高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数2 指数幂的运算性质一等奖教案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数2 指数幂的运算性质一等奖教案，共6页。

§2 指数幂的运算性质











有理数指数幂的运算性质


(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q).


(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q).


(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q).


有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．


思考：以下计算正确吗？若计算错误，应该如何计算


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))\s\up8(2))) eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2)) eq \s\up6(2× eq \f(1,2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2)) eq \s\up8(1)＝－2


提示：错误， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))\s\up8(2))) eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(22)) eq \s\up6(\f(1,2))＝21＝2.





1．用分数指数幂的形式表示a3· eq \r(a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0))的结果是( )


A．a eq \s\up6(\f(5,2)) B．a eq \s\up6(\f(7,2)) C.a4 D．a eq \s\up6(\f(3,2))


B [a3· eq \r(a)＝a3·a eq \s\up6(\f(1,2))＝a eq \s\up6(3＋ eq \f(1,2))＝a eq \s\up6(\f(7,2))．故选B.]


2．下列各式运算错误的是( )


A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8


B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3


C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6


D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18


C [(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6≠a6b6.]


3. eq \r(6\f(1,4))－ eq \r(3,3\f(3,8))＋ eq \r(3,0.125) 的值为________．


eq \f(3,2) [原式＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up8(2))－ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up8(3))＋ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up8(3))＝ eq \f(5,2)－ eq \f(3,2)＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(3,2).]


4．计算8 eq \s\up6(\f(1,4))× eq \r(4,2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,2)×\r(3))) eq \s\up8(6).


[解] 原式＝2 eq \s\up6(\f(3,4))×2 eq \s\up6(\f(1,4))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\s\up6(\f(1,3))×3\s\up6(\f(1,2))))6＝2＋22×33＝2＋4×27＝110.








对指数幂的运算性质的理解


【例1】 (1)下列函数中，满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))＝ eq \f(1,2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的是( )


A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝4x B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝4－x


C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2x D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2－x


(2)2 eq \s\up8(2\r(2))·5 eq \s\up8(\r(2))＝( )


A．20 eq \s\up8(\r(2)) B．20 eq \s\up8(2\r(2))


C．10 eq \s\up8(\r(2)) D．10 eq \s\up8(2\r(2))


(1)D (2)A [(1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋1))＝2－(x＋1)＝ eq \f(1,2)×2－x＝ eq \f(1,2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)).故选D.


[(2)2 eq \s\up8(2\r(2))·5 eq \s\up8(\r(2))＝4 eq \s\up8(\r(2))·5 eq \s\up8(\r(2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×5)) eq \s\up8(\r(2))＝20 eq \s\up8(\r(2)).]





1．根据需要，指数幂的运算性质可正用、逆用和变形使用．


2．运用幂的运算性质化简时，其底数必须大于零，对于底数小于零的，要先化为底数大于零的形式．如 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2))\s\up8(2))) eq \s\up6(\f(1,4))先化为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(22)) eq \s\up6(\f(1,4)).





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．下列运算结果中，正确的是( )


A．a2·a3＝a6 B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a2)) eq \s\up8(3)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a3)) eq \s\up8(2)


C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2)) eq \s\up8(3)＝a5 D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a2)) eq \s\up8(3)＝－a6


D [a2·a3＝a5，A错；


(－a2)3＝(－1)3×a2×3＝－a6，(－a3)2＝(－1)2×a3×2＝a6，B错；


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2)) eq \s\up8(3)＝a6，C错，故选D.]





根式的化简与求值


【例2】 计算下列各式：


(1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5))) eq \s\up8(0)＋2－2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4))) eq \s\up6(－ eq \f(1,2))－0.010.5；


(2)0.064 eq \s\up6(－ eq \f(1,3))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8))) eq \s\up8(0)＋[(－2)3] eq \s\up6(－ eq \f(4,3))＋16－0.75；


(3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up6(－ eq \f(1,2))· eq \f(（\r(4ab－1)）3,0.1－2（a3b－3）\s\up6(\f(1,2)))(a>0，b>0).


[解] (1)原式＝1＋ eq \f(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9))) eq \s\up6(\f(1,2))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100))) eq \s\up6(\f(1,2))＝1＋ eq \f(1,6)－ eq \f(1,10)＝ eq \f(16,15).


(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝ eq \f(5,2)－1＋ eq \f(1,16)＋ eq \f(1,8)＝ eq \f(27,16).


(3)原式＝ eq \f(4\s\up6(\f(1,2))×4\s\up6(\f(3,2)),100)·a eq \s\up6(\f(3,2))·a eq \s\up6(－ eq \f(3,2))·b eq \s\up6(－ eq \f(3,2))·b eq \s\up6(\f(3,2))＝ eq \f(4,25)a0b0＝ eq \f(4,25).





在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行化简．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．计算：


(1)0.027 eq \s\up6(\f(1,3))－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\f(1,4))) eq \s\up6(\f(1,2))＋256 eq \s\up6(\f(3,4))＋(2 eq \r(2)) eq \s\up6(\f(2,3))－3－1＋π0；


(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；


(3)2 eq \r(3,a)÷4 eq \r(6,a·b)·3 eq \r(b3).


[解] (1)原式＝(0.33) eq \s\up6(\f(1,3))－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up8(2))) eq \s\up6(\f(1,2))＋(44) eq \s\up6(\f(3,4))＋(2 eq \s\up6(\f(3,2))) eq \s\up6(\f(2,3))－ eq \f(1,3)＋1＝0.3－ eq \f(5,2)＋43＋2－ eq \f(1,3)＋1＝64 eq \f(7,15).


(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－ eq \f(1,3)a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ eq \f(1,3)ac－1＝－ eq \f(a,3c).


(3)原式＝2a eq \s\up6(\f(1,3))÷(4a eq \s\up6(\f(1,6))b eq \s\up6(\f(1,6)))·(3b eq \s\up6(\f(3,2)))＝ eq \f(1,2)a eq \s\up6( eq \f(1,3)－ eq \f(1,6))b eq \s\up6(－ eq \f(1,6))·3b eq \s\up6(\f(3,2))＝ eq \f(3,2)a eq \s\up6(\f(1,6))b eq \s\up6(\f(4,3)).





根据条件求值


【例3】 已知a eq \s\up6(\f(1,2))＋a eq \s\up6(－ eq \f(1,2))＝ eq \r(5)，求下列各式的值：


(1)a＋a－1；


(2)a2＋a－2.


[思路点拨] 从待求式如何用已知式表示入手，可考虑用整体代换思想以及幂的运算性质的逆用的技巧求解．


[解] (1)将a eq \s\up6(\f(1,2))＋a eq \s\up6(－ eq \f(1,2))＝ eq \r(5)两边平方，得a＋a－1＋2＝5，所以a＋a－1＝3.


(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，所以a2＋a－2＝7.





1．在本例条件不变的情况下，则a2－a－2＝______．


±3 eq \r(5) [令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，


∴y＝±3 eq \r(5)，即a2－a－2＝±3 eq \r(5).]


2．若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求 eq \f(a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2)),a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2)))值．


[解] eq \f(a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2)),a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2)))


＝ eq \f(（a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2))）2,（a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2))）（a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2))）)＝ eq \f(（a＋b）－2（ab）\s\up6(\f(1,2)),a－b).①


∵a＋b＝12，ab＝9，②


∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.


∵a＜b，∴a－b＝－6 eq \r(3).③


将②③代入①，得 eq \f(a\s\up6(\f(1,2))－b\s\up6(\f(1,2)),a\s\up6(\f(1,2))＋b\s\up6(\f(1,2)))＝ eq \f(12－2×9\s\up6(\f(1,2)),－6\r(3))＝－ eq \f(\r(3),3).


,














1．幂的运算中，结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能同时含有分母和负分数指数幂，若无特殊说明，结果一般用分数指数幂的形式表示．


2．对于条件求值问题，要弄清已知与未知的联系，采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)对任意实数a，am＋n＝aman.( )


(2)当a>0时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(am)) eq \s\up8(n)＝amn.( )


(3)当a≠0时， eq \f(am,an)＝am－n.( )


[答案] (1)× (2)√ (3)√


2．2 eq \s\up6( eq \r(3))·5 eq \s\up6( eq \r(3))＝( )


A．103 B．10 eq \s\up6( eq \r(3)) C．310 D．7 eq \s\up6( eq \r(3))


B [由实数指数幂的运算性质(ab)n＝anbn知，2 eq \s\up6( eq \r(3))·5 eq \s\up6( eq \r(3))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×5)) eq \s\up6( eq \r(3))＝10 eq \s\up6( eq \r(3)).]


3．已知x eq \s\up6(\f(1,2))＋x eq \s\up6(－ eq \f(1,2))＝5，则 eq \f(x2＋1,x)的值为( )


A．5 B．23 C．25 D．27


B [∵x eq \s\up6(\f(1,2))＋x eq \s\up6(－ eq \f(1,2))＝5，∴x＋2＋x－1＝25，


∴x＋x－1＝23.


∴ eq \f(x2＋1,x)＝x＋ eq \f(1,x)＝x＋x－1＝23.]


4．已知10x＝3，10y＝4，求10 eq \s\up6(\f(3x－y,2))的值．


[解] 10 eq \s\up6(\f(3x－y,2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(103x,10y))) eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10x))\s\up8(3),10y))) eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33,4))) eq \s\up6(\f(1,2))＝ eq \f(3\r(3),2).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握指数幂的运算性质．(重点)


2.能用指数幂的运算性质对代数式进行化简与求值．(难点)
通过指数幂的运算，培养数学运算素养．