数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试精品课后练习题

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这是一份数学必修第一册第6章幂函数、指数函数和对数函数本章综合与测试精品课后练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(二十八) 对数函数的图象与性质的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若函数f(x)＝lga x(0

A．eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(3),9) C．eq \r(3) D．eq \f(1,3)

B [∵a∈(0,1)，∴f(x)max＝lga a＝1，f(x)min＝lga 3a，

由题知lga 3a＝eq \f(1,3)，∴a＝eq \f(1,3\r(3))＝eq \f(\r(3),9)．]

2．函数f(x)＝lga |x|＋1(0

A [将g(x)＝lga x的图象不动，并将之关于y轴对称到y轴左侧，再上移1个单位，即得f(x)的图象．]

3．函数f(x)＝的值域为( )

A．(－∞，0) B．(－∞，2)

C．(－∞，2] D．(2，＋∞)

B [x≥1时，f(x)≤0，

x<1时，0

4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2x－1，x≤1，,lga x，x>1，))若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )

A．(1,2) B．(2,3)

C．(2,3] D．(2，＋∞)

C [由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2>0，,a>1，,a－2×1－1≤lga 1，))

解得2

5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是单调递增，设a＝f(lg47)，b＝f(lg23)，c＝f(0．20．6)，则a，b，c的大小关系是( )

A．c

C．b

C [偶函数f(x)在(－∞，0]上是单调递增，则在(0，＋∞)上是单调递减．又∵lg47＝lg2eq \r(7)，0<0．20．6<1

二、填空题

6．函数f(x)＝lg (4x－2x＋1＋11)的最小值是．

1 [4x－2x＋1＋11＝(2x)2－2·2x＋11＝(2x－1)2＋10≥10，

∴f(x)≥lg 10＝1．]

7．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝lg3 x，直线y＝a(a<0)与这三个函数的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是．

x2

法二：由题知f(x1)＝a＝ln x1，∴x1＝ea，同理x2＝10a，x3＝3a，结合指数函数y＝ex，y＝10x，y＝3x的图象可知，x2

8．已知f(x)是定义在[－2,2]上的单调递增函数，且f(x)的最大值为1，则满足f(lg2 x)<1的解集为．

eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4)) [由题知－2≤lg2 x<2，∴lg2 2－2≤lg2 x

三、解答题

9．(1)若lga eq \f(3,4)<1(a>0，a≠1)，求实数a的取值范围；

(2)已知f(x)的定义域为[0,1]，求函数y＝f(lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (3－x))的定义域．

[解] (1)lga eq \f(3,4)<1，即lga eq \f(3,4)

当a>1时，函数y＝lga x在(0，＋∞)上是单调增函数，

由lga eq \f(3,4)eq \f(3,4)，故a>1．

当0

综上，实数a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(01))))．

(2)由0≤lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (3－x)≤1得，

lgeq \s\d7(eq \f(1,2))1≤lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (3－x)≤lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) eq \f(1,2)，

所以eq \f(1,2)≤3－x≤1，

解得2≤x≤eq \f(5,2)．

所以函数y＝f(lgeq \s\d12(eq \f(1,2)) (3－x))的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))．

10．设函数y＝f(x)满足lg y＝lg(3x)＋lg(3－x)．

(1)求f(x)的表达式；

(2)求f(x)的值域；

(3)讨论f(x)的单调性．(不用证明)

[解] (1)∵lg y＝lg(3x)＋lg(3－x)，

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞0，,3－x＞0，,y＞0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜x＜3，,y＞0.))

又∵lg y＝lg[3x(3－x)]，

∴y＝3x(3－x)＝－3x2＋9x，

即f(x)＝－3x2＋9x(0＜x＜3)．

(2)∵－3x2＋9x＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(27,4)且0＜x＜3，

∴0＜－3x2＋9x≤eq \f(27,4)，即函数f(x)的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(27,4)))．

(3)∵f(x)＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(27,4)，且0＜x＜3，

∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))上单调递减．

1．若函数f(x)＝lga (x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是下列中的( )

D [由f(x)的图象可知0

2．(多选题)下列函数中既是定义域上的偶函数，又是 (0，＋∞)上的增函数的是( )

A．y＝eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))) B．y＝xeq \s\up12(eq \f(2,3))

C．y＝|ln x| D．y＝eeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))

BD [函数y＝eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)))定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是定义域上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时， y＝eq \f(1,x)为减函数，故不合题意；函数y＝xeq \s\up12(eq \f(2,3))＝eq \r(3,x2)，定义域为R，是定义域上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时， y＝xeq \s\up12(eq \f(2,3))为增函数；函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ln x))定义域为(0，＋∞)不关于原点对称，不是定义域上的偶函数，不合题意；函数y＝eeq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))定义域为R，是定义域上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时， y＝ex为增函数．应选BD．]

3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(lg2 a)＋f(lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) a)≤2f(1)，则a的取值范围是．

eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) [∵f(lg2a)＋f(lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) a)＝f(lg2 a)＋f(－lg2a)＝2f(lg2 a)≤2f(1)，

∴f(lg2 a)≤f(1)，由f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，

∴－1≤lg2 a≤1，即lg2 eq \f(1,2)≤lg2 a≤lg2 2，

∴eq \f(1,2)≤a≤2．]

4．已知函数f(x)＝lgeq \s\d7(eq \f(1,2))eq \f(1－ax,x－1)的图象关于原点对称，其中a为常数．

(1)求a的值；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (x－1)＜m恒成立，求实数m的取值范围．

[解] (1)∵函数f(x)的图象关于原点对称，

∴函数f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

即lgeq \s\d7(eq \f(1,2))eq \f(1＋ax,－x－1)＝－lgeq \s\d7(eq \f(1,2))eq \f(1－ax,x－1)＝lgeq \s\d7(eq \f(1,2))eq \f(x－1,1－ax)，

解得a＝－1或a＝1(舍)．

所以a＝－1．

(2)f(x)＋lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (x－1)＝lgeq \s\d7(eq \f(1,2))eq \f(1＋x,x－1)＋lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (x－1)

＝lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (1＋x)，当x＞1时，lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (1＋x)＜－1．

∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋lgeq \s\d7(eq \f(1,2)) (x－1)＜m恒成立，

∴m≥－1．

即实数m的取值范围为[－1，＋∞)．

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