,x2)≥2eq \r(3)

D [a＜0，则a＋eq \f(4,a)≥4不成立，故A错；

a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；

a＝4，b＝16，则eq \r(ab)＜eq \f(a＋b,2)，故C错；

由基本不等式可知D项正确．]

3．当x＞0时，f(x)＝eq \f(2x,x2＋1)的最大值为( )

A．eq \f(1,2) B．1

C．2 D．4

B [∵x＞0，∴f(x)＝eq \f(2x,x2＋1)＝eq \f(2,x＋\f(1,x))≤eq \f(2,2)＝1，

当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时取等号．故选B．]

4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )

A．a＞b＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)

B．a＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)＞b

C．a＞eq \f(a＋b,2)＞b＞eq \r(ab)

D．a＞eq \r(ab)＞eq \f(a＋b,2)＞b

B [a＝eq \f(a＋a,2)＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)＞eq \r(b·b)＝b，因此只有B项正确．]

二、填空题

5．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是．

eq \f(2\r(3),3) [x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2＋1．∴eq \f(3,4)(x＋y)2≤1．

∴x＋y≤eq \f(2\r(3),3)，当且仅当x＝y＝eq \f(\r(3),3)时等号成立．]

6．已知a＞b＞c，则eq \r(a－bb－c)与eq \f(a－c,2)的大小关系是_____．

eq \r(a－bb－c)≤eq \f(a－c,2) [∵a＞b＞c，

∴a－b＞0，b－c＞0，

∴eq \r(a－bb－c)≤eq \f(a－b＋b－c,2)＝eq \f(a－c,2)．]

7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值eq \f(a＋b,2)的大小关系为_________．

x≤eq \f(a＋b,2) [用两种方法求出第三年的产量分别为

A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．

∴1＋x＝eq \r(1＋a1＋b)≤eq \f(1＋a＋1＋b,2)＝1＋eq \f(a＋b,2)，

∴x≤eq \f(a＋b,2)．当且仅当a＝b时等号成立．]

8．已知函数f(x)＝4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝__________．

36 [f(x)＝4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)(x>0，a>0)，当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即x＝eq \f(\r(a),2)时等号成立，此时f(x)取得最小值4eq \r(a)．又由已知x＝3时，f(x)min＝4eq \r(a)，

∴eq \f(\r(a),2)＝3，即a＝36．]

三、解答题

9．已知a，b，c为正数，求证：eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(c＋a－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)≥3．

[证明] 左边＝eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)－1＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,b)－1＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)－1

＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))－3．

∵a，b，c为正数，

∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；

eq \f(c,a)＋eq \f(a,c)≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；

eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．

从而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．

∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))－3≥3，

即eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(c＋a－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)≥3．

10．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1．求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥4．

[证明] eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,a)＋eq \f(a＋b,b)

＝1＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＋1

＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4．

当且仅当a＝b时“＝”成立．

1．下列不等式一定成立的是( )

A．x＋eq \f(1,x)≥2 B．eq \f(x2＋2,\r(x2＋2))≥eq \r(2)

C．eq \f(x2＋3,\r(x2＋4))≥2 D．2－3x－eq \f(4,x)≥2

B [A项中当x<0时，x＋eq \f(1,x)<0<2，∴A错误．

B项中，eq \f(x2＋2,\r(x2＋2))＝eq \r(x2＋2)≥eq \r(2)，∴B正确．

而对于C，eq \f(x2＋3,\r(x2＋4))＝eq \r(x2＋4)－eq \f(1,\r(x2＋4))，

当x＝0时，eq \f(x2＋3,\r(x2＋4))＝eq \f(3,2)<2，显然选项C不正确．

D项中取x＝1,2－3x－eq \f(4,x)<2，∴D错误．]

2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )

A．ab≤eq \f(1,2) B．ab≥eq \f(1,2)

C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3

C [∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)＝1，

又eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)，∴a2＋b2≥2．]

3．若x>0，y>0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为．

eq \f(1,16) [1＝x＋4y≥2eq \r(4xy)＝4eq \r(xy)，

∴xy≤eq \f(1,16)，当且仅当x＝4y＝eq \f(1,2)时等号成立．]

4．设a，b为非零实数，给出不等式：

①eq \f(a2＋b2,2)≥ab；②eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)；③eq \f(a＋b,2)≥eq \f(ab,a＋b)；④eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2．

其中恒成立的不等式的个数是．

2 [由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；

对于②，eq \f(a2＋b2,2)＝eq \f(2a2＋b2,4)

＝eq \f(a2＋b2＋a2＋b2,4)≥eq \f(a2＋b2＋2ab,4)

＝eq \f(a＋b2,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)，故②正确；

对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为eq \f(a＋b,2)＝－1，右边为eq \f(ab,a＋b)＝－eq \f(1,2)，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]

5．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca)．

[证明] ∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，eq \f(b＋c,2)≥eq \r(bc)，eq \f(c＋a,2)≥eq \r(ca)，

∴eq \f(a＋b,2)＋eq \f(b＋c,2)＋eq \f(c＋a,2)≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca)，

即a＋b＋c≥eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca)．

由于a，b，c不全相等，

∴等号不成立，

∴a＋b＋c＞eq \r(ab)＋eq \r(bc)＋eq \r(ca)．

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