高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试精品达标测试

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试精品达标测试，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(三十五) 三角函数的周期性


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．下列函数中，周期为eq \f(π,4)的是( )


A．y＝sineq \f(x,2) B．y＝sin 2x


C．y＝cs eq \f(x,4) D．y＝tan(－4x)


D [A项，T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π；B项，T＝eq \f(2π,2)＝π；


C项，T＝eq \f(2π,\f(1,4))＝8π；D项，T＝eq \f(π,|－4|)＝eq \f(π,4)．]


2．下列是定义在R上的四个函数的图象的一部分，其中不是周期函数的是( )





D [根据周期函数图象特征可知A、B、C都是周期函数，D不是周期函数．]


3．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝( )


A．1 B．－1 C．3 D．－3


B [∵f(x＋5)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，


∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，


f(4)＝f(4－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，


∴f(3)－f(4)＝－2＋1＝－1．]


4．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)x＋\f(π,3)))的周期不大于4，则正整数k的最小值为( )


A．2 B．3 C．4 D．5


C [由T＝eq \f(2π,ω)得T＝eq \f(2π,\f(k,2))＝eq \f(4π,k)．


∵T≤4，∴eq \f(4π,k)≤4，∴k≥π，


∴正整数k的最小值为4．]


5．设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x；当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，f(x)＝cs x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,3)π))＝( )


A．－eq \f(1,2)B．eq \f(1,2)


C．eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)


A [∵T＝π，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，f(x)＝cs x，


∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,3)π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3π＋\f(2π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝cs eq \f(2π,3)


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)．]


二、填空题


6．对于任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的一个周期为________．


2(答案不唯一) [由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2．]


7．若函数f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))的最小正周期为T，且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．


6 [T＝eq \f(2π,ω)，又T∈(1,3)，∴1

8．已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x＋3)＝eq \f(1,fx)，且f(1)＝eq \f(1,2)，则f(2 020)＝________．


2 [∵f(x＋3)＝eq \f(1,fx)，


∴f(x＋6)＝eq \f(1,fx＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝6，


∴f(2 020)＝f(336×6＋4)＝f(4)．


又f(4)＝f(1＋3)＝eq \f(1,f1)＝2，


∴f(2 020)＝2．]


三、解答题


9．已知函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数．


(1)求f(4)的值；


(2)若－2≤x≤－1时，f(x)＝sineq \f(πx,2)＋1，求2≤x≤3时，f(x)的解析式．


[解] (1)∵函数y＝f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0．


(2)设2≤x≤3，则－2≤－4＋x≤－1，


∴f(－4＋x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－4＋x))＋1＝sineq \f(π,2)x＋1，


∴f(x)＝f(－4＋x)＝sineq \f(π,2)x＋1．


10．若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：





(1)单摆运动的周期是多少？


(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？


(3)当t＝11 s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？


[解] (1)从题图可以看出，单摆运动的周期是0．4 s．


(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，到曲线上的E点表示完成了一次往复运动．


(3)11＝0．2＋0．4×27，所以小球经过11 s相对于静止位置的位移是0 cm．





1．已知函数f(x)＝sin eq \f(πx,3)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝( )


A．eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)


C． －eq \f(\r(3),2) D．0


D [f(x)的周期T＝eq \f(2π,\f(π,3))＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝sin eq \f(π,3)＋sin eq \f(2π,3)＋sin π＋sin eq \f(4π,3)＋sin eq \f(5π,3)＋sin 2π＝0．


原式＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(1)＋f(2) ＋f(3)＋f(4) ＋f(5)＝0．故选D．]


2．设函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以eq \f(π,2)为最小正周期．若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)＋\f(π,12)))＝eq \f(9,5)，则sin α的值为( )


A．eq \f(3,5) B．eq \f(3,5)或－eq \f(3,5)


C．eq \f(4,5) D．eq \f(4,5)或－eq \f(4,5)


D [∵f(x)的最小正周期为eq \f(π,2)，ω>0，∴ω＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4．


∴f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))．


由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,4)＋\f(π,12)))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)＋\f(π,6)))＝3cs α＝eq \f(9,5)，


∴cs α＝eq \f(3,5)．


∴sin α＝±eq \r(1－cs2α)＝±eq \f(4,5)．]


3．函数y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－ωx))(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________．


－eq \f(1,2) [由周期公式可知4π＝eq \f(2π,|ω|)⇒|ω|＝eq \f(1,2)，由ω＜0，可知ω＝－eq \f(1,2)．]


4．欲使函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值 ，则ω的最小值为________．


eq \f(199π,2) [函数y＝Asin ωx的最小正周期为eq \f(2π,ω)，因为在每一个周期内， 函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y＝Asin ωx在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y在区间[0,1]内至少含49eq \f(3,4)个周期，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(T＝\f(2π,ω)，,49\f(3,4)T≤1，))解得ω≥eq \f(199π,2)，所以ω的最小值为eq \f(199π,2)．]


5．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)(f(x)≠0)．


(1)求证：函数f(x)是周期函数；


(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．


[解] (1)证明：∵f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，


∴f(x＋4)＝－eq \f(1,fx＋2)


＝－eq \f(1,－\f(1,fx))＝f(x)，


∴f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．


(2)∵4是f(x)的一个周期，


∴f(5)＝f(1)＝－5，


∴f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)


＝－eq \f(1,f－1＋2)＝－eq \f(1,f1)＝eq \f(1,5)．