初中数学22.1 二次函数的图象和性质综合与测试课后测评

这是一份初中数学22.1 二次函数的图象和性质综合与测试课后测评，共19页。试卷主要包含了1二次函数的图像和性质等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）


A．y＝xB．y＝x2C．y＝x2（x≤0）D．y＝x﹣3


2．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：


则当x≥1时，y的最小值是（ ）


A．2B．1C．D．0


3．已知二次函数y＝（x﹣）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x＝﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x的增大而减小，其中说法正确的有（ ）


A．1个B．2个C．3个D．4个


4．已知二次函数?＝??2﹣??﹣2（?≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当?﹣?为整数时，ab的值是（ ）


A．或1B．或1C．或D．或


5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③b＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+c＜，其中正确结论的个数是（ ）





A．②③④B．①②⑤C．①②④D．②③⑤


6．对于题目“一段抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则（ ）


A．甲的结果正确


B．乙的结果正确


C．甲、乙的结果合在一起才正确


D．甲、乙的结果合在一起也不正确


7．已知两点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（ ）


A．x0＞﹣5B．x0＞﹣1C．x0＞﹣3D．﹣5＜x0＜﹣1


8．二次函数y＝ax2﹣8ax（a为常数）的图象不经过第三象限，在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为﹣3，则a的值是（ ）


A．B．﹣C．2D．﹣2


9．如图，已知将抛物线y＝x2﹣1沿x轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”）．现将抛物线y＝a（x+1）2+2（a＜0）沿x轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a的取值范围是（ ）





A．a≤﹣1B．C．D．


10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（ ）





A．1B．2C．3D．4


二．填空题


11．二次函数y＝3（x﹣1）2+5的最小值为 ．


12．已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．


（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 ；


（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为 ．


13．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线y＝x2+4x+5，则原抛物线的解析式是 ．


14．如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，点P的坐标为 ．





15．下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是 ．


16．如图，平面直角坐标系中，已知点A（6，0），B（2，4），P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别在线段OB，AB上，则这两个二次函数的最大值之积的最大值为 ．








三．解答题


17．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．


（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；


（2）点C（m，n）在该二次函数图象上．


①当m＝﹣1时，求n的值；


②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出m的取值范围．











18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点，


（1）试求抛物线的解析式．


（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；


（3）将直线y＝﹣x向上平移b个单位，所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，请求出b的取值范围．














19．把二次函数C1：y＝﹣x2+4x+n的图象沿x轴翻折，得到新的二次函数C2的图象，二次函数C1的x≥0部分与二次函数C2的x＜0部分组成函数F．


（1）二次函数C2的解析式为 （用含n的式子表示）


（2）若n＝﹣


①当点B（m，）在函数F的图象上时，求m的值：


②当﹣3≤x≤3时，求函数F的最大值和最小值


（3）在平面直角坐标系中，点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连结MN．直接写出线段MN与函数F的图象有两个公共点时n的取值范围．

















20．已知经过点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线交于点D，E，如图．


（1）求抛物线的解析式，并用配方法求顶点坐标；


（2）横坐标为m的点P是抛物线上位于点D，E之间的一个动点（不含点D和E），连接PD，PE．当m取何值时，△PDE的边DE上的高h取得最大值，最大值是多少？








参考答案


一．选择题


1．解：A、y＝x中k＝1＞0，则该函数图象中y随x增大而增大，故本选项错误；


B、y＝x2中的中a＝1＞0，则该函数图开口向上，在y轴的右侧y随x增大而增大，在y轴的左侧y随x增大而减小，故本选项错误；


C、y＝x2（x≤0）中的中a＝1＞0，则在y轴的左侧y随x增大而减小，故本选项正确；


D、y＝x+3中k＝1＞0，则该函数图象中y随x增大而增大，故本选项错误；


故选：C．


2．解：∵由表可知，当x＝﹣1时，y＝10，当x＝0时，y＝5，当x＝1时，y＝2，


∴，


解得，


∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+5，


∴其对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2．


∵x≥1，


∴当x＝2时，y最小＝＝＝1．


故选：B．


3．解：∵a＝＞0，


∴抛物线开口向上，所以①正确；


∵y＝（x﹣）2+1，


∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，1），所以②③错误；


当x＜时，y随x的增大而减小，所以④正确；


综上所述，正确的说法有2个．


故选：B．


4．解：∵二次函数?＝??2﹣??﹣2（?≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），


∴a＞0，﹣＞0，a+b﹣2＝0，


∴a＞0，b＞0，b＝2﹣a，


∴2﹣a＞0，


解得，a＜2，


∴0＜a＜2，


∵a﹣b为整数，


∴a﹣（2﹣a）＝2a﹣2为整数，


∴a＝，b＝或a＝1，b＝1或a＝，b＝，


∴当a＝，b＝时，ab＝，


当a＝1，b＝1时，ab＝1，


当a＝，b＝时，ab＝，


由上可得，ab的值是或1，


故选：A．


5．解：由图可知，x＝1时，a+b+c＜0，故①正确；


∵抛物线与x轴有两个交点，


∴△＝b2﹣4ac＞0，故②正确；


∵抛物线开口向下，


∴a＜0，


∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，


∴b＝2a＜0，故③错误；


由图可知，x＝﹣2时，4a﹣2b+c＞0，故④错误；


当x＝0时，y＝c＝1，


∵a+b+c＜0，b＝2a，


∴3a+1＜0，


∴a＜﹣


∴a+c＜，故⑤正确；


综上所述，结论正确的是①②⑤．


故选：B．


6．解：∵抛物线L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y＝x+2有唯一公共点


∴①如图1，抛物线与直线相切，


联立解析式


得x2﹣2x+2﹣c＝0


△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0


解得：c＝1，


当c＝1时，相切时只有一个交点，和题目相符 所以不用舍去；


②如图2，抛物线与直线不相切，但在0≤x≤3上只有一个交点


此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上


∴c的最小值＝2，但取不到，c的最大值＝5，能取到


∴2＜c≤5


又∵c为整数


∴c＝3，4，5


综上，c＝1，3，4，5，所以甲乙合在一起也不正确，


故选：D．








7．解：∵两点A（﹣5，y1），B（﹣1，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，


∴若y1＞y2≥y0，则此函数开口向上，有最小值，


∴＜x0≤﹣1或x0≥﹣1，


解得，x0＞﹣3


故选：C．


8．解：∵二次函数y＝ax2﹣8ax＝a（x﹣4）2﹣16a，


∴该函数的对称轴是直线x＝4，


又∵二次函数y＝ax2﹣8ax（a为常数）的图象不经过第三象限，


∴a＞0，


∵在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为﹣3，


∴当x＝2时，a×22﹣8a×2＝﹣3，


解得，a＝，


故选：A．


9．解：如图：





∵y＝a（x+1）2+2（a＜0），


∴该抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，2），对称轴是直线x＝﹣1．


由此可知点（﹣1，2）、点（﹣1，1）、点（﹣1，0）、点（﹣1，﹣1）、点（﹣1，﹣2）符合题意，


此时x轴上的点 （﹣2，0）、（0，0）也符合题意．


将（0，1）代入y＝a（x+1）2+2得到1＝a+2．解得a＝﹣1．


将（1，0）代入y＝a（x+1）2+2得到0＝4a+2．解得a＝﹣．


∵有11个整点，


∴点（0，﹣1）、点（﹣2，﹣1）、点（﹣2，1）、点（0，1）也必须符合题意．


综上可知：当﹣1≤a＜﹣时，点（﹣1，2）、点（﹣1，1）、点（﹣1，0）、点（﹣1，﹣1）、点（﹣1，﹣2）、点 （﹣2，0）、（0，0）、点（0，﹣1）、点（﹣2，﹣1）、点（﹣2，1）、点（0，1），共有11个整点符合题意，


故选：D．


10．解：①观察图象可知：


a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，


∴①正确；


②当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，


∴②错误；


③对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1


得b＝2a，


当x＝时，y＜0，


即a+b+c＜0，


即a+2b+4c＜0，


∴5a+4c＜0．


∴③正确；


④因为抛物线与x轴有两个交点，


所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，


∴4ac﹣b2＜0．


∴④错误；


⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），


∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．


∴⑤正确．


故选：C．


二．填空题（共6小题）


11．解：由于二次函数y＝3（x﹣1）2+5中，a＝3＞0，


所以当x＝1时，函数取得最小值为5，


故答案为5．


12．解：（1）∵y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．


∴当x＝﹣2时，y＝4k+（2k+1）×（﹣2）+1＝﹣1，


当x＝0时，y＝0+0+1＝1，


∴对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点 （0，1），


故答案为：（0，1）；


（2）∵k为任意正实数，


∴k＞0，


∴函数图象开口向上，


∵函数y＝kx2+（2k+1）x+1的对称轴为x＝﹣＝﹣1﹣＜﹣1，


∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，


∵x＞m时，y随x的增大而增大，


∴m≥﹣1﹣，


故m＝0时符合题意．（答案不唯一，m≥﹣1即可）．


故答案为：0．


13．解：y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，将其向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到原抛物线的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+1﹣2＝（x﹣1）2﹣1，即y＝x2﹣2x．


故答案是：y＝x2﹣2x．


14．解：，


解得，或，


∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（4，5），


∴AB＝＝3，


作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B与y轴的交于P，则此时△PAB的周长最小，


点A′的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（4，5），


设直线A′B的函数解析式为y＝kx+b，


，得，


∴直线A′B的函数解析式为y＝x+，


当x＝0时，y＝，


即点P的坐标为（0，），


故答案为：（0，）．





15．解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，


∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；


②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，


∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；


③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，


∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；


④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，


∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，


故答案为①②④．


16．解：设直线OB交抛物线y1于点C，直线AB交抛物线y2于点D，即点C、D分别是这两个抛物线的顶点，





点A（6，0），则OA＝6，


由点B的坐标得，tan∠BOA＝＝2，同理由点A、B的坐标得，tan∠BAO＝1，


OP＝2OM＝2×＝CM，同理PA＝2AN＝2ND，


设OP＝x，则PA＝6﹣x，


CM＝x，ND＝PA＝（6﹣x），


设两个二次函数的最大值之积为y，


则y＝CM•DN＝x•（6﹣x）＝﹣x2+3x，


∵﹣0，故y有最大值，


当x＝3时，y的最大值为，


故答案为．


三．解答题（共4小题）


17．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．


∴，解得，


∴该二次函数为y＝﹣x2+2x+4，


∵y＝﹣（x﹣1）2+5，


∴顶点为（1，5）；


（2）∵点C（m，n）在该二次函数图象上，


①当m＝﹣1时，则C（﹣1，n），


把C（﹣1，n）代入y＝﹣x2+2x+4得，n＝1；


②当m≤x≤3时，n最大值为5，最小值为1，


∵抛物线的顶点为（1，5），


把y＝1代入y＝﹣x2+2x+4得1＝﹣x2+2x+4，解得x1＝3，x2＝﹣1，


∴m的取值范围是﹣1≤m≤1．


18．解：（1）把B（﹣2，6），C（2，2）两点坐标代入得：，


解这个方程组，得 ，


∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+2；


（2）∵y＝x2﹣x+2＝（x﹣1）2+，


∴顶点D（1，），


∴△BCD的面积＝4×﹣×3×﹣×1×﹣×4×4＝3．


（3）由消去y得到x2+x+4﹣2b＝0，


当△＝0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）＝0，


∴b＝，


当直线y＝﹣x+b经过点C时，b＝5，


当直线y＝﹣x+b经过点B时，b＝3，


∵直线y＝﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，


∴＜b≤3．


19．解：（1）二次函数C1：y＝﹣x2+4x+n的图象沿x轴翻折，得到二次函数C2的图象的横坐标与原坐标相等，纵坐标互为相反数，


所以二次函数C2：y＝x2﹣4x﹣n，


故答案为y＝x2﹣4x﹣n；


（2）①∵n＝﹣，


∴y＝x2﹣4x+（x＜0），


∵点B（m，）在函数F的图象上，


∴＝m2﹣4m+，


∴m＝2﹣，


∵y＝﹣x2+4x﹣（x＞0），


∵点B（m，）在函数F的图象上，


∴＝﹣m2+4m﹣，


∴m＝2±，


∴m＝2﹣或m＝2±；


②∵y＝﹣x2+4x﹣与x轴的交点为（2﹣，0），（2+，0），


∴当﹣3≤x≤3时，当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣＝﹣；


当x＝﹣3时，y＝x2﹣4x+＝；


∴函数F的最大值，最小值﹣；


（3）如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．


所以当x＝2时，y＝1，


即﹣4+8+n＝1，


解得n＝﹣3．


如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．


∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，


∴﹣n＝1，


解得：n＝﹣1．


∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．





如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．


∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），


∴n＝1．


如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．


∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），


∴+2﹣n＝1，


解得：n＝，


∴1＜n≤ 时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．


综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．














20．解：（1）将点B，C的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c，


得，


解得，


故抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．


因为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，


所以抛物线的顶点坐标是（1，4）．


（2）方法一：


由解得，，


所以点D，E的坐标分别是．


过点P作x轴的垂线交DE于点Q，


易知，


易知．


设△PDE的面积为S，


因为DE为定值，所以当S取最大值时，h取得最大值


.，


因此，当时，有最大值，最大值为．


又为，


所以h的最大值为．


方法二：


由解得，．


所以点D，E的坐标分别是，（4，﹣5）．


设过点P且平行于DE的直线l的解析式为，


当直线l与抛物线有唯一交点时，△PDE的面积最大．


由得，


故，解得．


故原方程为，


解得．


将代入y＝﹣x2+2x+3，得，即点P的坐标为．


过点P作x轴的垂线，交DE于点Q，则点Q的坐标为，


因此△PDE的最大面积为，


又因为，


所以h的最大值为．








x
…
﹣1
0
1
4
…
y
…
10
5
2
5
…