初中数学第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定第2课时练习

这是一份初中数学第一章 特殊平行四边形3 正方形的性质与判定第2课时练习，共12页。

知识点 1 用定义判定正方形


1．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明( )


A．AB＝BD且AC⊥BD


B．∠A＝90°且AB＝AD


C．∠A＝90°且AC＝BD


D．AC和BD互相垂直平分


2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________________．


知识点 2 利用菱形判定四边形是正方形


3．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是( )


A．OA＝OC，OB＝OD


B．OA＝OB＝OC＝OD


C．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD


D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD





图1－3－17


4．如图1－3－17，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成( )


A．22.5°角 B．30°角


C．45°角 D．60°角


5．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－18，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．请判断四边形PQEF的形状．





图1－3－18




















知识点 3 利用矩形判定四边形是正方形


6．2017·齐齐哈尔矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：________，使其成为正方形．(只填一个即可)





图1－3－19


7．如图1－3－19所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定的方法是__________________________．


8．2017·邵阳如图1－3－20所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.


(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；


(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．





图1－3－20




















9．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是( )


A．矩形


B．对角线互相垂直的四边形


C．菱形


D．对角线互相垂直且相等的四边形





图1－3－21


10．如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是( )


A．BC＝AC B．CF⊥BF


C．BD＝DF D．AC＝BF





图1－3－22


11．教材习题1.8第3题变式题如图1－3－22，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )


A．30 B．34 C．36 D．40


12．2017·贵阳期末如图1－3－23，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．


(1)求证：四边形ABCD是菱形；


(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．





图1－3－23























13．如图1－3－24，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为N.


(1)求证：四边形ADCE为矩形；


(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？并给出证明．





图1－3－24


























14．观察如图1－3－25所示图形的变化过程，解答以下问题：





图1－3－25


如图1－3－26，在△ABC中，D为BC边上的一动点(点D不与B，C两点重合)，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.


(1)试探索当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；


(2)在(1)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？为什么？





图1－3－26























15．如图1－3－27，在四边形ABCD中，E，G分别是AD，BC的中点，F，H分别是BD，AC的中点．


(1)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？并证明你的结论；


(2)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；


(3)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并证明你的结论．





图1－3－27


























1．B 2.AB＝BC(答案不唯一)


3．D


4．C .


5．解：在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，


∴AF＝BP＝CQ＝DE.


又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，


∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，


∴FP＝PQ＝QE＝EF，


∴四边形PQEF是菱形．


∵△AFP≌△BPQ，


∴∠APF＝∠BQP.


∵∠BPQ＋∠BQP＝90°＝∠BPQ＋∠APF，


∴∠FPQ＝90°，


∴四边形PQEF为正方形．


6．AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一)


7．有一组邻边相等的矩形是正方形


8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，


∴OA＝OC，OB＝OD.


∵∠OBC＝∠OCB，


∴OB＝OC，


∴AC＝BD，


∴平行四边形ABCD是矩形．


(2)AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．


9．D 10.D


11．B


12．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AO＝CO.


又∵△ACE是等边三角形，


∴EO⊥AC，即AC⊥BD，


∴四边形ABCD是菱形．


(2)∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AO＝CO.


又∵△ACE是等边三角形，


∴EO平分∠AEC，


∴∠AED＝eq \f(1,2)∠AEC＝eq \f(1,2)×60°＝30°.


又∵∠AED＝2∠EAD，


∴∠EAD＝15°，


∴∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝15°＋30°＝45°.


∵四边形ABCD是菱形，


∴∠ADC＝2∠ADO＝90°，


∴四边形ABCD是正方形．


13．解：(1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，


∴∠BAD＝∠DAC.


∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，


∴∠MAE＝∠CAE，


∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝eq \f(1,2)×180°＝90°.


又∵AD⊥BC，CE⊥AN，


∴∠ADC＝∠CEA＝90°，


∴四边形ADCE为矩形．


(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE为正方形．


证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，


∴∠ACB＝∠B＝45°.


∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，


∴DC＝AD.


又∵四边形ADCE是矩形，


∴矩形ADCE是正方形．


∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．


14．解：(1)当AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形．


理由：∵AE∥DF，DE∥AF，


∴四边形AEDF为平行四边形．


∵AD平分∠BAC，


∴∠EAD＝∠FAD.


又∵DE∥AF，


∴∠FAD＝∠ADE，


∴∠EAD＝∠ADE，


∴AE＝DE，


∴平行四边形AEDF为菱形．


(2)当∠BAC＝90°时，菱形AEDF是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方形．


15．解：(1)当AB⊥CD时，四边形EFGH是矩形．


证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，G，H分别是BC，AC的中点，


∴EF∥AB，EF＝eq \f(1,2)AB，


GH∥AB，GH＝eq \f(1,2)AB，


FG∥CD.


∴EF∥GH，EF＝GH，


∴四边形EFGH是平行四边形．


∵AB⊥CD，


∴EF⊥FG，即∠EFG＝90°，


∴四边形EFGH是矩形．


(2)当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．


证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，H，G分别是AC，BC的中点，


∴EF＝eq \f(1,2)AB，GH＝eq \f(1,2)AB，FG＝eq \f(1,2)CD，EH＝eq \f(1,2)CD.


又∵AB＝CD，


∴EF＝FG＝GH＝EH，


∴四边形EFGH是菱形．


(3)当AB＝CD且AB⊥CD时，四边形EFGH是正方形．


证明：∵E，F分别是AD，BD的中点，


∴EF∥AB，EF＝eq \f(1,2)AB，


同理，EH∥CD，EH＝eq \f(1,2)CD，FG＝eq \f(1,2)CD，


GH＝eq \f(1,2)AB.


∵AB＝CD，


∴EF＝EH＝GH＝FG，


∴四边形EFGH是菱形．


∵AB⊥CD，


∴EF⊥EH，即∠FEH＝90°，


∴菱形EFGH是正方形．