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2019-2020学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷
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2019-2020学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷
一、选抒题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
3．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
4．（3分）抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（ ）
A．有两个交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
5．（3分）已知两个相似三角形的相似比为2：3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（ ）
A．18平方厘米 B．8平方厘米
C．27平方厘米 D．平方厘米
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A＝45°，则弧BC的长是（ ）
A．π B．π C．π D．π
7．（3分）若点A（x1，2），B（x2，5）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，则下列结论中正确的是（ ）
A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1
8．（3分）正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．（3分）已知当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，此时关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
10．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，下列说法中正确的是（ ）
A．OA：OA′＝1：3 B．OA：AA′＝1：2
C．OA：AA′＝1：3 D．OA′：AA′＝1：3
11．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）
A．cm B．5cm C．3cm D．10cm
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④＜0；
⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．
其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分．共18分）
13．（3分）把二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
14．（3分）从点M（﹣1，6），N（，12），E（2，﹣3），F（﹣3，﹣2）中任取一点，所取的点恰好在反比例函数y＝的图象上的概率为 ．
15．（3分）下列y关于x的函数中，y随x的增大而增大的有 ．（填序号）
①y＝﹣2x+1，②y＝，③y＝（x+2）2+1（x＞0），④y＝﹣2（x﹣3）2﹣1（x＜0）
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y＝上，则k的值为 ．
17．（3分）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为 ．
（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP＝，并简要说明你的作图方法（不要求证明）． ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，篮球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
20．（8分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣2，3）和点B（4，m）．
（Ⅰ）m的值为 ；
（Ⅱ）直接写出当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围： ；
（Ⅲ）直接写出当﹣3＜x＜1时，y的取值范围： ；
（Ⅳ）若直线y＝mx经过点A，直接写出不等式＞mx的解集： ．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D．求CD的长．
22．（10分）已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（Ⅰ）如图①，若∠OCA＝60°，求OD的长；
（Ⅱ）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长．
23．（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．
（1）分析数量关系填表：
每台售价（元）
30
31
32
……
30+x
月销售量（台）
180
170
160
……
（2）求y与x之间的函数解析式和x的取值范围
（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润y（元）最大？最大利润是多少？
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；
（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；
（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选抒题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．（3分）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，
故选：D．
3．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【分析】连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，
∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
4．（3分）抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（ ）
A．有两个交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
【分析】根据题目中的函数解析式，可以求得该抛物线与x轴的交点坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴当y＝0时，x＝2或x＝3，
即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），
故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，
故选：A．
5．（3分）已知两个相似三角形的相似比为2：3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（ ）
A．18平方厘米 B．8平方厘米
C．27平方厘米 D．平方厘米
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是2：3，
∴两个相似三角形的面积比是4：9，又较小三角形的面积为12平方厘米，
那么较大三角形的面积为27平方厘米，
故选：C．
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A＝45°，则弧BC的长是（ ）
A．π B．π C．π D．π
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OB、OC，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，
∴弧BC的长是＝＝π，
故选：B．
7．（3分）若点A（x1，2），B（x2，5）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，则下列结论中正确的是（ ）
A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1
【分析】根据函数的解析式得出反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，求出点A（x1，2），B（x2，5）在第二象限的图象上，再根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣6＜0，
∴函数的图象在二、四象限，且y随x的增大而增大，
∵0＜2＜5
∴x1＜x2＜0，
故选：A．
8．（3分）正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】联立正比例函数与反比例函数的解析式，解方程组得点A、B、C、D的坐标，然后在求四边形ABCD的面积．
【解答】解：解方程组 得，
即：正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于两点的坐标分别为A（1，1）B（﹣1，﹣1）
所以D点的坐标为（﹣1，0），B点的坐标为（1，0）
因为，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D
所以，△ABD与△BCD均是直角三角形
则：S四边形ABCD＝BD•AD+BD•CD＝×2×1+×2×1＝2，
即：四边形ABCD的面积是2
9．（3分）已知当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，此时关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【分析】根据反比例函数的性质可以判断k的正负情况，然后根据△的正负，即可判断方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情况，本题得以解决．
【解答】解：∵当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，
∴k＞0，
∵x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0，
∴△＝[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＝8k+8＞0，
∴关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故选：C．
10．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，下列说法中正确的是（ ）
A．OA：OA′＝1：3 B．OA：AA′＝1：2
C．OA：AA′＝1：3 D．OA′：AA′＝1：3
【分析】根据位似变换的性质得到AB∥A′B′，AB：A′B′＝1：2，得到△AOB∽△A′OB′，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴AB∥A′B′，AB：A′B′＝1：2，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴OA：OA′＝AB：A′B′＝1：2，A错误；
∴OA：AA′＝1：3，B错误，C正确；
OA′：AA′＝2：3，D错误；
故选：C．
11．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）
A．cm B．5cm C．3cm D．10cm
【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB角AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④＜0；
⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．
其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应a、b、c之间的关系，进行综合判断即可．
【解答】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得，
9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c＝0，
抛物线开口向下，a＜0，b＜0，
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，
所以，abc＞0，因此①正确；
由9a﹣3b+c＝0，而a＝b，
所以6a+c＝0，又a＜0，
因此3a+c＞0，所以②正确；
抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大，所以③不正确；
由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此④正确；
抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0），
因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，
因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②④⑤，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分．共18分）
13．（3分）把二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 y＝（x﹣2）2﹣1 ．
【分析】利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1
故本题答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．
14．（3分）从点M（﹣1，6），N（，12），E（2，﹣3），F（﹣3，﹣2）中任取一点，所取的点恰好在反比例函数y＝的图象上的概率为 ．
【分析】根据反比例函数的性质，找出符合点在函数y＝图象上的点的个数，即可根据概率公式求解．
【解答】解：∵k＝6，
﹣1×6＝﹣6≠6，×12＝6，2×（﹣3）＝﹣6≠6，﹣3×（﹣2）＝6，
∴N、F两个点在反比例函数y＝的图象上，故所取的点在反比例函数y＝的图象上的概率是＝．
故答案为．
15．（3分）下列y关于x的函数中，y随x的增大而增大的有 ③④ ．（填序号）
①y＝﹣2x+1，②y＝，③y＝（x+2）2+1（x＞0），④y＝﹣2（x﹣3）2﹣1（x＜0）
【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质即可一一判断；
【解答】解：y随x的增大而增大的函数有③④，
故答案为③④．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y＝上，则k的值为 ﹣3 ．
【分析】因为点D在双曲线y＝上，求出点D的坐标即可，根据A（﹣1，2）和旋转，可以求出相应线段的长，根据相应线段的长转化为点的坐标，代入反比例函数的关系式即可．
【解答】解：过点D作DE⊥x轴，DF⊥AB，垂足为E、F，A（﹣1，2）
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°
∴△AOB≌△ADC，∠BAC＝90°
又∵∠C＝∠ABO＝90°，
∴四边形ACEB是矩形，
∴AC＝DF＝EB＝AB＝2，CD＝BC＝AF＝1，
∴DE＝BF＝AB﹣AF＝2﹣1＝1，OE＝OB+BE＝2+1＝3，
∴D（﹣3，1）
∵点D恰好落在双曲线y＝上，
∴k＝（﹣3）×1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
17．（3分）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm．
【分析】已知小正方形的面积即可求得边长，在直角△ACE中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，
∵正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，
∴AE＝BC＝x，CE＝2x；
∵小正方形的面积为16cm2，
∴小正方形的边长EF＝DF＝4，
由勾股定理得，R2＝AE2+CE2＝AF2+DF2，
即x2+4x2＝（x+4）2+42，
解得，x＝4，
∴R＝4cm，
故答案为：4
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为 2 ．
（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP＝，并简要说明你的作图方法（不要求证明）． 取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求 ．
【分析】利用勾股定理列式求出AB＝2，然后作一小正方形对角线，使对角线与AB的交点满足AP：BP＝2：1即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝2；
（2）∵AB＝2，
所以，AP＝时AP：BP＝2：1．
点P如图所示．取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求；
故答案为：取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，篮球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为x个，然后根据古典概率的知识列方程，求解即可求得答案；
（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．
【解答】解：（1）设袋中的黄球个数为x个，
∴＝，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
∴袋中黄球的个数1个；
（2）画树状图得：
，
∴一共有12种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有4种，
∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：＝．
20．（8分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣2，3）和点B（4，m）．
（Ⅰ）m的值为 ﹣ ；
（Ⅱ）直接写出当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围： 2＜y＜3 ；
（Ⅲ）直接写出当﹣3＜x＜1时，y的取值范围： y＞2或0＜y＜﹣6 ；
（Ⅳ）若直线y＝mx经过点A，直接写出不等式＞mx的解集： ﹣2＜x＜0或x＞4 ．
【分析】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；
（Ⅱ）当x＝﹣3时，y＝＝2，x＝﹣2，y＝3，即可求解；
（Ⅲ）x＝1时，y＝﹣6，即可求解；
（Ⅳ）直线y＝mx经过点A、B，观察函数图象即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3＝﹣，解得：k＝﹣6，
故反比例函数表达式为：y＝，
将点B坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝﹣，
故答案为：﹣；
（Ⅱ）当x＝﹣3时，y＝＝2，x＝﹣2，y＝3，故y的取值范围为：2＜y＜3，
故答案为：2＜y＜3；
（Ⅲ）同理x＝1时，y＝﹣6，故y的取值范围为：y＞2或0＜y＜﹣6，
故答案为：y＞2或0＜y＜﹣6；
（Ⅳ）直线y＝mx经过点A，3＝﹣2m，解得：m＝﹣，
则直线y＝﹣x，则直线过点B，
函数图象如下：
从图象看，故不等式＞mx的解集为：﹣2＜x＜0或x＞4，
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞4．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D．求CD的长．
【分析】根据勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面积求出点A到BC上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D到AB的长，再利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∴BC边上的高＝3×4÷5＝，
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，
则S△ABC＝×3h+×4h＝×5×，
解得h＝，
S△ABD＝×3×＝BD•，
解得BD＝，
∴CD＝BC﹣BD＝．
22．（10分）已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（Ⅰ）如图①，若∠OCA＝60°，求OD的长；
（Ⅱ）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长．
【分析】（1）由切线的性质可知∠OAC＝90°，由三角形的内角和定理可知∠AOC＝30°，由∠AOB＝∠AOC+∠BOC可得出∠AOB的度数，结合OA＝OB可得出∠OAB＝∠OBA＝30°，由此可得出OD＝AD，由∠OAB与∠DAC互余可知∠DAC＝60°＝∠DCA，由此得出△DAC为等边三角形，从而得出OD＝AC，由特殊角的三角函数值即可得出结论；
（2）由OC⊥OB且OC＝OB可知∠OBE＝∠OEB＝45°，再由BE∥OA可得出∠AOC＝45°，结合切线性质可得出OA＝AC，根据角与角之间的关系逐步得出∠CAD＝∠CDA＝67.5°，由此可得出AC＝CD，结合勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AC与⊙O相切，
∴∠OAC＝90°．
∵∠OCA＝60°，
∴∠AOC＝30°．
∵OC⊥OB，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°．
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OD＝AD，∠DAC＝60°
∴AD＝CD＝AC．
∵OA＝1，
∴OD＝AC＝OA•tan∠AOC＝．
（2）∵OC⊥OB，
∴∠OBE＝∠OEB＝45°．
∵BE∥OA，
∴∠AOC＝45°，∠ABE＝∠OAB，
∴OA＝AC，∠OAB＝∠OBA＝22.5°，
∴∠ADC＝∠AOC+∠OAB＝67.5°．
∵∠DAC＝90°﹣∠OAB＝67.5°＝∠ADC，
∴AC＝CD．
∵OC＝＝，
∴OD＝OC﹣CD＝﹣1．
23．（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．
（1）分析数量关系填表：
每台售价（元）
30
31
32
……
30+x
月销售量（台）
180
170
160
……
（2）求y与x之间的函数解析式和x的取值范围
（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润y（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10台，由此填空即可；
（2）由销售利润＝每件商品的利润×（180﹣10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；
（3）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
【解答】解：（1）31﹣30＝1，180﹣170＝10，以此类推可得每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10台，
所以当每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，则月销售量为180﹣10x，
故答案为：180﹣10x；
（2）由题意可知：y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（3）由（2）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵﹣10＜0，
∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；
∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元．
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；
（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；
（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）作辅助线，先根据点A（2，0），点B（0，），确定∠ABO＝30°，证明△AOA'是等边三角形，得旋转角α＝60°，证明△COB'是30°的直角三角形，可得B'的坐标；
（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α，OB＝OB'，OA＝OA'，即可得出∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α），再根据∠BOA'＝90°+α，四边形OBPA'的内角和为360°，即可得到∠BPA'＝90°，即AA'⊥BB'；
（Ⅲ）作AB的中点M（1，），连接MP，依据点P的轨迹为以点M为圆心，以MP＝AB＝2为半径的圆，即可得到当PM∥y轴时，点P纵坐标的最小值为﹣2．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，过B'作B'C⊥x轴于C，
∵OA＝2，OB＝2，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，∠BAO＝60°，
由旋转得：OA＝OA'，∠A'＝∠BAO＝60°，
∴△OAA'是等边三角形，
∴α＝∠AOA'＝60°，
∵OB＝OB'＝2，∠COB'＝90°﹣60°＝30°，
∴B'C＝＝，
∴OC＝3，
∴B'（3，）；
（Ⅱ）证明：如图2，∵∠BOB'＝∠AOA'＝α，OB＝OB'，OA＝OA'，
∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α），
∵∠BOA'＝90°+α，四边形OBPA'的内角和为360°，
∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°，
即AA'⊥BB'；
（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为．理由是：
如图，作AB的中点M（1，），连接MP，
∵∠APB＝90°，
∴点P的轨迹为以点M为圆心，以MP＝AB＝2为半径的圆，除去点（2，2）．
∴当PM⊥x轴时，点P纵坐标的最小值为﹣2．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2）PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，即可求解；
（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，
将点A、D的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，
即：则PE＝PF，
设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），
PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，
∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，
当x＝2时，其最大值为18；
（3）NC＝5，
①当NC是平行四边形的一条边时，
设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），
由题意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，
解得：x＝2或0或4（舍去0），
则点M坐标为（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）；
②当NC是平行四边形的对角线时，
则NC的中点坐标为（0，），
设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），
N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，
即：，解得：，
故点M（﹣4，3）；
故点M的坐标为：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．
一、选抒题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
3．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
4．（3分）抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（ ）
A．有两个交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
5．（3分）已知两个相似三角形的相似比为2：3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（ ）
A．18平方厘米 B．8平方厘米
C．27平方厘米 D．平方厘米
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A＝45°，则弧BC的长是（ ）
A．π B．π C．π D．π
7．（3分）若点A（x1，2），B（x2，5）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，则下列结论中正确的是（ ）
A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1
8．（3分）正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
9．（3分）已知当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，此时关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
10．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，下列说法中正确的是（ ）
A．OA：OA′＝1：3 B．OA：AA′＝1：2
C．OA：AA′＝1：3 D．OA′：AA′＝1：3
11．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）
A．cm B．5cm C．3cm D．10cm
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④＜0；
⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．
其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分．共18分）
13．（3分）把二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
14．（3分）从点M（﹣1，6），N（，12），E（2，﹣3），F（﹣3，﹣2）中任取一点，所取的点恰好在反比例函数y＝的图象上的概率为 ．
15．（3分）下列y关于x的函数中，y随x的增大而增大的有 ．（填序号）
①y＝﹣2x+1，②y＝，③y＝（x+2）2+1（x＞0），④y＝﹣2（x﹣3）2﹣1（x＜0）
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y＝上，则k的值为 ．
17．（3分）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm．
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为 ．
（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP＝，并简要说明你的作图方法（不要求证明）． ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，篮球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
20．（8分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣2，3）和点B（4，m）．
（Ⅰ）m的值为 ；
（Ⅱ）直接写出当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围： ；
（Ⅲ）直接写出当﹣3＜x＜1时，y的取值范围： ；
（Ⅳ）若直线y＝mx经过点A，直接写出不等式＞mx的解集： ．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D．求CD的长．
22．（10分）已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（Ⅰ）如图①，若∠OCA＝60°，求OD的长；
（Ⅱ）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长．
23．（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．
（1）分析数量关系填表：
每台售价（元）
30
31
32
……
30+x
月销售量（台）
180
170
160
……
（2）求y与x之间的函数解析式和x的取值范围
（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润y（元）最大？最大利润是多少？
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；
（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；
（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年天津市南开区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选抒题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．（3分）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，
故选：D．
3．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
【分析】连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠BCD＝40°，
∴∠A＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．
故选：B．
4．（3分）抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（ ）
A．有两个交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
【分析】根据题目中的函数解析式，可以求得该抛物线与x轴的交点坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴当y＝0时，x＝2或x＝3，
即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），
故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，
故选：A．
5．（3分）已知两个相似三角形的相似比为2：3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（ ）
A．18平方厘米 B．8平方厘米
C．27平方厘米 D．平方厘米
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是2：3，
∴两个相似三角形的面积比是4：9，又较小三角形的面积为12平方厘米，
那么较大三角形的面积为27平方厘米，
故选：C．
6．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A＝45°，则弧BC的长是（ ）
A．π B．π C．π D．π
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OB、OC，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，
∴弧BC的长是＝＝π，
故选：B．
7．（3分）若点A（x1，2），B（x2，5）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，则下列结论中正确的是（ ）
A．x1＜x2＜0 B．x1＜0＜x2 C．x2＜x1＜0 D．x2＜0＜x1
【分析】根据函数的解析式得出反比例函数y＝﹣的图象在第二、四象限，求出点A（x1，2），B（x2，5）在第二象限的图象上，再根据反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣6＜0，
∴函数的图象在二、四象限，且y随x的增大而增大，
∵0＜2＜5
∴x1＜x2＜0，
故选：A．
8．（3分）正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】联立正比例函数与反比例函数的解析式，解方程组得点A、B、C、D的坐标，然后在求四边形ABCD的面积．
【解答】解：解方程组 得，
即：正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于两点的坐标分别为A（1，1）B（﹣1，﹣1）
所以D点的坐标为（﹣1，0），B点的坐标为（1，0）
因为，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D
所以，△ABD与△BCD均是直角三角形
则：S四边形ABCD＝BD•AD+BD•CD＝×2×1+×2×1＝2，
即：四边形ABCD的面积是2
9．（3分）已知当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，此时关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【分析】根据反比例函数的性质可以判断k的正负情况，然后根据△的正负，即可判断方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情况，本题得以解决．
【解答】解：∵当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，
∴k＞0，
∵x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0，
∴△＝[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＝8k+8＞0，
∴关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故选：C．
10．（3分）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，下列说法中正确的是（ ）
A．OA：OA′＝1：3 B．OA：AA′＝1：2
C．OA：AA′＝1：3 D．OA′：AA′＝1：3
【分析】根据位似变换的性质得到AB∥A′B′，AB：A′B′＝1：2，得到△AOB∽△A′OB′，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴AB∥A′B′，AB：A′B′＝1：2，
∴△AOB∽△A′OB′，
∴OA：OA′＝AB：A′B′＝1：2，A错误；
∴OA：AA′＝1：3，B错误，C正确；
OA′：AA′＝2：3，D错误；
故选：C．
11．（3分）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）
A．cm B．5cm C．3cm D．10cm
【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB角AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④＜0；
⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．
其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应a、b、c之间的关系，进行综合判断即可．
【解答】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得，
9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c＝0，
抛物线开口向下，a＜0，b＜0，
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，
所以，abc＞0，因此①正确；
由9a﹣3b+c＝0，而a＝b，
所以6a+c＝0，又a＜0，
因此3a+c＞0，所以②正确；
抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大，所以③不正确；
由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此④正确；
抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0），
因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，
因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②④⑤，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分．共18分）
13．（3分）把二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是 y＝（x﹣2）2﹣1 ．
【分析】利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1
故本题答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．
14．（3分）从点M（﹣1，6），N（，12），E（2，﹣3），F（﹣3，﹣2）中任取一点，所取的点恰好在反比例函数y＝的图象上的概率为 ．
【分析】根据反比例函数的性质，找出符合点在函数y＝图象上的点的个数，即可根据概率公式求解．
【解答】解：∵k＝6，
﹣1×6＝﹣6≠6，×12＝6，2×（﹣3）＝﹣6≠6，﹣3×（﹣2）＝6，
∴N、F两个点在反比例函数y＝的图象上，故所取的点在反比例函数y＝的图象上的概率是＝．
故答案为．
15．（3分）下列y关于x的函数中，y随x的增大而增大的有 ③④ ．（填序号）
①y＝﹣2x+1，②y＝，③y＝（x+2）2+1（x＞0），④y＝﹣2（x﹣3）2﹣1（x＜0）
【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质即可一一判断；
【解答】解：y随x的增大而增大的函数有③④，
故答案为③④．
16．（3分）如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y＝上，则k的值为 ﹣3 ．
【分析】因为点D在双曲线y＝上，求出点D的坐标即可，根据A（﹣1，2）和旋转，可以求出相应线段的长，根据相应线段的长转化为点的坐标，代入反比例函数的关系式即可．
【解答】解：过点D作DE⊥x轴，DF⊥AB，垂足为E、F，A（﹣1，2）
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°
∴△AOB≌△ADC，∠BAC＝90°
又∵∠C＝∠ABO＝90°，
∴四边形ACEB是矩形，
∴AC＝DF＝EB＝AB＝2，CD＝BC＝AF＝1，
∴DE＝BF＝AB﹣AF＝2﹣1＝1，OE＝OB+BE＝2+1＝3，
∴D（﹣3，1）
∵点D恰好落在双曲线y＝上，
∴k＝（﹣3）×1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
17．（3分）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm．
【分析】已知小正方形的面积即可求得边长，在直角△ACE中，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，
∵正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，
∴AE＝BC＝x，CE＝2x；
∵小正方形的面积为16cm2，
∴小正方形的边长EF＝DF＝4，
由勾股定理得，R2＝AE2+CE2＝AF2+DF2，
即x2+4x2＝（x+4）2+42，
解得，x＝4，
∴R＝4cm，
故答案为：4
18．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为 2 ．
（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP＝，并简要说明你的作图方法（不要求证明）． 取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求 ．
【分析】利用勾股定理列式求出AB＝2，然后作一小正方形对角线，使对角线与AB的交点满足AP：BP＝2：1即可．
【解答】解：（1）由勾股定理得，AB＝＝2；
（2）∵AB＝2，
所以，AP＝时AP：BP＝2：1．
点P如图所示．取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求；
故答案为：取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（8分）在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，篮球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为x个，然后根据古典概率的知识列方程，求解即可求得答案；
（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．
【解答】解：（1）设袋中的黄球个数为x个，
∴＝，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
∴袋中黄球的个数1个；
（2）画树状图得：
，
∴一共有12种情况，两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的有4种，
∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：＝．
20．（8分）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣2，3）和点B（4，m）．
（Ⅰ）m的值为 ﹣ ；
（Ⅱ）直接写出当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围： 2＜y＜3 ；
（Ⅲ）直接写出当﹣3＜x＜1时，y的取值范围： y＞2或0＜y＜﹣6 ；
（Ⅳ）若直线y＝mx经过点A，直接写出不等式＞mx的解集： ﹣2＜x＜0或x＞4 ．
【分析】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；
（Ⅱ）当x＝﹣3时，y＝＝2，x＝﹣2，y＝3，即可求解；
（Ⅲ）x＝1时，y＝﹣6，即可求解；
（Ⅳ）直线y＝mx经过点A、B，观察函数图象即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3＝﹣，解得：k＝﹣6，
故反比例函数表达式为：y＝，
将点B坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝﹣，
故答案为：﹣；
（Ⅱ）当x＝﹣3时，y＝＝2，x＝﹣2，y＝3，故y的取值范围为：2＜y＜3，
故答案为：2＜y＜3；
（Ⅲ）同理x＝1时，y＝﹣6，故y的取值范围为：y＞2或0＜y＜﹣6，
故答案为：y＞2或0＜y＜﹣6；
（Ⅳ）直线y＝mx经过点A，3＝﹣2m，解得：m＝﹣，
则直线y＝﹣x，则直线过点B，
函数图象如下：
从图象看，故不等式＞mx的解集为：﹣2＜x＜0或x＞4，
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞4．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D．求CD的长．
【分析】根据勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面积求出点A到BC上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D到AB的长，再利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5，
∴BC边上的高＝3×4÷5＝，
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，
则S△ABC＝×3h+×4h＝×5×，
解得h＝，
S△ABD＝×3×＝BD•，
解得BD＝，
∴CD＝BC﹣BD＝．
22．（10分）已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（Ⅰ）如图①，若∠OCA＝60°，求OD的长；
（Ⅱ）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长．
【分析】（1）由切线的性质可知∠OAC＝90°，由三角形的内角和定理可知∠AOC＝30°，由∠AOB＝∠AOC+∠BOC可得出∠AOB的度数，结合OA＝OB可得出∠OAB＝∠OBA＝30°，由此可得出OD＝AD，由∠OAB与∠DAC互余可知∠DAC＝60°＝∠DCA，由此得出△DAC为等边三角形，从而得出OD＝AC，由特殊角的三角函数值即可得出结论；
（2）由OC⊥OB且OC＝OB可知∠OBE＝∠OEB＝45°，再由BE∥OA可得出∠AOC＝45°，结合切线性质可得出OA＝AC，根据角与角之间的关系逐步得出∠CAD＝∠CDA＝67.5°，由此可得出AC＝CD，结合勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AC与⊙O相切，
∴∠OAC＝90°．
∵∠OCA＝60°，
∴∠AOC＝30°．
∵OC⊥OB，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°．
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴OD＝AD，∠DAC＝60°
∴AD＝CD＝AC．
∵OA＝1，
∴OD＝AC＝OA•tan∠AOC＝．
（2）∵OC⊥OB，
∴∠OBE＝∠OEB＝45°．
∵BE∥OA，
∴∠AOC＝45°，∠ABE＝∠OAB，
∴OA＝AC，∠OAB＝∠OBA＝22.5°，
∴∠ADC＝∠AOC+∠OAB＝67.5°．
∵∠DAC＝90°﹣∠OAB＝67.5°＝∠ADC，
∴AC＝CD．
∵OC＝＝，
∴OD＝OC﹣CD＝﹣1．
23．（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，月销售利润为y元．
（1）分析数量关系填表：
每台售价（元）
30
31
32
……
30+x
月销售量（台）
180
170
160
……
（2）求y与x之间的函数解析式和x的取值范围
（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润y（元）最大？最大利润是多少？
【分析】（1）由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10台，由此填空即可；
（2）由销售利润＝每件商品的利润×（180﹣10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；
（3）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
【解答】解：（1）31﹣30＝1，180﹣170＝10，以此类推可得每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10台，
所以当每件商品的售价上涨x元（x为整数）时，则月销售量为180﹣10x，
故答案为：180﹣10x；
（2）由题意可知：y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（3）由（2）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．
∵﹣10＜0，
∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；
∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元．
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；
（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；
（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）作辅助线，先根据点A（2，0），点B（0，），确定∠ABO＝30°，证明△AOA'是等边三角形，得旋转角α＝60°，证明△COB'是30°的直角三角形，可得B'的坐标；
（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α，OB＝OB'，OA＝OA'，即可得出∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α），再根据∠BOA'＝90°+α，四边形OBPA'的内角和为360°，即可得到∠BPA'＝90°，即AA'⊥BB'；
（Ⅲ）作AB的中点M（1，），连接MP，依据点P的轨迹为以点M为圆心，以MP＝AB＝2为半径的圆，即可得到当PM∥y轴时，点P纵坐标的最小值为﹣2．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，过B'作B'C⊥x轴于C，
∵OA＝2，OB＝2，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，∠BAO＝60°，
由旋转得：OA＝OA'，∠A'＝∠BAO＝60°，
∴△OAA'是等边三角形，
∴α＝∠AOA'＝60°，
∵OB＝OB'＝2，∠COB'＝90°﹣60°＝30°，
∴B'C＝＝，
∴OC＝3，
∴B'（3，）；
（Ⅱ）证明：如图2，∵∠BOB'＝∠AOA'＝α，OB＝OB'，OA＝OA'，
∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α），
∵∠BOA'＝90°+α，四边形OBPA'的内角和为360°，
∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°，
即AA'⊥BB'；
（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为．理由是：
如图，作AB的中点M（1，），连接MP，
∵∠APB＝90°，
∴点P的轨迹为以点M为圆心，以MP＝AB＝2为半径的圆，除去点（2，2）．
∴当PM⊥x轴时，点P纵坐标的最小值为﹣2．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2）PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，即可求解；
（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，
将点A、D的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，
即：则PE＝PF，
设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），
PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，
∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，
当x＝2时，其最大值为18；
（3）NC＝5，
①当NC是平行四边形的一条边时，
设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），
由题意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，
解得：x＝2或0或4（舍去0），
则点M坐标为（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）；
②当NC是平行四边形的对角线时，
则NC的中点坐标为（0，），
设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），
N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，
即：，解得：，
故点M（﹣4，3）；
故点M的坐标为：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．
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