初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件第2课时同步练习题

这是一份初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件第2课时同步练习题，共6页。




图4－4－14


知识点 由两边成比例且夹角相等判定两三角形相似


1．如图4－4－14所示，已知△ABC，则图4－4－15中与△ABC相似的是( )





图4－4－15


2．如图4－4－16，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )


A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE


C.eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE) D.eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE)


图4－4－16 图4－4－17


3.如图4－4－17，能保证△ABC与△ACD相似的条件是( )


A.eq \f(AB,BC)＝eq \f(AC,CD)


B.eq \f(BC,AC)＝eq \f(CD,AD)


C．AC2＝AD·AB


D．CD2＝AD·DB


4．2016·贵阳期末在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )





图4－4－18


5．如图4－4－19，在△ABC中，点D，E分别在AB与AC上，且AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4，△ADE与△ACB相似吗？请说明理由．








图4－4－19





6．在△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝________时，△ABC与△A′B′C′相似．





图4－4－20


7．如图4－4－20所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和△ABC相似，则AQ的长为________．


8．2017·贵阳期末如图4－4－21，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且eq \f(AD,AC)＝eq \f(1,3)，AE＝EB.求证：△AED∽△CBD.





图4－4－21











9．如图4－4－22，已知∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE.求证：△ABC∽△DBE.





图4－4－22




















详解


1．C


2．D [解析] ∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC.


A．添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不合题意；


B．添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不合题意；


C．添加eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE)，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不合题意；


D．添加eq \f(AB,AD)＝eq \f(BC,DE)，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意．


故选D.


3．C [解析] 从图中可看出，两个三角形有一公共角，若AB∶AC＝AC∶AD成立，则可利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判定△ABC与△ACD相似．故选C.


4．D [解析] 三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6.


A.eq \f(4,AB)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，对应边eq \f(AC,AB)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)≠eq \f(1,2)，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；


B.eq \f(3,AB)＝eq \f(3,8)，对应边eq \f(AC,AB)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)≠eq \f(3,8)，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；


C.eq \f(2,AC)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，对应边eq \f(AC,AB)＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)≠eq \f(1,3)，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；


D.eq \f(2,BC)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，对应边eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确．


故选D.


5．解：△ADE∽△ACB.理由如下：


∵AD＝5，DB＝7，AE＝6，EC＝4，


∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(5,6＋4)＝eq \f(1,2)，eq \f(AE,AB)＝eq \f(6,7＋5)＝eq \f(1,2)，


∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB).


又∵∠A＝∠A，


∴△ADE∽△ACB.





6．3或eq \f(16,3) [解析] 两个三角形中已经有一组角对应相等，只需这两个角的夹边对应成比例即可说明这两个三角形相似，成比例有两种情况：AB∶A′B′＝BC∶B′C′，AB∶B′C′＝BC∶A′B′.


7．3或eq \f(4,3) [解析] ∵AC＝4，P是AC的中点，∴AP＝eq \f(1,2)AC＝2.∵∠A＝∠A，∴①若eq \f(AP,AC)＝eq \f(AQ,AB)，则△APQ∽△ACB，即eq \f(2,4)＝eq \f(AQ,6)，解得AQ＝3；②若eq \f(AQ,AC)＝eq \f(AP,AB)，则△APQ∽△ABC，即eq \f(2,6)＝eq \f(AQ,4)，解得AQ＝eq \f(4,3).综上，AQ的长为3或eq \f(4,3).


8．证明：∵△ABC为正三角形，


∴∠A＝∠C＝60°，BC＝AB.


∵AE＝BE，


∴BC＝2AE，


∵eq \f(AD,AC)＝eq \f(1,3)，


∴CD＝2AD，


∴eq \f(AD,CD)＝eq \f(AE,BC)＝eq \f(1,2).


又∵∠A＝∠C，


∴△AED∽△CBD.


9．证明：在△ABD和△CBE中，


∵∠DAB＝∠ECB，∠ABD＝∠CBE，


∴△ABD∽△CBE，


∴eq \f(AB,CB)＝eq \f(BD,BE)，


即eq \f(AB,DB)＝eq \f(BC,BE).


∵∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，


∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∠ABD＝∠CBE，


∴∠ABC＝∠DBE.


在△ABC和△DBE中，


eq \f(AB,DB)＝eq \f(BC,BE)，∠ABC＝∠DBE，


∴△ABC∽△DBE.