初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程综合与测试课时训练

这是一份初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程综合与测试课时训练，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共7小题，共21分)


1．要使方程(a－3)x2＋(b＋1)x＋c＝0是关于x的一元二次方程，则( )


A．a≠0


B．a≠3


C．a≠3且b≠－1


D．a≠3且b≠－1且c≠0


2．用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－3＝0时，配方后的方程可以是( )


A．(x－1)2＝4 B．(x＋1)2＝4


C．(x－1)2＝16 D．(x＋1)2＝16


3．关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是( )


A．没有实数根


B．只有一个实数根


C．有两个相等的实数根


D．有两个不相等的实数根


4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－eq \f(5,2)ax＋a2＝0的一个根，则a的值为( )


A．1或4 B．－1或－4


C．－1或4 D．1或－4


5．某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数的年平均增长率为x，则下列方程中正确的是( )


A．12(1＋x)＝17


B．17(1－x)＝12


C．12(1＋x)2＝17


D．12＋12(1＋x)＋12(1＋x)2＝17


6．已知2是关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为( )


A．10 B．14


C．10或14 D．8或10





图1


7．如图1，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，花圃面积为80 m2，设与墙垂直的一边长为x m，则可以列出关于x的方程是( )


A．x(26－2x)＝80


B．x(24－2x)＝80


C．(x－1)(26－2x)＝80


D．x(25－2x)＝80


二、填空题(本大题共6小题，共24分)


8．已知关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是eq \f(2,3)，则另一个根及m的值分别为________．


9．关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是________(填序号)．


10．已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＝________．


11．已知一元二次方程x2－3x－4＝0的两根是m，n，则m2＋n2＝________．


12．经过两次连续降价，某药品的销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是____________．


13．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2.


三、解答题(共55分)


14．(12分)我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请选择你认为适当的方法解下列方程：


(1)x2－3x＋1＝0； (2)(x－1)2＝3；














(3)x2－3x＝0； (4)x2－2x＝4.

















15．(9分)已知关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0.


(1)求证：方程总有两个实数根；


(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．























16．(10分)如图2，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽．


(部分参考数据：322＝1024，522＝2704，482＝2304)





图2





17．(12分)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．


(1)求平均每次下调的百分率．


(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：


方案一：打九折销售；


方案二：不打折，每吨优惠现金200元．


小华选择哪种方案更优惠？请说明理由．


























18．(12分)在图3中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：





图3


(1)观察图形，请填写下列表格：





(2)在边长为n(n≥1)的正方形中，设黑色小正方形的个数为p1，白色小正方形的个数为p2，问是否存在偶数n，使p2＝5p1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．





























答案


1．B [解析] 由a－3≠0，得a≠3.


2．A [解析] 由x2－2x－3＝0，得x2－2x＋(－1)2＝3＋(－1)2，即(x－1)2＝4.


3．D


4．B [解析] 因为x＝－2是关于x的一元二次方程x2－eq \f(5,2)ax＋a2＝0的一个根，


所以4＋5a＋a2＝0，解得a1＝－1，a2＝－4.当a＝－1或a＝－4时均符合题意．故选B.


5．C [解析] 设游客人数的年平均增长率为x，


则2016年的游客人数为：12×(1＋x)，


2017年的游客人数为：12×(1＋x)2.


那么可得方程：12(1＋x)2＝17.


故选C.


6．B [解析] 将x＝2代入方程可得4－4m＋3m＝0，解得m＝4，则此时方程为x2－8x＋12＝0，解方程得x1＝2，x2＝6，则三角形的三边长为2，2，6或者2，6，6.因为2＋2＜6，所以2，2，6无法构成三角形．因此△ABC的三边长分别为2，6，6，所以△ABC的周长为2＋6＋6＝14.


7．A [解析] ∵与墙垂直的一边长为x m，


∴与墙平行的一边长为(26－2x)m，


根据题意，得x(26－2x)＝80.


故选A.


8．－4，10 [解析] 依题意，得3×(eq \f(2,3))2＋eq \f(2,3)m－8＝0，解得m＝10.


设方程的另一根为t，则eq \f(2,3)t＝－eq \f(8,3)，所以t＝－4.


综上所述，另一个根是－4，m的值为10.


9．①③ 10.6


11．17 [解析] ∵m，n是一元二次方程x2－3x－4＝0的两个根，∴m＋n＝3，mn＝－4，则m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝9＋8＝17.


12．50(1－x)2＝32


13．12.5 [解析] 设其中一段铁丝的长为x cm，则另一段铁丝的长为(20－x)cm，则两个正方形的面积之和为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20－x,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,8)(x2－20x＋100)＋12.5＝eq \f(1,8)(x－10)2＋12.5，


∴当两小段铁丝的长都等于10 cm时，两个正方形的面积之和最小，最小值为12.5 cm2.


14．解：(1)b2－4ac＝9－4＝5，


x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(3±\r(5),2)，


x1＝eq \f(3＋\r(5),2)，x2＝eq \f(3－\r(5),2).


(2)两边直接开平方，得x－1＝±eq \r(3)，


x1＝1＋eq \r(3)，x2＝1－eq \r(3).


(3)原方程可化为x(x－3)＝0，


x＝0或x－3＝0，


x1＝0，x2＝3.


(4)配方，得x2－2x＋1＝4＋1，


整理，得(x－1)2＝5，


开平方，得x－1＝±eq \r(5)，


x1＝1＋eq \r(5)，x2＝1－eq \r(5).


15．解：(1)证明：∵在方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0中，Δ＝[－(k＋3)]2－4×1×(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2≥0，


∴方程总有两个实数根．


(2)∵x2－(k＋3)x＋2k＋2＝(x－2)(x－k－1)＝0，


∴x1＝2，x2＝k＋1.


∵方程有一个根小于1，


∴k＋1＜1，解得k＜0，


∴k的取值范围为k＜0.


16．解：解法1：


利用平移，原图可转化为图①，设道路宽为x m，


根据题意，得(20－x)(32－x)＝540，





整理，得x2－52x＋100＝0，


解得x1＝50(舍去)，x2＝2.


答：道路的宽为2 m.





解法2：


利用平移，原图可转化为图②，设道路宽为x m，


根据题意，得20×32－(20＋32)x＋x2＝540，


整理，得x2－52x＋100＝0，


解得x1＝2，x2＝50(舍去)．


答：道路的宽是2 m.





17．[解析] 本题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率的计算方法是解题的关键．


解：(1)设平均每次下调的百分率为x.


由题意，得5(1－x)2＝3.2.


解这个方程，得x1＝0.2，x2＝1.8.


因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.8不符合题意，符合题目要求的是x1＝0.2＝20%.


答：平均每次下调的百分率是20%.


(2)小华选择方案一更优惠．


理由：方案一所需费用为3.2×0.9×5000＝14400(元)，


方案二所需费用为3.2×5000－200×5＝15000(元)．


因为14400<15000，


所以小华选择方案一更优惠．


18．[全品导学号：52652094]解：(1)1 5 9 13 2n－1 4 8 12 16 2n


(2)由(1)可知，当n为偶数时，p1＝2n，


所以p2＝n2－2n.


根据题意，得n2－2n＝5×2n，


整理，得n2－12n＝0，


解得n1＝12，n2＝0(不合题意，舍去)．


所以存在偶数n＝12，使得p2＝5p1.





正方形边长
1
3
5
7
…
n(奇数)
黑色小正方形的个数
…
正方形边长
2
4
6
8
…
n(偶数)
黑色小正方形的个数
…