高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质优秀第2课时2课时教案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质优秀第2课时2课时教案，共9页。教案主要包含了＋x)＝lg等内容，欢迎下载使用。

第2课时 对数函数的应用











1．函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间是( )


A.(－∞，－2) B．(－∞，1)


C.(1，＋∞) D．(4，＋∞)


D [由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.


设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．


要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．


∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，


∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).


故选D.]


2．函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x2＋1)＋x))是( )


A.奇函数 B．偶函数


C.既奇又偶函数 D．非奇非偶函数


A [f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg ( eq \r(x2＋1)－x)＋lg ( eq \r(x2＋1)＋x)＝lg [(x2＋1)－x2]＝lg 1＝0，


∴f(x)为奇函数，故选A.]


3．若y＝lg(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为________．


(2，＋∞) [由y＝lg(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3＞1，解得a＞2.]


4．求函数y＝lg eq \s\d2(\f(1,2))(6＋x＋2x2)的单调增区间．


[解] 由6＋x＋2x2>0得2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,4))) eq \s\up8(2)＋ eq \f(47,8)>0，即函数定义域是R.令u(x)＝2x2＋x＋6，


则函数u(x)＝2x2＋x＋6的单调增区间为(－ eq \f(1,4)，＋∞)，单调减区间为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4))).


又∵y＝lg eq \s\d2(\f(1,2))u在(0，＋∞)上是减函数，


∴函数y＝lg eq \s\d2(\f(1,2))(6＋x＋2x2)的单调增区间为(－∞，－ eq \f(1,4)].








对数函数图象的应用


【例1】 当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜lgax恒成立，则a的取值范围是( )


A.(0，1) B．(1，2)


C.(1，2] D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))


C [设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝lgax，


要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜lgax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1，2)上的图象在f2(x)＝lgax的下方即可．当0＜a＜1时，显然不成立．


当a＞1时，如图所示，要使在(1，2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝lgax的下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤lga2，lga2≥1，





∴1＜a≤2.]





1. 作函数图象的基本方法是列表描点法．另外，对形如y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))))的图象可先作出y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象在y轴右侧的部分，再作关于y轴对称的图象，即可得到y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))))的图象．y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))的图象可先作出y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的图象，然后x轴上方的不动，下方的关于x轴翻折上去即可得到y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))))的图象．


2. 如果只需作出函数的大致图象时，可采用图象变换．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．若实数a，b，c满足lga2＜lgb2＜lgc2，则下列关系中不可能成立的是( )


A.a＜b＜c B．b＜a＜c


C.c＜b＜a D．a＜c＜b


A [由题中条件绘出函数图象如图所示．





由图可知选A.]





对数函数性质的应用


角度一 解对数不等式


【例2】 若lga eq \f(3,4)<1，求a的取值范围．


[思路点拨] 把1化为同底的对数形式，利用对数函数的单调性求解．


[解] 因为lga eq \f(3,4)<1，即lga eq \f(3,4)

当a>1时，不等式成立；


当0

综上，实数a的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，＋∞)).





解对数不等式时的注意点


1．当不等式的一边是常数时，可利用m＝lgaam化为与另一侧同底的对数式．


2．当对数底数是字母时，需对底数进行讨论．


3．要遵循“定义域”优先原则，解对数不等式要注意防止定义域的扩大．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．(1)满足不等式lg3x<1的x的取值集合为________．


(2)若lga eq \f(2,5)<1，则a的取值范围为________．


(1){x|01或0

因此x的取值集合为{x|0

(2)lga eq \f(2,5)<1，即lga eq \f(2,5)

当a>1时，y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，所以a> eq \f(2,5)，即a>1时，原不等式总成立；


当0

由lga eq \f(2,5)

因此，a的取值范围为a>1或0

角度二 比较大小


【例3】 比较大小：


(1)lg0.31.8，lg0.32.7；


(2)lg67，lg76；


(3)lg3π，lg20.8；


(4)lg712，lg812.


[思路点拨] (1)底数相同，可利用单调性比较；(2)与1比较；(3)可分别与“1”和“0”比较大小；(4)可结合图象比较大小．


[解] (1)考查对数函数y＝lg0.3x，


∵0<0.3<1，∴它在(0，＋∞)上是减函数，


∴lg0.31.8>lg0.32.7；


(2)∵lg67>lg66＝1，lg76

∴lg67>lg76；


(3)∵lg3π>lg31＝0，lg20.8

∴lg3π>lg20.8；


(4)在同一坐标系中作出函数y＝lg7x与y＝lg8x的图象，由底数变化对图象位置的影响知：





lg712>lg812.





比较对数值大小的类型与方法：





提醒：(1)若底数为字母时，要分类讨论；(2)对一些复杂的对数式比较大小，还常用作差法、插值法等．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


3．已知a＝lg52，b＝lg0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )


A. a

C. b

A [a＝lg52＝2，0.51<0.50.2<0.50，故 eq \f(1,2)

所以a

角度三 求复合函数的单调增区间


【例4】 求函数y＝lg eq \s\d2(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－x＋1))的单调增区间．


[解] 因为x2－x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2))) eq \s\up8(2)＋ eq \f(3,4)>0，故函数的定义域为R.


令u(x)＝x2－x＋1，则其单调增区间为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))，单调减区间为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).


又∵y＝lg eq \s\d2(\f(1,2))u在(0，＋∞)上是减函数，∴函数y＝lg eq \s\d2(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－x＋1)))的单调增区间为(－∞， eq \f(1,2)].





函数y＝lgaf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，且a≠1))的单调性


(1)函数y＝lgaf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0，且a≠1))的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0

(2)它由两个函数y＝lgau，u＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))复合而成，因此可利用“同增异减”来研究，需要注意的是必须在定义域内求解．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


4．求函数y＝lg eq \s\d2(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－2x－3))的单调增区间．


[解] 由x2－2x－3>0，得函数的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－1))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，＋∞)).


令u eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，，当x∈(－∞，－1)时u(x)是减函数，当x∈(3，＋∞)时，u(x)是增函数．


又∵y＝lg eq \s\d2(\f(1,2))u在(0，＋∞)上是减函数，∴函数y＝lg eq \s\d2(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－2x－3))的单调增区间为(－∞，－1).





对数函数的实际应用


【例5】 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 eq \f(1,3)，问至少过滤几次才能使产品达到市场要求？


[解] 设过滤n次，依题意，得 eq \f(2,100)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up8(n)≤ eq \f(1,1000)即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up8(n)≤ eq \f(1,20).则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故n≥ eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，


考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．





函数f(x)＝lg2x是最基本的对数函数．它在(0，＋∞)上是单调递增的．利用单调性可以解不等式，求函数值域，比较对数值的大小．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


5．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽________次(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)


8 [设至少抽n次，由 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up8(n)＜0.1%，n lg eq \f(2,5)＜lg 10－3＝－3，n(lg 2－lg 5)＜－3，n＞ eq \f(3,1－2lg 2)≈7.5，取n为8.]








1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是要注意其定义域．


2．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝lgaf(x)型；另一类是内函数为对数函数，即y＝f(lgax)型．对于y＝lgaf(x)型的函数的单调性，有以下结论：函数y＝lgaf(x)的单调性与函数u＝f(x)(f(x)＞0)的单调性在a＞1时相同，在0＜a＜1时相反．


研究y＝f(lgax)型复合函数的单调性，一般用复合法判定即可，即令t＝lgax，则只需研究t＝lgax及y＝f(t)的单调性即可．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)y＝lg eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))的值域是R.( )


(2)当a>1时，y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的单调区间与y＝lgaf eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的单调区间一定相同．( )


(3)函数y＝lg2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax2＋bx＋c))的定义域与值域不可能都是R.( )


[答案] (1)√ (2)× (3)√


2．已知f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（3a－1）x＋4a，x＜1，,lgax，x≥1))是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )


A.(0，1)B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))


C. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)，\f(1,3))) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)，1))


C [∵f(x)＝lgax(x≥1)是减函数，


∴0＜a＜1且f(1)＝0.


∵f(x)＝(3a－1)x＋4a(x＜1)为减函数，


∴3a－1＜0.∴a＜ eq \f(1,3).


又∵f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（3a－1）x＋4a，x＜1，,lgax，x≥1))是(－∞，＋∞)上的减函数，


∴(3a－1)×1＋4a≥0.


∴a≥ eq \f(1,7).


∴a∈[ eq \f(1,7)， eq \f(1,3)).]


3．世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是 ________(参考数据：lg 2≈0.301，100.0075≈1.017).


1．7% [设原来人口为a，每年人口平均增长率是x，则a(1＋x)40＝2a，(1＋x)40＝2，


两边取常用对数得：40lg (1＋x)＝lg 2，lg (1＋x)＝ eq \f(lg 2,40)＝ eq \f(0.3010,40)≈0.0075，


则1＋x＝100.0075≈1.017，x＝0.017＝1.7%.]


4．已知函数y＝(lg2x－2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg4x－\f(1,2)))，2≤x≤8.


(1)令t＝lg2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；


(2)求该函数的值域．


[解] (1)y＝(lg2x－2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg4x－\f(1,2)))＝(lg2x－2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg2x－\f(1,2)))，


令t＝lg2x，得


y＝ eq \f(1,2)(t－2)(t－1)＝ eq \f(1,2)t2－ eq \f(3,2)t＋1，又2≤x≤8，


∴1＝lg22≤lg2x≤lg28＝3，即1≤t≤3.


(2)由(1)得y＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2))) eq \s\up8(2)－ eq \f(1,8)，


1≤t≤3，结合数轴可得，


当t＝ eq \f(3,2)时，ymin＝－ eq \f(1,8)；


当t＝3时，ymax＝1，


∴－ eq \f(1,8)≤y≤1，


即函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,8)，1)).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握对数函数的性质及应用．(难点)


2．在解决简单实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型. (重点)
借助对数函数图象及性质的应用，培养逻辑推理及数学运算素养．