北师大版 (2019)必修 第一册3.1 不等式性质精品教学设计

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§3 不等式


3.1 不等式的性质














1．实数a，b大小的比较


设a，b∈R，则


(1)a>b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0;_(3)ab⇔ eq \f(1,a)< eq \f(1,b)成立吗？


提示：当a，b同号时成立，异号时不成立．





1．若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是( )


A．a－b>d－c B．a＋d>b＋c


C．a－c>b－c D．a－cb等价的不等式是( )


A． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))> eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b)) B．a2>b2


C． eq \f(a,b)>1 D．a3>b3


D [可以用赋值法，令a＝－1，b＝－2，可知选项A、B、C错误，故选D.]


3．已知a2ab.








作差法比较两实数大小


【例1】 已知－ eq \f(1,2)0，－a>0， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \f(3,4)>0，∴C>A.


∵A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0，


∴A>B.


B－D＝1－a2－ eq \f(1,1－a)＝ eq \f(a（a2－a－1）,1－a)


＝ eq \f(a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(1,2)))\s\up8(2)－\f(5,4))),1－a).


∵－ eq \f(1,2)A>B>D.





1．要比较多个式子的大小，为避免盲目性，可通过赋值估计各式的大小关系，再用作差比较法比较．


2．作差比较法中关键的一步是对差变形，常见的变形有通分、分解、配方等，变形的目的是有利于判断差的符号．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．


[解] ∵(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)


＝x2＋(2m－1)x＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m－1,2))) eq \s\up8(2)＋2m2＋1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2m－1,2))) eq \s\up8(2)


＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2m－1,2))) eq \s\up8(2)＋m2＋m＋ eq \f(3,4)


＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2m－1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(m2＋m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up8(2)))＋ eq \f(3,4)－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(2)


＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2m－1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \f(1,2)≥ eq \f(1,2)>0，


∴x2－x＋1>－2m2－2mx.





对不等式性质的理解


【例2】 下面的推理过程 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a＞b⇒ac＞bc,c＞d⇒bc＞bd))⇒ac＞bd⇒ eq \f(a,d)＞ eq \f(b,c)，其中错误之处的个数是( )


A．0 B．1 C．2 D．3


[思路点拨] 考虑不等式性质成立的条件．


D [①a>b推不出ac>bc，②c>d推不出bc>bd，③ac>bd推不出 eq \f(a,d)> eq \f(b,c).]





1．应用不等式的性质解题时，要注意不等式的性质成立的条件，否则，会出现错误．


2．不等式的性质是对不等式变形的依据，根据变形的需要，合理选择不等式的性质．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．下列命题中，真命题有( )


①若a>b>0，则 eq \f(1,a2)< eq \f(1,b2)；


②若a>b，则c－2ab，e>f，则f－acb，则 eq \f(1,a)< eq \f(1,b).


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


B [只有①②为真命题，故选B.]





不等式的性质的应用


[探究问题]


1在解一元一次不等式时，其中“移项”与“系数化为1”的依据分别是什么？


提示：不等式的可加性与可乘性．


2．要证明A>C，只需证明A>B，且B>C，这种证明不等式的方法叫作放缩法，放缩法的依据是什么？


提示：不等式的传递性


【例3】 已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a－b， eq \f(a,b)的取值范围．


[思路点拨] 欲求a－b与 eq \f(a,b)的取值范围，应先求－b与 eq \f(1,b)的取值范围，再进一步求a－b， eq \f(a,b)的取值范围．


[解] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15.


又12＜a＜60，


∴12－36＜a－b＜60－15.


∴－24＜a－b＜45.


又 eq \f(1,36)＜ eq \f(1,b)＜ eq \f(1,15)，∴ eq \f(12,36)＜ eq \f(a,b)＜ eq \f(60,15).


∴ eq \f(1,3)＜ eq \f(a,b)＜4.





1．在例3的条件下，求 eq \f(1,2)a－ eq \f(1,3)b的取值范围．


[解] ∵12＜a＜60，15＜b＜36，


∴6< eq \f(1,2)abn.( )


[答案] (1)√ (2)× (3)×


2．设P＝3x2－x＋1，Q＝2x2＋x则( )


A．P≥Q B．P≤Q


C．P>Q D．Pb，且c>0⇒ac＞bc
c的符号
a>b，且cb，且c>d⇒a＋c＞b＋d
⇒
乘法法则
如果a>b>0，c>d>0⇒ac＞bd＞0；如果a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＜bd＜0
⇒