北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件第4课时课后作业题

这是一份北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件第4课时课后作业题，共9页。

知识点 1 对黄金分割的理解


1．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是( )


A．如果eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，那么线段AB被点C黄金分割


B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割


C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比


D．一条线段有两个黄金分割点


2．如图4－4－28，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，下列结论错误的是( )





图4－4－28


A.eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC) B．BC2＝AB·AC


C.eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2) D.eq \f(BC,AC)≈0.618


3．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，则AC的长为( )


A.eq \r(5)－1 B．3－eq \r(5) C.eq \f(\r(5)－1,2) D．0.618


4．已知点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，若AB＝2，则AP－BP＝________．


5．教材习题4.8第1题变式题如图4－4－29，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C，D之间的距离．





图4－4－29











知识点 2 黄金分割的应用


6．如图4－4－30所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为0.6，则α为( )


A．216° B．135° C．120° D．108°


图4－4－30


图4－4－31


7．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图4－4－31，某女士的身高为160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )


A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm


8．人体的正常体温是37 ℃左右，根据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感觉最舒适，这个气温的度数约为________(精确到1 ℃)．


9．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图4－4－32，若舞台AB的长为20 m，主持人应走到离A点至少多远处才最自然得体？(结果精确到0.1 m，黄金比≈0.618)





图4－4－32

















10．点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，则BC的长为( )


A．(3 eq \r(5)－3)cm


B．(9－3 eq \r(5))cm


C．(3 eq \r(5)－3)cm或(9－3 eq \r(5))cm


D．(9－3 eq \r(5))cm或(6 eq \r(5)－6)cm


11．宽与长之比为eq \f(\r(5)－1,2)∶1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感．如图4－4－33，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论．





图4－4－33

















12．如图4－4－34，已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，CD＝6 cm，求AB的长．





图4－4－34





13．定义：如图4－4－35①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图②，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.


(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；


(2)求线段AD的长．





图4－4－35




















14．如图4－4－36①，点C将线段AB分成两部分，如果eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果eq \f(S1,S)＝eq \f(S2,S1)(S1>S2)，那么称直线l为该图形的黄金分割线．


(1)如图②，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问点D是不是AB边上的黄金分割点(直接写出结论，不必证明)?


(2)若△ABC在(1)的条件下，如图③，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线？并证明你的结论；


(3)如图④，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点F，延长AB，DC交于点E，连接EF并延长分别交梯形上、下底于G，H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线？并证明你的结论．





图4－4－36

















1．C 2.B


3．A [解析] ∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝eq \f(\r(5)－1,2)AB，而AB＝2，


∴AC＝eq \r(5)－1.


4．2 eq \r(5)－4 [解析] ∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝eq \f(\r(5)－1,2)AB＝eq \r(5)－1，则BP＝2－AP＝3－eq \r(5)，


∴AP－BP＝(eq \r(5)－1)－(3－eq \r(5))＝2 eq \r(5)－4.


5．解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，


∴AC＝BD＝80×eq \f(\r(5)－1,2)＝(40 eq \r(5)－40)cm，


∴CD＝BD－(AB－BD)＝2BD－AB＝(80 eq \r(5)－160)cm.


6．B 7.D


8．23 ℃ [解析] 37×eq \f(\r(5)－1,2)≈23(℃)．


9．解：根据黄金比，得20×(1－0.618)≈7.6(m)，


故主持人应走到离A点至少7.6 m处才最自然得体．


10．C [解析] ∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，∴BC＝eq \f(\r(5)－1,2)AB＝(3 eq \r(5)－3)cm，或BC＝eq \f(3－\r(5),2)AB＝(9－3 eq \r(5))cm.


11．解：留下的矩形CDFE还是黄金矩形．


证明：∵四边形ABEF是正方形，


∴AB＝DC＝AF.


又∵eq \f(AB,AD)＝eq \f(\r(5)－1,2)，


∴eq \f(AF,AD)＝eq \f(\r(5)－1,2)，


即点F是线段AD的黄金分割点，


∴eq \f(FD,AF)＝eq \f(AF,AD)＝eq \f(\r(5)－1,2)，


∴eq \f(FD,DC)＝eq \f(\r(5)－1,2)，


∴矩形CDFE是黄金矩形．


12．[解析] 因为C，D均为线段AB的黄金分割点，


所以eq \f(AD,AB)与eq \f(BC,AB)相等，都等于黄金比．


因此AD＝BC，所以AC＝BD.


解：∵C，D均为线段AB的黄金分割点，


∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(BC,AB)，∴AD＝BC，


∴AB－AD＝AB－BC，即BD＝AC.


设AC＝BD＝x cm，则AD＝(x＋6)cm，AB＝(2x＋6)cm.


∵eq \f(AD,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2)，


∴eq \f(x＋6,2x＋6)＝eq \f(\r(5)－1,2)，


∴eq \f(x＋6,2（x＋3）)＝eq \f(\r(5)－1,2)，


解得x＝3 eq \r(5)＋3，


∴AB＝(6 eq \r(5)＋12)cm.


13．解：(1)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，


∴∠ABC＝∠C＝72°.


∵BD平分∠ABC，


∴∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，


∴∠BDC＝72°，


∴BC＝BD＝AD.


∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，


∴△BCD∽△ACB，


∴eq \f(BC,AC)＝eq \f(CD,CB)，即BC2＝AC·CD，


∴AD2＝AC·CD，


∴点D是线段AC的黄金分割点．


(2)设AD＝x，则CD＝1－x.


由(1)得x2＝1－x.


解得x1＝eq \f(－1－\r(5),2)(舍去)，x2＝eq \f(－1＋\r(5),2)，


∴AD＝eq \f(－1＋\r(5),2).


14．解：(1)点D是AB边上的黄金分割点．


(2)直线CD是△ABC的黄金分割线．


证明：设△ABC的边AB上的高为h，则


S△ADC＝eq \f(1,2)AD·h，S△DBC＝eq \f(1,2)BD·h，S△ABC＝eq \f(1,2)AB·h，


∴S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB，


S△DBC∶S△ADC＝BD∶AD.


由(1)知点D是AB的黄金分割点，


∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(BD,AD)，


∴S△ADC∶S△ABC＝S△DBC∶S△ADC，


∴直线CD是△ABC的黄金分割线．


(3)直线GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．


证明：∵BC∥AD，


∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，


∴eq \f(BG,AH)＝eq \f(EG,EH)，①


eq \f(GC,HD)＝eq \f(EG,EH).②


由①②得eq \f(BG,AH)＝eq \f(GC,HD)，


即eq \f(BG,GC)＝eq \f(AH,HD).③


同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF，


得eq \f(BG,HD)＝eq \f(GC,AH)，即eq \f(BG,GC)＝eq \f(HD,AH).④


由③④得eq \f(AH,HD)＝eq \f(HD,AH)，


∴AH＝HD，


∴BG＝GC，


∴梯形ABGH与梯形GCDH的上、下底分别相等，高也相等，


∴S梯形ABGH＝S梯形GCDH＝eq \f(1,2)S梯形ABCD，


∴直线GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．