高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试精品综合训练题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试精品综合训练题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(三十九) 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．函数y＝cs x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cs ωx，则ω的值为( )


A．eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．2 D．－2


A [y＝cs xeq \(―――――――――――→,\s\up14(横坐标变为原来的2倍),\s\d7(纵坐标不变))y＝cs eq \f(1,2)x．]


2．将函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))向右平移得到y＝sin x的图象，则平移的单位数是( )


A．eq \f(4π,3) B．eq \f(2π,3) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,6)


D [y＝sin x＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，


y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象变换为y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))的图象应向右平移eq \f(π,6)个单位．]


3．用“五点法”画函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,12)π，－2))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，0))，则ω＝( )


A．eq \f(1,2) B．2 C．eq \f(1,3) D．3


B [周期T＝eq \f(5π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝π，∴eq \f(2π,ω)＝π，ω＝2．]


4．函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(π,6)))的相位和初相分别是( )


A．－x＋eq \f(π,6) eq \f(π,6) B．x＋eq \f(π,6) eq \f(π,6)


C．x－eq \f(5π,6) －eq \f(5π,6) D．x＋eq \f(5π,6) eq \f(5π,6)


D [y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(π,6)))化为y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(5π,6)))，相位x＋eq \f(5π,6)，初相eq \f(5π,6)．]


5．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)( ω>0)的图象上所有的点向左平移eq \f(π,2)个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )


A．4 B．6 C．8 D．12


B [将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,2)个单位，若所得图象与原图象重合，则eq \f(π,2)是已知函数周期的整数倍，所以eq \f(2nπ,ω)＝eq \f(π,2)(n∈N*)，所以ω＝4n(n∈N*)，故A、C、D正确，故选B．]


二、填空题


6．将y＝cs 2x的图象向右平移eq \f(π,3)个单位，得到的图象对应的解析式为________．


y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3))) [y＝cs 2x→y＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(2π,3)))．]


7．将函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移eq \f(π,3)个单位，得到的图象对应的解析式是________．





8．将函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移eq \f(π,2)个单位，得到的曲线与y＝eq \f(1,2)sin x的图象相同，则y＝f(x)的函数表达式为________．


y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2))) [根据题意，y＝eq \f(1,2)sin x的图象沿x轴向右平移eq \f(π,2)个单位后得到y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，再将此函数图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，得到y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,2)))，此即y＝f(x)的解析式．]


三、解答题


9．已知f(x)＝2sin 2x，将函数y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个根，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．


[解] f(x)＝2sin 2x，


g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))))＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＋1．


g(x)＝0⇒sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)⇒x＝kπ－eq \f(π,4)或x＝kπ＋eq \f(5,12)π，k∈Z，


即g(x)的根相邻间隔依次为eq \f(π,3)和eq \f(2π,3)，


故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个根，则b－a的最小值为14×eq \f(2π,3)＋15×eq \f(π,3)＝eq \f(43π,3)．


10．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))(x∈R)．


(1)求f(x)的单调减区间；


(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)


[解] (1)由已知函数化为y＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))．


欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调递增区间．


由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，


解得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5,12)π(k∈Z)，


∴原函数的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5,12)π))(k∈Z)．


(2)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))))


＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,12)))．


∵y＝cs 2x是偶函数，图象关于y轴对称，


∴只需把y＝f(x)的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度即可．





1．(多选题)将函数f(x)＝3sin x的图象先向右平移eq \f(π,3)个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的( )


A．周期是π


B．增区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)


C．图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，0))对称


D．图象关于直线x＝eq \f(2π,3)对称


ABC [将函数f(x)＝3sin x的图象先向右平移eq \f(π,3)个单位，再把所得各点的横坐标变为原来的eq \f(1,2)倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，对于选项A，函数g(x)的周期为eq \f(2π,2)＝π，即A正确；对于选项B，令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，即kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)，即函数g(x)的增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)，即B正确；


对于选项C，令2x－eq \f(π,3)＝kπ，解得：x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)，即函数g(x)的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)＋\f(π,6)，0))，即C正确；


对于选项D，令2x－eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)，则x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)，即函数g(x)的对称轴方程为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)，k∈Z，即选项D错误．综上可得选项A，B，C正确，故选ABC．]


2．把函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4π,3)))的图象向右平移φ个单位长度，所得到的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值是( )


A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)


C [将y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4π,3)))的图象向右平移φ个单位长度，得y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－φ＋\f(4π,3)))的图象，


∵y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－φ＋\f(4π,3)))的图象关于y轴对称，


∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0－φ＋\f(4π,3)))＝±1．


∴φ－eq \f(4π,3)＝kπ，k∈Z．


当k＝－1时，φ取得最小正值eq \f(π,3)．]


3．若ω>0，函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后与函数y＝sin ωx的图象重合，则ω的最小值为________．


eq \f(5,2) [将函数y＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(ωπ,3)＋\f(π,3)))的图象．因为所得函数图象与函数y＝sin ωx的图象重合，所以－eq \f(ωπ,3)＋eq \f(π,3)＝eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝－eq \f(7,2)－6k(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值eq \f(5,2)．]


4．将函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,4)))的图象，则f(x)＝________．


2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(13π,12)))－1 [将y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,4)))的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得函数y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(13π,12)))的图象，再向下平移1个单位长度，得函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(13π,12)))－1的图象，即f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(13π,12)))－1．]


5．已知：由函数y＝2sin x＋1＋a的图象先向左平移eq \f(π,6)个单位后，再保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变成原来的eq \f(1,2)倍，就得到函数y＝f(x)，y＝f(x)的最大值为2．


(1)求a的值及f(x)的最小正周期；


(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．


[解] (1)由函数的图象变换得f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1＋a，


因为y＝f(x)的最大值为2，


所以a＝－1，最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π．


(2)由(1)知f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，列表：


画图如下：





x
0
eq \f(π,6)
eq \f(5π,12)
eq \f(2π,3)
eq \f(11π,12)
π
2x＋eq \f(π,6)
eq \f(π,6)
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
eq \f(13π,6)
f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))
1
2
0
－2
0
1