北师大版 (2019)必修 第一册第六章 统计本章综合与测试精品教案

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[巩固层·知识整合]





[提升层·题型探究]





随机抽样方法的应用


【例1】 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，干事20人，上级机关为了了解机关人员对政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取？


[解] 用分层随机抽样抽取．


∵20∶100＝1∶5，∴ eq \f(10,5)＝2， eq \f(70,5)＝14， eq \f(20,5)＝4，


即从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，干事中抽取4人．


∵副处级以上干部与干事人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部采用00，01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．











eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为( )


A．193 B．192 C．191 D．190


B [1 000× eq \f(n,200＋1 200＋1 000)＝80，求得n＝192.]





用样本估计总体


【例2】 某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：


[107，109)3株；[109，111)9株；[111，113)13株；


[113，115)16株；[115，117)26株；[117，119)20株；


[119，121)7株；[121，123)4株；[123，125]2株．


(1)列出频率分布表；


(2)画出频率分布直方图；


(3)据上述图表，估计数据在[109，121)范围内的可能性是百分之几？


[解]


(2)频率分布直方图如下：





(3)由上述图表可知数据落在[109，121)范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109，121)范围内的可能性是91%.





1．在本例中由得到的频率分布直方图估计树苗的高度(cm)的众数和中位数．


[解] 众数是频率分布直方图中最高小矩形的底边的中点，即估计众数为116，


因为前4组数据的累计频率是0.41，前5组数据的累计频率是0.67，所以中位数在[115，117)内，设中位数为x，则0.41＋2(x－115)＝0.5，解得x＝115.045，即中位数的估计值为115.045.


2．在本例中由得到的频率分布直方图估计树苗的高度(cm)的平均数．


[解] 由频率分布直方图可得树苗的高度(cm)的平均数的估计值为


0．03×108＋0.09×110＋0.13×112＋0.16×114＋0.26×116＋0.20×118＋0.07×120＋0.04×122＋0.02×124＝115.46(cm).





用样本估计总体分布的方法


(1)用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据进行列表、作图处理，作频率分布表与频率分布直方图时要注意其方法步骤．


(2)借助图表，可以把抽样获得的庞杂数据变得直观，凸显其中的规律，便于信息的提取和交流．








用样本的数字特征估计总体


【例3】 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：


甲 82 81 79 78 95 88 93 84


乙 92 95 80 75 83 80 90 85


(1)求甲成绩的80%分位数；


(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．


[解] (1)把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：


78 79 81 82 84 88 93 95


因为一共有8个数据，所以8×80%＝6.4，不是整数，所以甲成绩的80%分位数是第7个数据93.


(2)x甲＝ eq \f(1,8)(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，


x乙＝ eq \f(1,8)(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.


s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲))＝ eq \f(1,8)[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，


s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(乙))＝ eq \f(1,8)[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，


∵ eq \x\t(x)甲＝ eq \x\t(x)乙，s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(甲))




用样本的数字特征估计总体的方法


为了从整体上更好地把握总体的规律，我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体相应的数字特征作出估计．众数就是样本数据中出现次数最多的那个值；中位数就是把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，处于中间位置的数，如果数据的个数是偶数，中间两个的数据的平均数；平均数就是所有样本数据的平均值，用 eq \x\t(x)表示；标准差是反映样本数据离散程度大小的最常用统计量，其计算公式是


s＝ eq \r(\f(1,n)[ （x1－\x\t(x)） 2＋（x2－\x\t(x)）2＋…＋（xn－\x\t(x)）2]).





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )


A.3 B． eq \f(2\r(10),5) C．3 D． eq \f(8,5)


B [∵ eq \x\t(x)＝ eq \f(100＋40＋90＋60＋10,100)＝3，


∴s2＝ eq \f(1,n)[(x1－ eq \x\t(x))2＋(x2－ eq \x\t(x))2＋…＋(xn－ eq \x\t(x))2]


＝ eq \f(1,100)(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝ eq \f(160,100)＝ eq \f(8,5)，


∴s＝ eq \f(2\r(10),5).]


分组
频数
频率
累积频率
[107，109)
3
0.03
0.03
[109，111)
9
0.09
0.12
[111，113)
13
0.13
0.25
[113，115)
16
0.16
0.41
[115，117)
26
0.26
0.67
[117，119)
20
0.20
0.87
[119，121)
7
0.07
0.94
[121，123)
4
0.04
0.98
[123，125]
2
0.02
1.00
合计
100
1.00
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10