北师大版 (2019)必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解获奖教学设计及反思

这是一份北师大版 (2019)必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解获奖教学设计及反思，共7页。

1.2 利用二分法求方程的近似解











1．二分法的概念


(1)满足精度ε的近似解：设 eq \(\s\up4(∧),\s\d3(x))是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－ eq \(\s\up4(∧),\s\d3(x))|＜ε，就称x0是满足精度ε的近似解．


(2)二分法的定义：对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．


2．二分法求方程近似解的步骤


利用二分法求方程实数解的过程可以用下图表示出来．





其中：


“初始区间”是一个两端点函数值一正一负的区间；


新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值一正一负．


思考：1.所有函数的零点都可以用二分法求出吗？


提示：不是，例如函数y＝(x＋ eq \r(2))2的零点－ eq \r(2)就无法用二分法求出．


2．“精确到0.1”与“精度为0.1”一样吗？


提示：不一样．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精度为0.1”指零点近似值所在区间(a，b)满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间(1.25，1.34).若精度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.





1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )





A [只有选项A中的函数有变号零点，所以能用二分法求其零点的近似值．]


2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )


A．[－2，－1] B．[－1，0]


C．[0，1] D．[1，2]


A [∵f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0，f(－2)·f(－1)<0，故可取[－2，－1]作为初始区间，用二分法逐次计算．]


3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．


(0，0.5) f(0.25) [因为f(0)<0，f(0.5)>0，


所以f(0)·f(0.5)<0，故f(x)的一个零点x0∈(0，0.5)，利用二分法，则第二次应计算f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0＋0.5,2)))＝f(0.25).]








二分法的概念理解


【例1】 下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )





A [按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B、C、D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.]





判断函数能否用二分法求零点的依据


判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合．





eq \a\vs4\al([跟进训练])


下列函数中能用二分法求零点的为( )





A B C D


B [函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合．]





利用二分法求方程的近似解


[探究问题]


1．用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？


提示：前提条件：①f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断；②在区间[a，b]端点的函数值f(a)·f(b)<0.


2．用二分法求函数零点的近似解的关键是什么？


提示：用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．


【例2】 求方程x3－3＝0的一个近似解．(精度为0.02)


[思路点拨] 利用二分法求解．


[解] 考查函数f(x)＝x3－3，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在的区间．


经计算f(1)＝－2<0，f(2)＝5＞0，所以方程x3－3＝0在区间(1，2)内有解．


取区间(1，2)的中点1.5，f(1.5)＝0.375＞0，所以方程x3－3＝0在区间(1，1.5)内有解．


如此下去，得到方程x3－3＝0的解所在区间(如下表)：


至此可以看出区间[1.437 5，1.453125]的区间长度小于0.02，而方程的近似解就在这个区间内，因此区间内任意一个数都是满足精度的近似解，例如，1.45就是方程x3－3＝0精度为0.02的一个近似解．





1．本例变为：根据下表，用二分法求函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1，2)上的零点的近似值(精确度0.1)是________．


1.5 [由表中数据知f(1.5)·f(2)<0，f(1.5)·f(1.562 5)<0，所以函数零点在区间(1.5，1.562 5)上，又因为|1.562 5－1.5|＝0.062 5<0.1，所以函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(1，2)上的零点的近似值可以取1.5.]


2．如何求 eq \r(3,2)的近似值？(精度为0.01)


[解] 设x＝ eq \r(3,2)，则x3＝2，即x3－2＝0，


令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是 eq \r(3,2)的近似值，以下用二分法求其零点．


由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间(1，2)为计算的初始区间．


用二分法逐次计算，列表如下：


由于|1.265 625－1.257 812 5|＝0.007 812 5<0.01，所以1.265 625是函数的零点的近似值，即 eq \r(3,2)的近似值是1.265 625.





1．用二分法求方程近似解应遵循的原则


(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成).


(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．


2．二分法求方程近似解步骤的记忆口诀


定区间，找中点，中值计算两边看．


同号丢，异号算，零点落在异号间．


重复做，何时止，利用精度把关口．











1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．


2．二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值反号．


3．求方程解的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．( )


(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．( )


(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间．( )


[提示] (1)错误．如函数f(x)＝x－2用二分法求出的解就是精确解．


(2)错误．对于函数f(x)＝|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)f(b)<0，所以不能用二分法求其零点．


(3)错误. 函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内．


[答案] (1)× (2)× (3)×


2．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：


那么函数f(x)一定存在零点的区间是( )


A.(0，1) B．(1，2)


C.(2，3) D．(3，＋∞)


B [因为f(1)＞0，f(2)＜0，由零点的存在定理可知f(x)一定存在零点的区间是(1，2).]


3．定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))＝0时，则函数f(x)的零点是( )


A.(a，b)外的点


B.x＝ eq \f(a＋b,2)


C.区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋b,2)))或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，b))内的任意一个实数


D.x＝a或b


B [因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))＝0，所以x＝ eq \f(a＋b,2)就是函数f(x)的零点．]


4．用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1，1.5)内的一个零点．(精度为0.1)


[解] f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，f(1.25)＝－0.296 875<0，


故零点在(1.25，1.5)内，此时|1.5－1.25|＝0.25>0.1；


f(1.375)>0，所以零点在区间(1.25，1.375)内，


此时|1.375－1.25|＝0.125>0.1；


又f(1.312 5)<0，所以零点在区间(1.312 5，1.375)内，此时|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，


故f(x)＝x3－x－1在区间(1，1.5)内的一个零点可取x＝1.32.学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解二分法的原理及其适用条件．(重点)


2．掌握二分法的实施步骤．(重点)


3．体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．(重点、难点)
1．通过对二分法概念的学习，培养数学抽象素养．


2．通过利用二分法求函数零点的近似解，培养数学运算素养．
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
区间长度
第1次
1
－2
2
5
1
第2次
1
－2
1.5
0.375
0.5
第3次
1.25
－1.047
1.5
0.375
0.25
第4次
1.375
－0.400
1.5
0.375
0.125
第5次
1.437 5
－0.030
1.5
0.375
0.062 5
第6次
1.437 5
－0.030
1.468 75
0.168
0.031 25
第7次
1.437 5
－0.030
1.453 1 25
0.068 4
0.015 625
f(1)＝－1
f(2)＝3
f(1.5)＝－0.125
f(1.75)＝1.109 375
f(1.625)＝0.416 015 625
f(1.562 5)＝0.127 197 265
区间
中点的值
中点函数值
(1，2)
1.5
1.375
(1，1.5)
1.25
－0.046 9
(1.25，1.5)
1.375
0.599 6
(1.25，1.375)
1.312 5
0.261 0
(1.25，1.312 5)
1.281 25
0.103 3
(1.25，1.281 25)
1.265 625
0.027 3
(1.25，1.265 625)
1.257 812 5
－0.010 0
x
0
1
2
3
f(x)
3.1
0.1
－0.9
－3