数学第二十二章 二次函数综合与测试练习题

这是一份数学第二十二章 二次函数综合与测试练习题，共15页。试卷主要包含了已知抛物线过点A，下列关于抛物线y＝等内容，欢迎下载使用。

时间：100分钟 满分：100分


学校：______班级：_____姓名：______得分：_______





一．选择题（每小题3分，共30分）


1．函数y＝mx2+2x+1的图象与x轴只有1个公共点，则常数m的值是（ ）


A．1B．2C．0，1D．1，2


2．将抛物线y＝2x2向下平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为（ ）


A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2


3．把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象绕着其顶点旋转180°，所得抛物线函数关系式是（ ）


A．y＝2x2﹣4x﹣1B．y＝2x2﹣4x+5


C．y＝﹣2x2+4x﹣1D．y＝﹣2x2﹣4x+5


4．抛物线y＝x2+4x+3的对称轴是（ ）


A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝﹣2D．直线x＝2


5．二次函数y＝﹣x2+2x在下列（ ）范围内，y随着x的增大而增大．


A．x＜2B．x＞2C．x＜0D．x＞0


6．已知抛物线过点A（﹣1，m）、B（1，m）和C（2，m﹣1），则其大致图象为（ ）


A．B．


C．D．


7．如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3…；如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（200，m）在此“波浪线”上，则m的值为（ ）





A．﹣6B．6C．﹣8D．8


8．下列关于抛物线y＝（x﹣1）2+3的说法不正确的是（ ）


A．抛物线开口向上


B．抛物线的顶点是（1，3）


C．抛物线与y轴的交点是（0，3）


D．当x＞1时，y随x的增大而增大


9．如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数y＝2x2﹣4的图象上，则图中阴影部分的面积之和为（ ）





A．6B．8C．10D．12


10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是（ ）





A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④








二．填空题（每小题4分，共20分）


11．二次函数y＝2（x﹣1）2+5的图象的顶点坐标为 ．


12．如图，在平面直角坐标系中，P是抛物线y＝﹣x2+3x上一点，且在x轴上方，过点P分别向x轴、y轴作垂线，得到矩形PMON，若矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大，则m的取值范围是 ．





13．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是 m2．





14．飞机着陆后滑行的距离y（m）与滑行时间x（s）的函数关系式为y＝﹣x2+60x，则飞机着陆后滑行 m才停下来．


15．二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③c＝﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b＝﹣或﹣．其中正确的有 ．（请将正确结论的序号全部填在横线上）





三．解答题（每题10分，共50分）


16．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c和一次函数g（x）＝﹣bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c＝0．


（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；


（2）设这两个函数的图象交于A，B两点，作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，求线段A1B1的长的取值范围．


17．某公司销售一种新型产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y＝﹣x+150，成本为50元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费90000元，设月利润为w内（元），若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2元的附加费，设月利润为w外（元）．


（1）当x＝1000时，y＝ 元/件，w内＝ 元；


（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；


（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值．











18．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x＝0和x＝5时所对应的函数值相等．一次函数y＝﹣x+3与二次函数y＝﹣+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．


（1）求二次函数y＝﹣+bx+c的表达式；


（2）连接AB，求AB的长；


（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．











19．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．


（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？


（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；


（3）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）

















20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，点D与点C关于抛物线对称轴对称，作直线AD．点P在抛物线上，过点P作PE⊥x轴，垂足为点E，交直线AD于点Q，过点P作PG⊥AD，垂足为点G，连接AP．设点P的横坐标为m，PQ的长度为d．


（1）求抛物线的解析式；


（2）求点D的坐标及直线AD的解析式；


（3）当点P在直线AD上方时，求d关于m的函数关系式，并求出d的最大值；


（4）当点P在直线AD上方时，若PQ将△APG分成面积相等的两部分，直接写出m的值．








参考答案


一．选择题


1．解：①若m＝0，则函数y＝2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；


②若m≠0，则函数y＝mx2+2x+1，是二次函数．


根据题意得：△＝4﹣4m＝0，


解得：m＝1．


故m为0或1．


故选：C．


2．解：∵抛物线y＝2x2向下平移3个单位，


∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣3．


故选：B．


3．解：y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x2﹣2x）+1


＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）+1


＝﹣2（x﹣1）2+3，


所以原抛物线的顶点坐标为（1，3），


因为抛物线y＝﹣2x2+4x+1绕顶点旋转180°后所得抛物线的开口大小不变，顶点坐标不变，只是开口方向相反，


∴旋转后的抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3＝2x2﹣4x+5．


故选：B．


4．解：∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，


∴抛物线对称轴为直线x＝﹣2，


故选：C．


5．解：∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，且a＝﹣1＜0，


∴当x＜1时，y随x的增大而增大，


在四个选项中，其范围在x＜1中的是x＜0，


故选：C．


6．解：∵抛物线过点A（﹣1，m）、B（1，m），


∴抛物线的对称轴为y轴，


∴可排除A、C．


∵1＜2，m＞m﹣1，


∴在y轴右侧y随x的增大而减小，


∴抛物线开口向下，


∴B错误，D正确．


故选：D．


7．解：∵y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），


∴图象C1与x轴交点坐标为：（0，0），（6，0），


∵将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；，


∴抛物线C2：y＝（x﹣6）（x﹣12）（6≤x≤12），


将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；


…


∴（200，m）在抛物线C34，y＝﹣（x﹣198）（x﹣204）（198≤x≤204）上，


∴当x＝200时，m＝﹣（200﹣198）（200﹣204）＝﹣8．


故选：C．


8．解：A，由抛物线可看出a＝1＞0，故开口向上，故说法正确．


B，因为顶点坐标是（1，3），故说法正确；


C，当x＝0时，y＝4，故与与y轴交点为（0，4），故说法不正确


D，由于开口方向向上，对称轴为x＝1，x＞1时y随x的增大而增大，故说法正确；


故选：C．


9．解：∵四边形ABCD为正方形，抛物线y＝2x2﹣4和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴，


∴OD＝OC，S阴影＝S矩形BCOE，


设点B的坐标为（n，2n）（n＞0），


∵点B在二次函数y＝2x2﹣4的图象上，


∴2n＝2n2﹣4，


解得，n1＝2，n2＝﹣1（舍负），


∴点B的坐标为（2，4），


∴S阴影＝S矩形BCOE＝2×4＝8．


故选：B．


10．解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，


∴c＞0，


∵抛物线的对称轴为直线x＝2∴b＝﹣4a，


∴4a+b+c＝4a﹣4a+c＝c＞0，所以①正确；


∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点B位于（4，0）、（5，0）之间，


∴抛物线与x轴的另一个交点位于（0，0）、（﹣1，0）之间，


即当x＝﹣1时，y＜0，也就是a﹣b+c＜0，因此②正确；


∵对称轴为x＝2，


∴x＝2时的函数值大于或等于x＝m时函数值，即，当x＝2时，函数值最大，


∴am2+bm+c≤4a+2b+c，


即，m（am+b）≤4a+2b，因此③不正确；


∵直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，


∴x＝5时，一次函数值比二次函数值大，


即25a+5b+c＜﹣5+c，


而b＝﹣4a，


∴25a﹣20a＜﹣5，解得a＜﹣1，因此④正确；


综上所述，正确的结论有①②④，


故选：C．


二．填空题（共5小题）


11．解：∵抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+5，


∴二次函数图象的顶点坐标是（1，5）．


故答案为（1，5）


12．解：当y＝0时，有﹣x2+3x＝0，


解得：x1＝0，x2＝3，


∴0＜m＜3．


∵点P的横坐标为m，


∴点P的坐标为（m，﹣m2+3m），OM＝m，PM＝3m﹣m2，


∴C矩形OMON＝2（OM+PM）＝2（m+3m﹣m2）＝﹣2m2+8m，


∴当0＜m≤2时，矩形PMON的周长随点P的横坐标m增大而增大．


故答案为：0＜m≤2．


13．解：设矩形的长为xm，则宽为m，


菜园的面积S＝x•＝﹣x2+15x＝﹣（x﹣15）2+，（0＜x≤20）


∵当x＜15时，S随x的增大而增大，


∴当x＝15时，S最大值＝m2，


故答案为：．


14．解：∵y＝﹣x2+60x＝﹣（x﹣20）2+600，


∴x＝20时，y取得最大值，此时y＝600，


即该型号飞机着陆后滑行600m才能停下来，


故答案为：600．


15．解：①∵a＜0，


∴抛物线开口向下，


∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，


∴当x＝﹣4时，y＜0，


即16a﹣4b+c＜0；


故①正确；


②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，


∴抛物线的对称轴是：x＝﹣1，


∵P（﹣5，y1），Q（，y2），


﹣1﹣（﹣5）＝4，﹣（﹣1）＝3.5，


由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，


∴则y1＜y2；


故②不正确；


③∵﹣＝﹣1，


∴b＝2a，


当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，


3a+c＝0，


c＝﹣3a，故③正确；


④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，


当AB＝BC＝4时，


∵BO＝1，△BOC为直角三角形，


又∵OC的长即为|c|，


∴c2＝16﹣1＝15，


∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，


∴c＝，


与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b＝﹣；


同理当AB＝AC＝4时，


∵AO＝3，△AOC为直角三角形，


又∵OC的长即为|c|，


∴c2＝16﹣9＝7，


∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，


∴c＝，


与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b＝﹣；


同理当AC＝BC时，


在△AOC中，AC2＝9+c2，


在△BOC中BC2＝c2+1，


∵AC＝BC，


∴1+c2＝c2+9，此方程无实数解．


经解方程组可知有两个b值满足条件．


故④正确．


综上所述，正确的结论是①③④．


故答案是：①③④．


三．解答题（共5小题）


16．解：（1）联立方程得：ax2+2bx+c＝0，


△＝4（a2+ac+c2），


∵a＞b＞c，a+b+c＝0，


∴a＞0，c＜0，


∴△＞0，


∴两函数的图象相交于不同的两点；





（2）设方程的两根为x1，x2，则


|A1B1|2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，


＝（﹣）2﹣＝＝，


＝4[（）2++1]，


＝4[（+）2+]，


∵a＞b＞c，a+b+c＝0，


∴a＞﹣（a+c）＞c，a＞0，


∴﹣2＜＜﹣，


此时3＜A1B12＜12，


∴＜|A1B1|＜2．


17．解：（1）当x＝1000时，y＝﹣×1000+150＝140元/件，w内＝1000×（140﹣50）﹣90000＝0元；





（2）w内＝x（y﹣50）﹣90000＝x（﹣x+150﹣50）﹣90000＝﹣x2+100x﹣90000，


即w内＝﹣x2+100x﹣90000，


w外＝x（150﹣a）﹣x2＝﹣x2+（150﹣a）x，


即w外＝﹣x2+（150﹣a）x；





（3）∵w内＝﹣x2+100x﹣90000，


∴当x＝﹣＝5000时，w内最大；


∵在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，


∴＝，


整理，得（150﹣a）2＝13600，


解得a1＝34，a2＝284（不合题意，舍去）．


∴a＝34．


18．解：（1）当x＝0时，y＝c，即（0，c）．


由当x＝0和x＝5时所对应的函数值相等，得（5，c）．


将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得


，


解得．


故抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣2；


（2）联立抛物线与直线，得


，


解得，，


即B（2，1），C（5，﹣2）．


由勾股定理，得


AB＝＝；


（3）如图：


，


四边形ABCN是平行四边形，


证明：∵M是AC的中点，


∴AM＝CM．


∵点B绕点M旋转180°得到点N，


∴BM＝MN，


∴四边形ABCN是平行四边形，


又∵AB＝，BC＝3，AC＝2，


∴AC2＝AB2+BC2，


∴∠ABC＝90°，


∴四边形ABCN是矩形．


19．解：（1）当销售单价为70元时，每天的销售利润＝（70﹣50）×[50+5×（100﹣70）]＝4000元；


（2）由题得 y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝﹣5x2+800x﹣27500（x≥50）．


∵销售单价不得低于成本，


∴50≤x．且销量＞0，


5（100﹣x）+50≥0，解得x≤110，


∴50≤x≤100．


（3）∵该企业每天的总成本不超过7000元


∴50×[50+5（100﹣x）]≤7000（8分）


解得x≥82．


由（2）可知 y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝﹣5x2+800x﹣27500


∵抛物线的对称轴为x＝80且a＝﹣5＜0


∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．


∴当x＝82时，y有最大，最大值＝4480，


即 销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．


20．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，


∴，


解得．


∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．


（2）∵将y＝﹣x2+2x+3配方，得y＝﹣（x﹣1）2+4，


∴抛物线的对称轴是直线x＝1．


∴点D的坐标为（2，3）．


设直线AD的解析式为y＝kx+n，


由题意，得，


解得．


∴直线AD的解析式为y＝x+1．


（3）∵点P的横坐标为m，


∴点P，Q的纵坐标分别为﹣m2+2m+3，m+1，


∴d＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，


∴d关于m函数关系式是d＝﹣m2+m+2，d的最大值为．


（4）设直线PG的解析式为y＝﹣x+P，


∵PQ将△APG分成面积相等的两部分，


∴G的坐标为（2m+1，2m+2），


∴，


解得m1＝0，m2＝﹣1（不合题意舍去）．


故m的值为0．