数学必修 第一册4.1 函数的奇偶性优秀教案设计
展开§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.1 函数的奇偶性
1.奇(偶)函数的定义
思考:奇(偶)函数的定义域具有什么特征?它是函数具有奇偶性什么条件?
提示:定义域关于原点对称,必要不充分条件.
2.奇(偶)函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
(2)如果奇函数y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在原点有定义,则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0))=0.
1.设f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=2x2-x,则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))等于( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
A [∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是奇函数,当x≤0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=2x2-x,
∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.]
2.下列各图中,表示以x为自变量的奇函数的图象是( )
A B C D
B [D不是函数;A,C不关于原点对称.]
3.已知一个奇函数的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-1,2,a,b)),则a+b等于________.
-1 [根据奇函数的定义域关于原点对称,知a与b有一个等于1,一个等于-2,
所以a+b=1+(-2)=-1.]
4.已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=x+ eq \f(m,x),且f(1)=3.
(1)求m的值;
(2)判断函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的奇偶性.
[解] (1)由题意知,f(1)=1+m=3,∴m=2.
(2)由(1)知,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=x+ eq \f(2,x),x≠0,
∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=(-x)+ eq \f(2,-x)=- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(2,x)))=-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),
∴函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为奇函数.
判断函数的奇偶性
【例1】 判断并证明下列函数的奇偶性:
(1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \f(x3-x2,x-1);
(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=(x+1)(x-1);
(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \r(1-x2)+ eq \r(x2-1);
(4)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \f(\r(4-x2),|x+3|-3).
[思路点拨] 应先看函数定义域是否关于原点对称,再判断f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))的关系.
[解] (1)因为函数的定义域为{x|x∈R且x≠1},∴对于定义域内的-1,其相反数1不在定义域内,故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \f(x3-x2,x-1)既非奇函数又非偶函数.
(2)函数的定义域为R,因为函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=(x+1)(x-1)=x2-1,又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=(-x)2-1=x2-1=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),所以函数为偶函数.
(3)函数的定义域为{-1,1},因为对定义域内的每一个x,都有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=0,所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),故函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \r(1-x2)+ eq \r(x2-1)为偶函数.又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),故函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \r(1-x2)+ eq \r(x2-1)为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数.
(4)解不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4-x2≥0,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x+3))-3≠0)) ,得-2≤x<0,或0
因此函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域是[-2,0)∪(0,2],
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \f(\r(4-x2),x).
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))= eq \f(\r(4-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))\s\up8(2)),-x)=- eq \f(\r(4-x2),x)=-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是奇函数.
1. 在本题(4)中,在定义域内化简函数,是正确求解的关键.
2.利用定义法判断函数是否具有奇偶性时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意一个x,则-x也一定属于定义域.
3.在判断f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))的关系时,有时应用定义的变通形式较方便,常见的变通形式:f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=±f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))⇔f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))±f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=0⇔ eq \f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x)),f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)))=±1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))≠0)).
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1.已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的奇函数,试判断y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))+g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),y=f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))的奇偶性.
[解] ∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的奇函数,
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))+g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))-g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=-[f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))+g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))],y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))+g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是奇函数.
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=[-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))][-g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))]=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)),y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是偶函数.
f[g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))]=f[-g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))]=-f[g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))],y=f eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))是奇函数.
奇偶性的应用
角度一 奇(偶)函数图象的对称性的应用
【例2】 定义在R上的奇函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在[0,+∞)上的图象如图所示.
(1)画出f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象;
(2)解不等式xf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0.
[解] (1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象如图.
(2)xf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0即图象上横坐标、纵坐标同号.结合图象可知,xf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0的解集是(-2,0)∪(0,2).
把例2中的“奇函数”改为“偶函数”,重做该题.
[解] (1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象如图所示:
(2)xf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>0的解集是(-∞,-2)∪(0,2).
函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称;函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称.
角度二 应用函数奇偶性求解析式
【例3】 函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义域为R的奇函数,当x>0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=-x+1,求当x<0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的解析式.
[解] 设x<0,则-x>0,∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=-(-x)+1=x+1,
又∵函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是定义域为R的奇函数,
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=x+1,
∴当x<0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=-x-1.
已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))上的解析式,求函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-b,-a))上的解析式的方法:
(1)设:设-b≤x≤-a,则a≤-x≤b.
(2)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x)):根据已知条件f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))上的解析式可求得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))的解析式.
(3)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)):根据函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的奇偶性来实现函数的解析式在f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))与f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))之间的相互转化.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=2x-x2.求y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的解析式.
[解] 设x<0,则-x>0,因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是奇函数,
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=-f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x))=-[2(-x)-(-x)2]=2x+x2.
因为y=f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是R上的奇函数,所以f(0)=0.
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))= eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2+2x,x≤0,,2x-x2,x>0.))
角度三 奇偶性求单调区间
【例4】 设f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))是偶函数,在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))上是减函数,试证f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-b,-a))上是增函数.
[证明] 设x1,x2是区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-b,-a))上任意两个值,且有x1
∵-b≤x1
∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))上是减函数,
∴f(-x2)>f(-x1).
∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为偶函数,即f(-x)=f(x),
∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1).
∴f(x2)>f(x1),即f(x1)
∴函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-b,-a))上是增函数.
具有奇偶性的函数的单调性的特点:
(1)奇函数在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))和 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-b,-a))上具有相同的单调性.
(2)偶函数在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a,b))和 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-b,-a))上具有相反的单调性.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3.已知偶函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在[0,+∞)上单调递减,f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.
(-1,3) [∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为偶函数,∴f(x-1)=f(|x-1|),
又f(2)=0,∴f(x-1)>0,即f(|x-1|)>f(2),
∵|x-1|,2∈[0,+∞),且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在[0,+∞)上单调递减.
∴|x-1|<2,即-2
∴x的取值范围为(-1,3).]
1.对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数;如果都有f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数.
2.证明一个函数是奇函数,必须对f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x).而证明一个函数不是奇函数,只要能举出一个反例就可以了.
3.(1)根据奇函数的定义,如果一个奇函数在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.
(2)偶函数的一个重要性质:f(|x|)=f(x),它能使自变量化归到[0,+∞)上,避免分类讨论.
1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若f(x)是偶函数,且f(1)=2,则f(-1)=2.( )
(2)存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个.( )
(3)如果y=f(x)为奇函数,则f(0)=0.( )
(4)奇函数的最大值与最小值一定互为相反数.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× ⑷√
2.定义在R上的偶函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在[0,+∞)上是增函数,若f(a)
A.ab
C.|a|<|b| D.0≤ab≥0
[答案] C
3.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且在[2,6]上是减函数,则f(-5)________f(3).(填“>”或“<”)
< [∵f(x)为偶函数,∴f(-5)=f(5),而函数f(x)在[2,6]为减函数,∴f(5)<f(3).∴f(-5)<f(3).]
4.已知奇函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象;
(2)写出使f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))<0的x的取值集合.
[解] (1)如图,在[0,5]上的图象上选取5个关键点O,A,B,C,D.
分别描出它们关于原点的对称点O′,A′,B′,C′,D′,
再用光滑曲线连接即得.
(2)由(1)图可知,当且仅当x∈(-2,0)∪(2,5)时,f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))<0.
∴使f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解函数奇偶性的定义.(重点)
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.(重点)
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.(难点)
1.借助奇偶性的特征的学习,培养直观想象素养.
2.通过函数奇偶性的判断和证明,培养逻辑推理素养.
奇偶性
奇函数
偶函数
前提
设函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的定义域是A,如果对任意的x∈A时,有-x∈A
条件
f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)
图象特征
关于坐标原点对称.反之亦然
关于y轴对称.反之亦然
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