数学人教版第二十二章 二次函数综合与测试习题

这是一份数学人教版第二十二章 二次函数综合与测试习题，共19页。试卷主要包含了当函数y＝，抛物线y＝，如图，一段抛物线，函数y＝ax2﹣1与y＝ax，设函数y＝kx2+等内容，欢迎下载使用。
时间：100分钟 满分：100分


班级：_______ 姓名：________得分:_______





一．选择题（每题3分，共30分）


1．二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（ ）


A．x＜2B．x＞2C．x＜﹣2D．x＞﹣2


2．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（ ）


A．抛物线的开口方向向上


B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1


C．抛物线对称轴左侧部分是下降的


D．抛物线顶点到x轴的距离是2


3．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（ ）


A．a＝1B．a＝﹣1C．a≠﹣1D．a≠1


4．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A、D，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形，则点B的坐标是（ ）





A．（﹣4，﹣3）B．（﹣3，﹣3）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣4）


5．抛物线y＝（x﹣1）2+3关于x轴对称的抛物线的解析式是（ ）


A．y＝﹣（x﹣1）2+3B．y＝（x+1）2+3


C．y＝（x﹣1）2﹣3D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3


6．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3…如此变换进行下去，若点P（21，m）在这种连续变换的图象上，则m的值为（ ）





A．2B．﹣2C．﹣3D．3


7．函数y＝ax2﹣1与y＝ax（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）


A．B．C．D．


8．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为


（ ）





A．33°B．36°C．42°D．49°


9．设函数y＝kx2+（4k+3）x+1（k＜0），若当x＜m时，y随着x的增大而增大，则m的值可以是（ ）


A．1B．0C．﹣1D．﹣2


10．已知二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象的对称轴为直线x＝1，开口向下，且与x轴的其中一个交点是（3，0）．下列结论：


①4a+2b﹣c＞0；


②a﹣b﹣c＜0；


③c＝3a；


④5a+b﹣2c＞0．


正确的个数有（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


二．填空题（每题4分，共20分）


11．二次函数y＝x2﹣2x+1在3≤x≤5范围内的最小值为 ．


12．已知抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴的一个交点坐标为（2，0），则一元二次方程ax2+2ax+c＝0的根为 ．


13．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是8m，则所围成矩形ABCD的最大面积是 ．





14．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx的图象与二次函数y＝﹣x2﹣x+4的图象交于P点（P在第二象限），经过P点与x轴垂直的直线l与一次函数y＝x+4的图象交于Q点，当PQ＝时，则k的值为 ．





15．如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0），对称轴x＝1，则下列三个结论：①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③am2+bm+a≥0．正确的结论为 （填序号）．








三．解答题（每题10分，共50分）


16．已知，点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上．


（1）观察y1，y2图象的顶点位置，发现它们均在某个函数图象上，请写出这个函数表达式．


（2）若k＝3，当﹣3＜x＜3时，请比较y1，y2的大小．


（3）求证：m+n＞．




















17．如图，西游乐园景区内有一块矩形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花，设改造后观花道的面积为ym2．


（1）求y与x的函数关系式；


（2）若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；


（3）若要求0.6≤x≤1，求改造后油菜花地所占面积的最大值．








18．某网店专售一款电动牙刷，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y（支）与销售单价x（元/支）之间存在如图所示的关系．


（1）请求出y与x的函数关系式；


（2）该款电动牙刷销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？


（3）近期武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元，如何确定该款电动牙刷的售单价？








19．对于给定函数y＝a1x2+b1x+c1（其中a1、b1、c1为常数，且a1≠0），则称函数y＝（a1＝a2，b1+b2＝0，c1+c2＝0）为函数y＝a1x2+b1x+c1（其中a1，b1，c1为常数，且a1≠0）的“相关函数”，此“相关函数”的图象记为G．


（1）已知函数y＝﹣x2+4x+2．


①直接写出这个函数的“相关函数”；


②若点P（a，1）在“相关函数”的图象上，求a的值；


③若直线y＝m与图象G恰好有两个公共点，直接写出m的取值范围；


（2）设函数y＝﹣x2+nx+1（n＞0）的相关函数的图象G在﹣4≤x≤2上的最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出n的取值范围．

















20．抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（﹣1，0），一次函数y＝x+k的图象经过点B、C．


（1）试求二次函数及一次函数的解析式；


（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若S△CPD＝3S△CQD，求点P的坐标；


（3）如图2，点E为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EG⊥x轴于点G，交直线BC于点F，当EF+CF的值最大时，求点E的坐标．








参考答案


一．选择题


1．解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，


∴当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大，


∴若y随x的增大而减小，则x的取值范围是x＞2，


故选：B．


2．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，


∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），


在对称轴左侧，y随x的增大而增大，


∴A、B、C不正确；


∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，


∴D正确，


故选：D．


3．解：由题意得：a﹣1≠0，


解得：a≠1，


故选：D．


4．解：令y＝0，可得x＝3或x＝﹣1，


∴A点坐标为（﹣1，0）；D点坐标为（3，0）；


令x＝0，则y＝﹣3，


∴C点坐标为（0，﹣3），


∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AD＝BC，AD∥BC，


∵AD＝BC＝4，


∴B点的坐标为（﹣4，﹣3），


故选：A．


5．解：∵y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），


∴关于x轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，


∴所求抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣1）2﹣3．


故选：D．


6．解：∵y＝﹣x（x﹣4）（0≤x≤4）记为C1，它与x轴交于两点O，A1，


∴点A1（4，0），


∴OA1＝4，


∵OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，


∴OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝4，


∵点P（21，m）在这种连续变换的图象上，


∴x＝21和x＝1时的函数值互为相反数，


∴﹣m＝﹣1×（1﹣4）＝3，


∴m＝﹣3，


故选：C．


7．解：由函数y＝ax2﹣1可知抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故C、D错误；


A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故A错误；


B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，故B正确；


故选：B．


8．解：由图象可知，物线开口向上，


从18和72两个点可以看出对称抽x＜


所以最终对称抽的范围是36＜x＜45


即对称轴位于直线x＝36与直线x＝45之间．


所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为42°．


故选：C．


9．解：∵k＜0，


∴函数y＝kx2+（4k+3）x+1的图象在对称轴直线x＝﹣的左侧，y随x的增大而增大．


∵当x＜m时，y随着x的增大而增大


∴m≤﹣，


而当k＜0时，﹣＝﹣2﹣＞﹣2，


所以m≤﹣2，


故选：D．


10．解：∵（3，0）关于直线x＝1的对称点坐标为（﹣1，0）


∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），


∵抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），


∴a﹣b﹣c＝0，故②错误；


∵﹣＝1，


∴b＝﹣2a


∴a+2a﹣c＝0，


∴c＝3a，故③正确；


∵b＝﹣2a，c＝3a，a＜0，


∴4a+2b﹣c＝4a﹣4a﹣3a＝﹣3a＞0，即4a+2b﹣c＞0，故①正确；


∵4a+2b﹣c＞0，a﹣b﹣c＝0，


两式相加：5a+b﹣2c＞0，故④正确，


故选：C．


二．填空题（共5小题）


11．解：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，


所以，该二次函数图象的对称轴是x＝1，且在3≤x≤5范围内y随x的增大而增大，


∴当x＝3时，y最小＝（3﹣1）2＝4．


故答案为4．


12．解：函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，


一个交点坐标为（2，0），则另外一个交点坐标为：（﹣4，0），


故答案为：x1＝2、x2＝﹣4．


13．解：设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，矩形的面积为：


S矩形ABCD＝x（8﹣x）


＝﹣x2+8x


＝﹣（x﹣4）2+16．


∵二次项系数为﹣1＜0，


∴当x＝4时，S矩形ABCD有最大值，最大值为16．


故答案为：16．


14．解：设P（m，﹣m2﹣m+4），则Q（m，m+4），


由题意：﹣m2﹣m+4﹣m﹣4＝，


解得m＝﹣1或﹣3，


∴P（﹣1，）或（﹣3，），


∵点P在直线y＝kx上，


∴k＝﹣或﹣，


故答案为﹣或﹣．


15．解：①观察图象可知：


a＞0，b＜0，c＜0，


∴abc＞0．


所以①错误；


②观察图象可知：


当x＝3时，y＞0，


即9a+3b+c＞0，∵a＞0，


∴10a+3b+c＞0．


所以②正确；


③因为对称轴x＝1，


所以b＝﹣2a，


所以am2+bm+a


＝am2﹣2am+a


＝a（m﹣1）2≥0．


所以am2+bm+a≥0．


所以③正确．


故答案为②③．


三．解答题（共5小题）


16．解：（1）∵函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0），y2＝（x+k）2﹣k，


∴函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象的顶点坐标为（k，k），函数y2＝（x+k）2﹣k图象的顶点坐标为（﹣k，﹣k），


∴它们均在函数y＝x的图象上；


（2）当k＝3时，y1＝（x﹣3）2+3，y2＝（x+3）2﹣3，


令y1＝y2，


∴（x﹣3）2+3＝（x+3）2﹣3，


解得x＝，


∴它们图象的交点的橫坐标为，


∵a＝1＞0，两图象开口向上，


∴当﹣3＜x≤时，y1＞y2，


当＜x＜3时，y1＜y2．


（3）证明：∵点A（m，n）在函数y1＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y2＝（x+k）2﹣k图象上，


∴，


解得：，


∵k2≥0，


∴m+n＝．


17．解：（1）y＝6×8﹣2××（6﹣x）（8﹣x）


＝﹣x2+14x（0＜x＜6）；





（2）当y＝13时，﹣x2+14x＝13，


解得x＝1或x＝13，


∵0＜x＜6，


∴x＝1；





（3）设油菜花地占地面积为w，


则w＝48﹣y＝x2﹣14x+48


＝（x﹣7）2﹣1，


∴当x＜7时，w随x的增大而减小，


又∵0.6≤x≤1，


∴当x＝0.6时，w取得最大值，最大值为39.96，


答：改造后油菜花地所占面积的最大值为39.96m2．


18．解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，


将（30，100），（35，50）代入 y＝kx+b，


得，


解得，


∴y与x的函数关系式为 y＝﹣10x+400；





（2）设该款电动牙刷每天的销售利润为w元，


由题意得 w＝（x﹣20）•y


＝（x﹣20）（﹣10x+400）


＝﹣10x2+600x﹣8000


＝﹣10（x﹣30）2+1000，


∵﹣10＜0，


∴当x＝30时，w有最大值，w最大值为1000．


答：该款电动牙刷销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为1000 元；





（3）设捐款后每天剩余利润为 z 元，


由题意可得 z＝﹣10x2+600x﹣8000﹣200


＝﹣10x2+600x﹣8200，


令z＝550，即﹣10x2+600x﹣8200＝550，


﹣10（x2﹣60x+900）＝﹣250，


x2﹣60x+900＝25，


解得x1＝25，x2＝35，


画出每天剩余利润z关于销售单价x的函数关系图象如解图，





由图象可得：当该款电动牙刷的销售单价每支不低于25元，且不高于35元时，可保证捐款后每天剩余利润不低于550 元．


19．解：（1）①由“相关函数”得出y＝；


②∵点P（a，1）在“相关函数”的图象上，


当a≥0时，﹣a2+4a+2＝1，


解得，a＝2+或a＝2﹣（舍），


当a＜0时，﹣a2﹣4a﹣2＝1，


解得，a＝﹣1或a＝﹣3，


即：a的值为﹣3或﹣1或2+；





③如图1，


由①知，y＝，


当直线y＝m与图象G恰好有两个公共点，


由图象知，m≤﹣2或2＜m＜6；





（2）由题意知，函数y＝﹣x2+nx+1（n＞0）的“相关函数”为y＝，


而n2+1＞n2﹣1，


①当n2﹣1＞1时，如图2，


∴n＜﹣2（舍）或n＞2，


Ⅰ、当n≥4时，


当x＝2时，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1，


当x＝﹣4时，y＝﹣8+4n﹣1＝4n﹣9，


i）当2n﹣1＞4n﹣9，


∴n＜4，此种情况不存在；


ii）当2n﹣1≤4n﹣9时，


∴n＞4，


即：n≥4，


∵≤y0≤9，


∴≤4n﹣9≤9，


∴≤n≤，


∴4≤n≤，


Ⅱ、当2＜n＜4时，


当x＝2时，y＝﹣2+2n+1＝2n﹣1


i）当2n﹣1＞n2﹣1，


∴（n﹣2）2＜4，


∴0＜n＜4，


ii）当2n﹣1≤n2﹣1，


∴（n﹣2）2≥4，


此时，y0＝n2﹣1，


∵≤y0≤9，


∴≤n2﹣1≤9，


∴≤n≤2，


即：≤n＜4，


②当0＜n≤2时，


如图3，而n2+1＞n2﹣1，


∴≤n2+1≤9，


∴1≤n≤4


即：1≤n≤2，


即：1≤n≤．











20．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣5的图象与y轴交于点C，


∴C（0，﹣5），


∵一次函数y＝x+k的图象经过点B、C，


∴k＝﹣5，


∴B（5，0），


设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，


∴﹣5a＝﹣5，


∴a＝1，


∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣5，一次函数的解析式为y＝x﹣5．





（2）①当点P在直线BC的上方时，如图2﹣1中，作DH∥BC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴于T，交BC于K，作PT∥BC交抛物线于P，直线PD交抛物线于Q．





∵S△CPD＝3S△CQD，


∴PD＝3DQ，


∵PT∥DH∥BC，


∴＝＝＝3，


∵D（2，0），B（5，0），C（﹣5，0），


∴OA＝OB＝5，OD＝OH＝2，


∴HC＝3，


∴TH＝9，OT＝7，


∴直线PT的解析式为y＝x+7，


由，解得或，


∴P（，）或（，），


②当点P在直线BC的下方时，如图2﹣2中，





当点P与抛物线的顶点（2，﹣9）重合时，PD＝9．DQ＝3，


∴PQ＝3DQ，


∴S△CPD＝3S△CQD，


过点P作PP′∥BC，此时点P′也满足条件，


∵直线PP′的解析式为y＝x﹣11，


由，解得或，


∴P′（3，﹣8），


综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（2，﹣9）或（3，﹣8）．





（3）设E（m，m2﹣4m﹣5），则F（m，m﹣5），


∴EF＝（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）＝5m﹣m2，CF＝m，


∴EF+CF＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣3）2+9，


∵﹣1＜0，


∴m＝3时，EF+CF的值最大，此时E（3，﹣8）．