高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质优秀教案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质优秀教案设计，共8页。教案主要包含了eq等内容，欢迎下载使用。

4.2 简单幂函数的图象和性质








1．幂函数的概念


形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．


思考：y＝1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≠0))是幂函数吗？


提示：是．因为它可写成y＝x0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x≠0))的形式．


2．幂函数的图象


如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)y＝x eq \s\up6(\f(1,2))；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象．





3．幂函数的性质


(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)；


(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；


(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．





1．已知幂函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝kxα的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于( )


A． eq \f(1,2) B．1 C． eq \f(3,2) D．2


C [由幂函数的定义知k＝1.又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝ eq \f(\r(2),2)，


所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up8(α)＝ eq \f(\r(2),2)，解得α＝ eq \f(1,2)，从而k＋α＝ eq \f(3,2).]


2．函数y＝x eq \s\up6(\f(1,3))的图象是( )





A B C D


B [当0x；当x>1时，x eq \s\up6(\f(1,3))

3．已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x eq \s\up6(\f(1,2)(1－4t－t2))(t∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的，则函数的解析式为________．


f(x)＝x2 [∵f(x)是幂函数，


∴t3－t＋1＝1，


解得t＝－1或t＝0或t＝1.


当t＝0时，f(x)＝x eq \s\up6(\f(1,2))是非奇非偶函数，不满足题意；


当t＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞)上是减少的，不满足题意；


当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意．


综上所述，实数t的值为－1，


所求解析式为f(x)＝x2.]


4．已知函数f(x)＝(2m－3)xm＋1是幂函数．


(1)求m的值；


(2)判断f(x)的奇偶性．


[解] (1)因为f(x)是幂函数，所以2m－3＝1，


即m＝2.


(2)由(1)得f(x)＝x3，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)是奇函数．








幂函数的概念


【例1】 在函数y＝ eq \r(x)，y＝ eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )


A．1 B．2 C．3 D．4


[思路点拨] 从幂的系数、底数和指数三方面考察是否满足幂函数的定义．


B [因为y＝ eq \r(x)＝x eq \s\up6(\f(1,2))，y＝ eq \f(1,x2)＝x－2，所以是幂函数；


y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；


y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；


y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1), 所以常函数y＝1不是幂函数．]





函数解析式中只有满足幂的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y＝3x2，y＝(2x)3都不是幂函数．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．已知y＝(m2＋2m－2)x eq \s\up6(m2－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．


[解] 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))


解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－3或1，,n＝\f(3,2)，))


所以m＝－3或1，n＝ eq \f(3,2).





幂函数的图象及应用


【例2】 若点( eq \r(2)，2)在幂函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象上，点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))在幂函数g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象上，问当x为何值时，(1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))；(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))；(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))

[解] 设f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝xα，则2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2))) eq \s\up8(α)，解得α＝2，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2.


同理可求得g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x－2.


在同一坐标系内作出函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2和g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：





(1)当x>1或x<－1时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))；


(2)当x＝1或x＝－1时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))；


(3)当－1




随着α的变化，其图象也随着变化，讨论其图象的特点时，可分0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．当0

h eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) [如图所示为函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))，h eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在(0，1)上的图象，由此可知，h eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)).


]





幂函数性质的应用


角度一 比较幂的大小


【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：


(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up8(0.3)与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up8(0.3)；(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) eq \s\up8(－1)与 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))) eq \s\up8(－1)


[解] (1)∵0.3>0，


∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．又 eq \f(2,5)> eq \f(1,3)，


∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up8(0.3)> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up8(0.3).


(2)∵－1<0，


∴y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－ eq \f(2,3)<－ eq \f(3,5)，


∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) eq \s\up8(－1)> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))) eq \s\up8(－1).





此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．比较下列各数的大小：


(1)(－ eq \f(2,3)) eq \s\up6(\f(2,3))和(－ eq \f(π,6)) eq \s\up6(\f(2,3))；


(2)4.1 eq \s\up6(\f(2,5))，3.8－ eq \f(2,3)和 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1.9)) eq \s\up6(\f(3,5)).


[解] (1)函数y＝x eq \s\up6(\f(2,3))在(－∞，0)上为减函数，又－ eq \f(2,3)<－ eq \f(π,6)，


∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3))) eq \s\up6(\f(2,3))> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6))) eq \s\up6(\f(2,3)).


(2)4.1 eq \s\up6(\f(2,5))>1 eq \s\up6(\f(2,5))＝1；0<3.8 eq \s\up6(－\f(2,3))<1 eq \s\up6(－\f(2,3))＝1； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1.9)) eq \s\up6(\f(3,5))<0，


∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1.9)) eq \s\up6(\f(3,5))<3.8 eq \s\up6(－\f(2,3))<4.1 eq \s\up6(\f(2,5)).


角度二 由幂函数的大小求字母的取值范围


【例4】 已知幂函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x eq \s\up8(m2－2m－3)(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋1)) eq \s\up6(－ eq \f(m,3))< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－2a)) eq \s\up6(－ eq \f(m,3))的a的取值范围．


[思路点拨] 由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．


[解] ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.


∵m∈N*，∴m＝1，2.又函数的图象关于y轴对称，


∴m2－2m－3是偶数，


又22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，


∴m＝1.


∴ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋1)) eq \s\up6(－\f(1,3))< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－2a)) eq \s\up6(－\f(1,3))，即f(x)＝x eq \s\up6(－\f(1,3))在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数，且当x＜0时，f(x)＜0，当x＞0时，f(x)＞0，∴0＞a＋1＞3－2a或a＋1＞3－2a＞0或a＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1或 eq \f(2,3)＜a＜ eq \f(3,2).


故a的取值范围为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(a<－1或\f(2,3)




幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性等性质，也可由这些性质去限制α的取值．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


4．已知幂函数f(x)＝x eq \s\up4( eq \s\up4(\f(1,m2＋m)))(m∈N＋).


(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；


(2)若函数还经过(2， eq \r(2))，试确定m的值，并求满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－a))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1))的实数a的取值范围．


[解] (1)∵m∈N＋，∴m2＋m＝m(m＋1)为偶数．


令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f(x)＝ eq \r(2k,x)，


∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))为增函数．


(2)∵ eq \r(2) ＝ 2 eq \s\up6(\f(1,2)) ＝2 eq \s\up4( eq \s\up4(\f(1,m2＋m)))，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2(舍去)，


∴f(x)＝x eq \s\up6(\f(1,2))，


由(1)知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))在定义域[0，＋∞)上为增函数，


∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－a))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－1))等价于2－a>a－1≥0，


解得1≤a< eq \f(3,2).


故a的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).








1．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的依据和标准．


2．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图象过(0，0)，(1，1)在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．


3．在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1， eq \f(1,2)，1，2，3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)y＝－ eq \f(1,x)是幂函数．( )


(2)当x∈(0，1)时，x2>x3.( )


(3)y＝x eq \s\up6(\f(3,2))与y＝x eq \s\up6(\f(6,4))定义域相同．( )


(4)若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( )


[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√


2．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，± eq \f(1,2)四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为( )





A．－2，－ eq \f(1,2)， eq \f(1,2)，2 B．2， eq \f(1,2)，－ eq \f(1,2)，－2


C．－ eq \f(1,2)，－2，2， eq \f(1,2) D．2， eq \f(1,2)，－2，－ eq \f(1,2)


B [由幂函数的性质，知选B.]


3．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)，x≥2，,（x－1）3，x＜2.))若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.


(0，1) [作出函数图象如图所示，则当0

]


4．比较下列各组数的大小


(1)2 eq \s\up8(－\f(1,3))， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up6(\f(1,3))；(2)0.20.5，0.40.3


[解] (1)由于幂函数y＝x eq \s\up8(－\f(1,3))在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上是减函数，


所以2 eq \s\up8(－\f(1,3))>3 eq \s\up8(－\f(1,3))，又3 eq \s\up8(－\f(1,3))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up8(－\f(1,3))，所以2 eq \s\up8(－\f(1,3))> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3))) eq \s\up6(\f(1,3)).


(2)由于指数函数y＝0.2x在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上是减函数，所以0.20.5<0.20.3


由于幂函数y＝x0.3在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上是增函数，所以0.20.3<0.40.3，所以0.20.5<


学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解幂函数的概念．(重点)


2．掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ eq \f(1,x)，y＝x eq \s\up6(\f(1,2))的图象与性质．(重点)


3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．(重点、难点)
1.借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养．


2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养．