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    数学必修 第一册4.1 函数的奇偶性优秀教案设计

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    这是一份数学必修 第一册4.1 函数的奇偶性优秀教案设计,共8页。

    §4 函数的奇偶性与简单的幂函数


    4.1 函数的奇偶性











    1.奇(偶)函数的定义


    思考:奇(偶)函数的定义域具有什么特征?它是函数具有奇偶性什么条件?


    提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件.


    2.奇(偶)函数的性质


    (1)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.


    (2)如果奇函数y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在原点有定义,则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0))=0.





    1.设f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=2x2-x,则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))等于( )


    A.-3 B.-1 C.1 D.3


    A [∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是奇函数,当x≤0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=2x2-x,


    ∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.]


    2.下列各图中,表示以x为自变量的奇函数的图象是( )





    A B C D


    B [D不是函数;A,C不关于原点对称.]


    3.已知一个奇函数的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-1,2,a,b)),则a+b等于________.


    -1 [根据奇函数的定义域关于原点对称,知a与b有一个等于1,一个等于-2,


    所以a+b=1+(-2)=-1.]


    4.已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=x+ eq \f(m,x),且f(1)=3.


    (1)求m的值;


    (2)判断函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的奇偶性.


    [解] (1)由题意知,f(1)=1+m=3,∴m=2.


    (2)由(1)知,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=x+ eq \f(2,x),x≠0,


    ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=(-x)+ eq \f(2,-x)=- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(2,x)))=-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),


    ∴函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为奇函数.








    判断函数的奇偶性


    【例1】 判断并证明下列函数的奇偶性:


    (1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \f(x3-x2,x-1);


    (2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=(x+1)(x-1);


    (3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \r(1-x2)+ eq \r(x2-1);


    (4)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \f(\r(4-x2),|x+3|-3).


    [思路点拨] 应先看函数定义域是否关于原点对称,再判断f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))的关系.


    [解] (1)因为函数的定义域为{x|x∈R且x≠1},∴对于定义域内的-1,其相反数1不在定义域内,故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \f(x3-x2,x-1)既非奇函数又非偶函数.


    (2)函数的定义域为R,因为函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=(x+1)(x-1)=x2-1,又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=(-x)2-1=x2-1=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),所以函数为偶函数.


    (3)函数的定义域为{-1,1},因为对定义域内的每一个x,都有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=0,所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),故函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \r(1-x2)+ eq \r(x2-1)为偶函数.又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),故函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \r(1-x2)+ eq \r(x2-1)为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数.


    (4)解不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4-x2≥0,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x+3))-3≠0)) ,得-2≤x<0,或0

    因此函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域是[-2,0)∪(0,2],


    则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \f(\r(4-x2),x).


    ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))= eq \f(\r(4-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))\s\up8(2)),-x)=- eq \f(\r(4-x2),x)=-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),


    所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是奇函数.





    1. 在本题(4)中,在定义域内化简函数,是正确求解的关键.


    2.利用定义法判断函数是否具有奇偶性时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意一个x,则-x也一定属于定义域.


    3.在判断f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))的关系时,有时应用定义的变通形式较方便,常见的变通形式:f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=±f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))⇔f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))±f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=0⇔ eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x)),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)))=±1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))≠0)).





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    1.已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的奇函数,试判断y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))+g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),y=f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))的奇偶性.


    [解] ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的奇函数,


    ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))+g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))-g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=-[f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))+g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))],y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))+g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是奇函数.


    f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=[-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))][-g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))]=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是偶函数.


    f[g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))]=f[-g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))]=-f[g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))],y=f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))是奇函数.





    奇偶性的应用


    角度一 奇(偶)函数图象的对称性的应用


    【例2】 定义在R上的奇函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在[0,+∞)上的图象如图所示.





    (1)画出f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象;


    (2)解不等式xf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0.


    [解] (1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象如图.





    (2)xf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知,xf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0的解集是(-2,0)∪(0,2).





    把例2中的“奇函数”改为“偶函数”,重做该题.


    [解] (1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象如图所示:





    (2)xf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0的解集是(-∞,-2)∪(0,2).





    函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称;函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.





    角度二 应用函数奇偶性求解析式


    【例3】 函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义域为R的奇函数,当x>0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=-x+1,求当x<0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的解析式.


    [解] 设x<0,则-x>0,∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=-(-x)+1=x+1,


    又∵函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义域为R的奇函数,


    ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=x+1,


    ∴当x<0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=-x-1.





    已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))上的解析式,求函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-b,-a))上的解析式的方法:


    (1)设:设-b≤x≤-a,则a≤-x≤b.


    (2)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x)):根据已知条件f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))上的解析式可求得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))的解析式.


    (3)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)):根据函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的奇偶性来实现函数的解析式在f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))之间的相互转化.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    2.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=2x-x2.求y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的解析式.


    [解] 设x<0,则-x>0,因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是奇函数,


    所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=-[2(-x)-(-x)2]=2x+x2.


    因为y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是R上的奇函数,所以f(0)=0.


    所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2+2x,x≤0,,2x-x2,x>0.))


    角度三 奇偶性求单调区间


    【例4】 设f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是偶函数,在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))上是减函数,试证f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-b,-a))上是增函数.


    [证明] 设x1,x2是区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-b,-a))上任意两个值,且有x1

    ∵-b≤x1

    ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))上是减函数,


    ∴f(-x2)>f(-x1).


    ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为偶函数,即f(-x)=f(x),


    ∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1).


    ∴f(x2)>f(x1),即f(x1)

    ∴函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-b,-a))上是增函数.





    具有奇偶性的函数的单调性的特点:


    (1)奇函数在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))和 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-b,-a))上具有相同的单调性.


    (2)偶函数在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))和 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-b,-a))上具有相反的单调性.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    3.已知偶函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.


    (-1,3) [∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为偶函数,∴f(x-1)=f(|x-1|),


    又f(2)=0,∴f(x-1)>0,即f(|x-1|)>f(2),


    ∵|x-1|,2∈[0,+∞),且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在[0,+∞)上单调递减.


    ∴|x-1|<2,即-2

    ∴x的取值范围为(-1,3).]








    1.对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数;如果都有f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数.


    2.证明一个函数是奇函数,必须对f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x).而证明一个函数不是奇函数,只要能举出一个反例就可以了.


    3.(1)根据奇函数的定义,如果一个奇函数在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.


    (2)偶函数的一个重要性质:f(|x|)=f(x),它能使自变量化归到[0,+∞)上,避免分类讨论.





    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)


    (1)若f(x)是偶函数,且f(1)=2,则f(-1)=2.( )


    (2)存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个.( )


    (3)如果y=f(x)为奇函数,则f(0)=0.( )


    (4)奇函数的最大值与最小值一定互为相反数.( )


    [答案] (1)√ (2)√ (3)× ⑷√


    2.定义在R上的偶函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在[0,+∞)上是增函数,若f(a)

    A.ab


    C.|a|<|b| D.0≤ab≥0


    [答案] C


    3.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在[2,6]上是减函数,则f(-5)________f(3).(填“>”或“<”)


    < [∵f(x)为偶函数,∴f(-5)=f(5),而函数f(x)在[2,6]为减函数,∴f(5)<f(3).∴f(-5)<f(3).]


    4.已知奇函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.





    (1)画出在区间[-5,0]上的图象;


    (2)写出使f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))<0的x的取值集合.


    [解] (1)如图,在[0,5]上的图象上选取5个关键点O,A,B,C,D.





    分别描出它们关于原点的对称点O′,A′,B′,C′,D′,


    再用光滑曲线连接即得.


    (2)由(1)图可知,当且仅当x∈(-2,0)∪(2,5)时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))<0.


    ∴使f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).


    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.理解函数奇偶性的定义.(重点)


    2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.(重点)


    3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.(难点)
    1.借助奇偶性的特征的学习,培养直观想象素养.


    2.通过函数奇偶性的判断和证明,培养逻辑推理素养.
    奇偶性
    奇函数
    偶函数
    前提
    设函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域是A,如果对任意的x∈A时,有-x∈A
    条件
    f(-x)=-f(x)
    f(-x)=f(x)
    图象特征
    关于坐标原点对称.反之亦然
    关于y轴对称.反之亦然
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