北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词精品教案

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词精品教案，共7页。
2.2 全称量词与存在量词











1．全称量词与全称量词命题


(1)全称量词：在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示．读作“对任意的”


(2)全称量词命题：在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题．


思考1：“相似三角形是全等三角形”是否是全称量词命题？


提示： 该命题是全称量词命题，只不过省略了全称量词．


2．存在量词与存在量词命题


(1)存在量词：在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“存在”．


(2)存在量词命题：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题．


思考2：“不等式x2－10，则x2>0；


(2)矩形的对角线相等；


(3)若集合A是集合B的真子集，则存在x∈B，使得xA；


(4)至少有一个实数x，使x2＋ 1 ＝ 0.


[解] (1)存在x>0，使得x2≤0 ，为假命题．


(2)存在一个矩形，它的对角线不等，为假命题．


(3)若集合A是集合B的真子集，则对任意x∈B，都有x∈A，为假命题．


(4)对任意x∈R，都有x2＋1≠0，为真命题．





全称量词命题与存在量词命题的应用


【例3】 已知∀x∈R，x2＋2x＋1≥m，求实数m的取值范围．


[思路点拨] 将其转化为函数的最值问题来求解．


[解] 令y＝x2＋2x＋1，x∈R，则y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1)) eq \s\up8(2)，x∈R，所以其最小值为0.


要使∀x∈R，x2＋2x＋1≥m，只需m≤0，


所以，实数m的取值范围是m≤0.





1．将例3中的条件“∀x∈R，都有x2＋2x＋1≥m”改为“∃x∈R，使得x2＋2x＋1≤m”，求实数m的取值范围．


[解] 令y＝x2＋2x＋1，x∈R，


则y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1)) eq \s\up8(2)，x∈R，所以其最小值为0.


要使∃x∈R，x2＋2x＋1≤m，只需m≥0，


所以，实数m的取值范围是m≥0.


2．已知命题“存在x∈R，使得2x2＋(a－1)x＋ eq \f(1,2)≤0”是假命题，求实数a的取值范围．


[解] 由已知得，命题“对任意x∈R，2x2＋(a－1)x＋ eq \f(1,2)＞0”是真命题，


所以Δ＝(a－1)2－4＜0，


解得－1＜a＜3.





求解含有量词的命题中的参数取值范围的策略


1.对于全称量词命题“∀x∈M，y>a(或ya(或y0


[答案] C


3．给出四个命题：①偶数都能被2整除；②实数的绝对值大于0；③存在一个实数x，使x＋ eq \f(1,x)≤－2；④对顶角相等，其中既是全称量词命题又是假命题的是________．


[答案] ②


4．若“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．


[解] 由已知，得“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，


所以Δ＝22－4m1，


所以，实数m的取值范围是m＞1.


学 习 目 标
核 心 素 养
1．通过实例理解全称量词与存在量词的意义．(重点)


2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)


3．能判断全称量词命题与存在量词命题的真假．(重点、难点)
1．通过对含量词的命题的否定，培养逻辑推理素养．


2．借助含量词的命题的应用，培养数学运算素养．
命题p
命题p的否定
∀x∈M，p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))
∃x∈M，x不具有性质p(x)
∃x∈M，p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))
∀x∈M，x不具有性质p(x)