高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 简单随机抽样优质课教学设计

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§2 抽样的基本方法


2.1 简单随机抽样








1．简单随机抽样的概念


(1)定义：一般地，从N个不同个体构成的总体中，逐个不放回地抽取n个个体组成样本，并且每次抽取时总体内的每个个体被抽到的可能性相等，这样的抽取方法叫作简单随机抽样．


(2)实施方法：简单随机抽样的实施方法通常采用抽签法和随机数法．


2．抽签法


(1)定义：先把总体中的N个个体编号，并把编号依次分别写在形状、大小相同的签上(签可以是纸条、卡片或小球等)，然后将这些号签放在同一个不透明的箱子里摇均匀．每次随机地从中抽取一个，然后将箱中余下的号签摇均匀，再进行下一次抽取．如此下去，直至抽到预先设定的样本容量．


(2)抽签法的具体步骤：


①给总体中的每个个体编号；②抽签．


3．随机数法


(1)定义：先把总体中的N个个体依次编码为0，1，2，…，N－1，然后利用工具(转盘或摸球、随机数表、科学计算器或计算机)产生0，1，2，…，N－1中的随机数，产生的随机数是几，就选第几号个体，直至选到预先设定的样本容量．


(2)利用随机数表进行抽样的具体步骤：


①给总体中的每个个体编号；


②在随机数表中随机抽取某行某列作为抽样的起点，并规定读取方法；


③依次从随机数表中抽取样本号码，凡是抽到编号范围内的号码，就是样本的号码，并剔除相同的号码，直至抽满为止．


思考：1.某同学说：“随机数表只有一张，并且读数时只能按照从左向右的顺序读取，否则产生的随机样本就不同了，对总体的估计就不准确了．”你认为这种说法正确吗？


提示：不正确，随机数表的产生是随机的，读数的顺序也是随机的，不同的样本对总体的估计相差并不大．


2．抽签法中确保样本代表性的关键是什么？


提示：搅拌均匀是为了使每个个体进入样本的可能性相等，保证样本真实反映总体特征．





1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性( )


A．与第几次抽样有关，第1次的可能性要大些


B．与第几次抽样无关，每次的可能性都相等


C．与第几次抽样有关，最后1次的可能性要大些


D．以上都不正确


B [根据简单随机抽样的定义可知，某一个个体被抽中的可能性与第几次抽样无关，每次的可能性都相等．]


2．某班50名学生中有30名男生，20名女生，用简单随机抽样抽取1名学生参加某项活动，则抽到女生的可能性为( )


A．0.4 B．0.5 C．0.6 D． eq \f(2,3)


A [在简单随机抽样中，每个个体被抽到机会相等，即 eq \f(20,50)＝0.4.]


3．下面抽样方法是简单随机抽样的是( )


A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本


B．可口可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查


C．某连队从200名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动


D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编好号，对编号随机抽取)


D [选项A中的总体不是有限个，所以不是简单随机抽样；选项B中的抽样不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样，选项C中不是抽样．]








简单随机抽样的判断


【例1】 下列抽样中，简单随机抽样的个数是( )


①一位儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件；


②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；


③某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；


④一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．


A．0 B．1 C．2 D．3


B [根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件它不是“逐个”抽取．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③不是简单随机抽样．因为5名同学是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．④是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．综上，只有④是简单随机抽样．]





简单随机抽样必须具备下列特点：


(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；


(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的；


(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样．


如果三个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


1．为了进一步严厉打击交通违法，交警队在某一路口随机抽查司机是否酒驾，这种抽查是( )


A．简单随机抽样 B．抽签法


C．随机数法 D．以上都不对


D [由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样．]





抽签法的应用


【例2】 为迎接新生入校，现从报名的20名志愿者中选取5人组成志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．


[解] (1)将20名志愿者编号，号码分别是01，02，…，20；


(2)将号码分别写在20张大小、形状都相同的纸条上，揉成团儿，制成号签；


(3)将所得号签放在一个不透明的袋子中，并搅拌均匀；


(4)从袋子中依次不放回地抽取5个号签，并记录下上面的编号；


(5)所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．





1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．


2．应用抽签法时应注意以下几点：


(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；


(2)号签要求大小、形状完全相同；


(3)号签要均匀搅拌；


(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


2．从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．


[解] 第一步，将20架钢琴编号，号码是01，02，…，20.


第二步，将号码分别写在相同的纸条上，揉成团，制成号签．


第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．


第四步，从袋子中逐个不放回地抽取5个号签，并记录上面的编号．


第五步，与所得号码对应的5架钢琴就是要进行质量检查的对象．





随机数法


[探究问题]


1．某工厂有2 000名工人，从中选取20人参加职工代表大会，采用简单随机抽样方法进行抽样，是用抽签法还是随机数法？为什么？


提示：采用随机数法，因为工人人数较多，制作号签比较麻烦，所以选用随机数法．


2．某工厂的质检人员采用随机数法对生产的100件产品进行检查，若抽取10件进行检查，应如何对100件产品编号？


提示：根据随机数表的要求，编号时数字位数必须相同，只有这样才能随机等可能抽样．所以可对这100件产品编号为：001，002，003，…，100，或00，01，02，…，99.


【例3】 假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，应如何操作？


下面为随机数表第7行至第9行


3211 4919 7306 4916 7677(第7行)


2748 6198 7164 4148 7086(第8行)


7477 0111 1630 2404 2979(第9行)


[解] 第一步，将500袋牛奶编号为000，001，…，499.


第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数(例如选出第8行第2列的数7).


第三步，从选定的数7开始依次向右三位三位读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等)，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，重复的只记一次，直到取满60个号码为止，就得到一个容量为60的样本．





1．在本例中，如果从以下随机数表第7行第4列的数2开始，从左往右读数，则依次抽到的第4个个体的编号是________(下面摘录了随机数表第6行至第8行各数).


16 22 77 94 39 49 54 53 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64(第6行)


86 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 72 06 50 25 83 42 16 33 76(第7行)


63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79(第8行)


206 [找到第7行第4列的数开始向右读，第1个符合条件的数是217，第2个数533，不成立，第3个数157，第4个数245，这样依次读出结果，合适的数是217，157，245，217，206，其中217与前面重复，舍掉．故第4个数是206.]


2．在本例中，对抽取的60袋牛奶进行检验，其中有3袋牛奶为不合格产品，据此试估计在500袋牛奶中，大约有多少袋牛奶为不合格产品？


[解] 由题意可知，在500袋牛奶中任意一袋牛奶为不合格产品的可能性为 eq \f(3,60)＝ eq \f(1,20)，所以在500袋牛奶中，不合格产品的数量大约为500× eq \f(1,20)＝25.





随机数法的注意点


(1)当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数法抽取样本．


(2)用随机数法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数．


(3)将总体中的个体进行编号时，可以从0开始，也可以从1开始．


(4)注意从随机数表中抽取编号时应遵循的规则．











1．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．


2．抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量较大时，费时、费力，并且标号的签不易搅拌均匀，这样会导致抽样不公平；随机数法的优点也是简单易行，缺点是当总体容量大时，编号不方便．两种方法只适合总体容量较少的抽样类型．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)简单随机抽样也可以是有放回的抽样．( )


(2)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等．( )


(3)采用随机数法抽取样本时，个体编号的位数必须相同．( )


[提示] (1)错误．简单随机抽样是不放回抽样．


(2)正确．


(3)正确．


[答案] (1)× (2)√ (3)√


2．抽签法确保样本代表性的关键是( )


A．制签 B．搅拌均匀


C．逐一抽取 D．抽取不放回


B [若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀．]


3．使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是( )


A．抽签法 B．随机数法


C．随机抽样法 D．以上都不对


B [由于总体相对较大，样本容量较小，故采用随机数法较为合适．]


4．在总体为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N的值为________．


120 [据题意 eq \f(30,N)＝0.25，故N＝120.]学 习 目 标
核 心 素 养
1．通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程．(重点)


2．掌握两种简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．(重点、难点)


3．在简单的实际情境中，能根据实际问题的特点，选择恰当的抽样方法解决问题．(重点、易混点)
1. 通过对简单随机抽样概念的学习，培养数学抽象素养．


2．借助简单随机抽样过程的实施，培养数据分析素养．