福建省泰宁第一中学2020届高三上学期第一阶段考试 数学（理）（含答案）

泰宁一中2019-2020学年上学期第一次阶段考试高三理科数学试卷考试时间：120分钟；满分 150分 一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分。四个答案中有且仅有一个是正确的）　　1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，则（∁RA）∩B＝（　　）A．（1，3） B．（1，3] C．[3，+∞） D．（3，+∞）2．“lnx＜lny”是ex＜ey的（　　）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知命题，命题q：∃x∈R，ex＜1，则下列为真命题的是（　　）A．p∧（￢q） B．（￢p）∧（￢q） C．（￢p）∧q D．p∧q4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）A．y＝x2+2x B．y＝x3 C．y＝lnx D．y＝x25．函数y＝2|x|﹣x2的图象大致是（　　）A． B． C． D．6．已知，，，则（　　）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而四方称之为“中国剩余理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为（　　）A．134 B．135 C．136 D．1378．已知向量＝（1，0），＝（﹣3，4）的夹角为θ，则sin2θ等于（　　）A． B． C． D．﹣9．如图所示的△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AC，AD上，且BD＝DC，AE＝2EC，DF＝2AF，则向量＝（　　）A． B． C． D．10．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin3x的图象，只需将f（x）的图象（　　）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度11．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若向量，，且，则角A的大小为（　　）A． B． C． D．12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），则不等式ex•f（2x）＜e4•f（3x﹣4）的解集是（　　）A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（4，+∞） D．（﹣∞，4） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．（+sinx）dx＝　   　14．函数f（x）＝loga（4x﹣3）（a＞0且a≠1）的图象所过定点的坐标是　   　．15．若集合M＝{x|x2+x﹣6＝0}，N＝{x|mx+1＝0}，且M∩N＝N，则实数m的值为　   　．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，S为△ABC的面积．若不等式kS≤3b2+3c2﹣a2恒成立，则实数k的最大值为　   　．  三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{an}中an+1＝an﹣4，且a1＝13，（1）求an；（2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值  18．（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB＝（2c﹣b）cosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝4，BC边上的中线，求△ABC的面积．  19．（本小题满分12分）已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，n），设函数f（x）＝，且y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）（1）当﹣时，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及相应的x的值；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x）＝m在[0，2π]有两个不同的解，求实数m的取值范围   20．（本小题满分12分）已知函数f（x）对任意x满足：3f（x）﹣f（2﹣x）＝4x，二次函数g（x）满足：g（x+2）﹣g（x）＝4x且g（1）＝﹣4．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）若x∈[m，n]时，恒有f（x）≥g（x）成立，求n﹣m的最大值．     21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝a（x﹣1）．（Ⅰ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的值；（Ⅱ）存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，f（x1）＝f（x2），求证：．                 22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝2．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：|PA|•|PB|为定值．
泰宁一中2019-2020学年上学期第一次阶段考试高三理科数学试卷一．选择题（共12小题）       CACDA   BBDAC   BD二．填空题（共4小题）13．4      14（1，0）．   15.  m＝o或或．  16. ．三．解答题（共6小题）17．已知数列{an}中an+1＝an﹣4，且a1＝13，（1）求an；（2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值解：（1）由an+1＝an﹣4，可知，an+1﹣an＝﹣4，∴数列{an}是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列，∴an＝13﹣4（n﹣1）＝﹣4n+17，（2）由（1）可知，数列{an}单调递减，且a4＞0，a5＜0，∴当n＝4时，{an}的前n项和Sn取得最大值s4＝13+9+5+1＝2818．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosB＝（2c﹣b）cosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝4，BC边上的中线，求△ABC的面积．解：（1）由acosB＝（2c﹣b）cosA得sinAcosB＝（2sinC﹣sinB）cosA＝2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB＝2sinCcosA，即sin（A+B）＝2sinCcosA，即sinC＝2sinCcosA，在三角形中sinA≠0，∴cosA＝，则A＝．（2）∵M是BC的中点，∴BM＝CM＝2，由余弦定理得b2＝（2）2+22﹣2×cosθ＝8+4﹣8cosθ＝12﹣8cosθ，c2＝（2）2+22﹣2×cos（π﹣θ）＝8+4+8cosθ＝12+8cosθ，两式相加得b2+c2＝24，又a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣2×bc＝24﹣bc，即16＝24﹣bc，则bc＝8，则三角形的面积S＝bcsinA＝×8×＝2．19．已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，n），设函数f（x）＝，且y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）（1）当﹣时，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及相应的x的值；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x）＝m在[0，2π]有两个不同的解，求实数m的取值范围解：（1）由题意知，f（x）＝•＝msin2x+ncos2x，根据y＝f（x）＝的图象过点（，）和（，﹣2），得到，解得m＝，n＝1；f（x）＝•＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），当﹣≤x≤时，﹣≤2x+≤，∴﹣1≤2sin（2x+）≤2；∴函数y＝f（x）的最大值为2，此时x＝，最小值为﹣1，此时x＝﹣；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，得函数y＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x﹣）的图象；再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得函数y＝g（x）＝2sin（﹣）的图象，令t＝﹣，t∈[﹣，]，如图所示，当≤sint＜1时，g（x）＝m在[0，2π]有两个不同的解，∴≤2sin（﹣）＜2，则实数m的取值范围是≤m＜2．20．已知函数f（x）对任意x满足：3f（x）﹣f（2﹣x）＝4x，二次函数g（x）满足：g（x+2）﹣g（x）＝4x且g（1）＝﹣4．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）若x∈[m，n]时，恒有f（x）≥g（x）成立，求n﹣m的最大值．【解答】解：（1）3f（x）﹣f（2﹣x）＝4x①，3f（2﹣x）﹣f（x）＝8﹣4x②，联立①②，可得f（x）＝x+1；设g（x）＝ax2+bx+c，则g（x+2）﹣g（x）＝a（x+2）2+b（x+2）+c﹣ax2﹣bx﹣c＝4x，则有，解得a＝1，b＝﹣2，又g（1）＝﹣4，得c＝﹣3，所以g（x）＝x2﹣2x﹣3．（2）令f（x）＝g（x），即x+1＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣1或x＝4，若f（x）≥g（x），则x∈[m，n]时，f（x）的图象不在g（x）的图象的下方，可知x∈[﹣1，4]，所以n﹣m≤4﹣（﹣1）＝5，即n﹣m的最大值是5．21．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝a（x﹣1）．（Ⅰ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的值；（Ⅱ）存在x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，f（x1）＝f（x2），求证：．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥g（x）即xlnx≥a（x﹣1）⇔；令，则，①当a≤0时，h′（x）＞0且h（1）＝0，则x∈（0，1）时，h（x）＜0，不符合题意，舍去．②当a＞0时，h′（x）＝0，x＝a，且h（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以，h（x）在x＝a处取极小值也是最小值，即h（x）min＝h（a）＝lna+a﹣1，令，可得F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；所以F（x）max＝F（1）＝0，故F（x）≤0，当x＝1时取等号，所以a＝1．（II）因为f′（x）＝1+lnx，所以，且f（1）＝0，因为f（x1）＝f（x2），所以令f（x1）＝f（x2）＝k，即x1lnx1＝k，x2lnx2＝k，所以    （*）要证成立，只需证：⇔lnx1+lnx2＜﹣2由（*）可知：即证令，即证：令，则所以，h（t）＞h（1）＝0，即有（t＞1）所以，lnx1+lnx2＜﹣2所以，．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（）＝2．（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）直线l与y轴的交点为P，经过点P的动直线m与曲线C交于A、B两点，证明：|PA|•|PB|为定值．【解答】解：（1）由x2+y2＝（cosα+sinα）2+（sinα﹣cosα）2＝4，得曲线C：x2+y2＝4．直线l的极坐标方程展开为ρcosθ﹣ρsinθ＝2，故l的直角坐标方程为．（2）显然P的坐标为（0，﹣4），不妨设过点P的直线方程为（t为参数），代入C：x2+y2＝4得t2﹣8tsinα+12＝0，设A，B对应的参数为t1，t2所以|PA|•|PB|＝|t1t2|＝12为定值．