高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试优秀当堂达标检测题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试优秀当堂达标检测题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(四十) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，则φ＝( )





A．－eq \f(π,4) B．eq \f(π,4) C．－eq \f(π,3) D．eq \f(π,3)


D [由题图可知T＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝π，故ω＝2，又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝2，所以2×eq \f(π,12)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，故φ＝2kπ＋eq \f(π,3)，又|φ|

2．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，则f(x)的最小正周期为( )


A．eq \f(π,4) B．eq \f(π,2) C．π D．eq \f(3π,2)


C [∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))，∴x＝eq \f(\f(π,2)＋\f(2π,3),2)＝eq \f(7π,12)为函数f(x)的图象的一条对称轴．


∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，∴x＝eq \f(π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)－\f(π,2)))＝eq \f(π,12)为f(x)图象的一条对称轴，且与x＝eq \f(7π,12)相邻，故函数f(x)的最小正周期T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π．]


3．点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，2))是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的图象的一个对称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为eq \f(π,2)，则下列说法正确的是( )


A．f(x)的最小正周期是π


B．f(x)的值域为[0,4]


C．f(x)的初相φ＝eq \f(π,3)


D．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，2π))上单调递增


D [由题意，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)ω＋φ＝kπk∈Z，①,m＝2，))且函数的最小正周期为T＝4×eq \f(π,2)＝2π，故ω＝eq \f(2π,T)＝1．代入①式得φ＝kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)，又|φ|＜eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,6)，所以f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＋2．故函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[1,3]，初相为eq \f(π,6)，排除A、B、C项，故选D．]


4．设函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x＋\f(π,5)))．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为( )


A．2 B．eq \f(π,2) C．1 D．eq \f(π,4)


A [f(x)的周期T＝4，|x1－x2|的最小值为2．]


5．设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))的值为( )





A．－eq \f(\r(3),4) B．－eq \f(1,4) C．－eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),4)


D [由题意知，点M到x轴的距离是eq \f(1,2)，


根据题意可设f(x)＝eq \f(1,2)cs ωx，


又由题图知eq \f(1,2)·eq \f(2π,ω)＝1，所以ω＝π，


所以f(x)＝eq \f(1,2)cs πx，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))＝eq \f(1,2)cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),4)． 故选D．]


二、填空题


6．已知函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)的图象如图所示，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(2,3)，则f(0)＝________．





eq \f(2,3) [由图象可得最小正周期为eq \f(2,3)π，于是f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))，注意到eq \f(2,3)π与eq \f(π,2)关于eq \f(7π,12)对称，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝eq \f(2,3)．]


7．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))＝f(－x)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________．


±3 [由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋x))＝f(－x)，


则函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))是函数f(x)的最大值或最小值，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝－3或3．]


8．(一题两空)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω＞0，－\f(π,2)＜φ＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则ω＝________；φ＝________．





2 －eq \f(π,3) [eq \f(3,4)T＝eq \f(5π,12)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝eq \f(3π,4)，∴T＝eq \f(2π,ω)＝π，


∴ω＝2．


当x＝eq \f(5π,12)时，2×eq \f(5π,12)＋φ＝eq \f(π,2)，∴φ＝－eq \f(π,3)．]


三、解答题


9．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：


(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；


(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动eq \f(π,6)个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．


[解] (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－eq \f(π,6)．数据补全如下表：


函数解析式为f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))．


(2)由(1)知， f(x)＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，


因此g(x)＝5sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))．


因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z．


令2x＋eq \f(π,6)＝kπ，解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,12)，k∈Z．


即y＝g(x)的图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，0))，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，0))．


10．已知函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))的图象的一条对称轴是直线x＝eq \f(π,4)．


(1)求φ值；


(2)求函数y＝f(x)的单调增区间和对称中心．


[解] (1)∵x＝eq \f(π,4)是f(x)的图象的一条对称轴，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(π,4)＋φ))＝±1，


∴eq \f(π,8)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z．


∵0＜φ＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(3π,8)．


(2)由(1)知y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(3π,8)))．


由题意得2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(3π,8)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，


即4kπ－eq \f(7π,4)≤x≤4kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，


∴函数f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4kπ－\f(7π,4)，4kπ＋\f(π,4)))(k∈Z)．


由eq \f(1,2)x＋eq \f(3π,8)＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ－eq \f(3π,4)(k∈Z)，


故该函数的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(3π,4)，0))(k∈Z)．





1．关于f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))(x∈R)，有下列命题：


①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；


②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))；


③y＝f(x)图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))对称；


④y＝f(x)图象关于直线＝－eq \f(π,6)对称．


其中正确命题的序号为( )


A．①③ B．②④ C．②③ D．①④


C [对于①，由f(x)＝0，可得2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)．


∴x＝eq \f(k,2)π－eq \f(π,6)(k∈Z)，∴x1－x2是eq \f(π,2)的整数倍，


∴①错误；对于②，由f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))可得f(x)＝4cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))))＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，∴②正确；对于③，f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的对称中心满足2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，∴x＝eq \f(k,2)π－eq \f(π,6)(k∈Z)，


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③正确；


对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，


∴x＝eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)．∴④错误．]


2．设函数y＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，φ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称，则在下面四个结论中：①图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))对称；②图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))对称；③在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))上是增函数；④在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))上是增函数，结论正确的是________．


②④ [∵T＝π，∴ω＝2．又2×eq \f(π,12)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，


∴φ＝kπ＋eq \f(π,3)．∵φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴φ＝eq \f(π,3)，


∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))．由图象及性质可知②④正确．]


3．设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)．若f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．


eq \f(8,3) [∵f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))对任意的实数x都成立，


∴当x＝eq \f(π,4)时，f(x)取得最大值，


即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)ω－\f(π,6)))＝1，


∴eq \f(π,4)ω－eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，


∴ω＝8k＋eq \f(8,3)，k∈Z．


∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值eq \f(8,3)．]


4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．


(1)求f(x)的解析式及x0的值；


(2)求f(x)的单调增区间；


(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．


[解] (1)由题意作出f(x)的简图如图．





由图象知A＝2，由eq \f(T,2)＝2π，得T＝4π，


∴4π＝eq \f(2π,ω)，即ω＝eq \f(1,2)，


∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋φ))，


∴f(0)＝2sin φ＝1，


又∵|φ|

∵f(x0)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x0＋\f(π,6)))＝2，


∴eq \f(1,2)x0＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z．


∴x0＝4kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z，


又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，


∴x0＝eq \f(2π,3)．


(2)由－eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，


得－eq \f(4π,3)＋4kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋4kπ，k∈Z，


∴f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)＋4kπ，\f(2π,3)＋4kπ))(k∈Z)．


(3)∵－π≤x≤π，


∴－eq \f(π,3)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3)，


∴－eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))≤1，


∴－eq \r(3)≤f(x)≤2，


故当x∈[－π，π]时，f(x)的值域为[－eq \r(3)，2]．


ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
eq \f(13π,12)
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0