北师大版5 相似三角形判定定理的证明当堂检测题

这是一份北师大版5 相似三角形判定定理的证明当堂检测题，共10页。

知识点 1 证明相似三角形判定定理





图4－5－1


1．如图4－5－1，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则eq \f(DE,BC)的值为( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,9)


2．如图4－5－2，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝( )


A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2


图4－5－2


图4－5－3


3．2017·恩施州如图4－5－3，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( )


A．6 B．8 C．10 D．12


4．用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

















知识点 2 相似三角形判定的综合应用


5．如图4－5－4，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找到一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于点B，测得AB＝6 m，则池塘的宽DE为( )


A．25 m B．30 m C．36 m D．40 m


图4－5－4


图4－5－5


6．如图4－5－5，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚1.6 m，梯上点D距墙1.4 m，BD长0.55 m，该梯子的长是________．


7．如图4－5－6所示，已知AD⊥BD，AE⊥BE，求证：AD·BC＝AC·BE.





图4－5－6











8．如图4－5－7，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.


(1)求证：△ABM∽△EFA；


(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．





图4－5－7











9．如图4－5－8，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有( )


A．DE2＝AD·AE B．AD2＝AF·AB


C．AE2＝AF·AD D．AD2＝AE·AC


图4－5－8


图4－5－9


10．如图4－5－9，在边长为9的等边三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为________．


11．如图4－5－10，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明理由．





图4－5－10











12．教材习题4.9第3题变式题如图4－5－11，在△ABC中，AC＝BC，点E，F在直线AB上，∠ECF＝∠A.


(1)如图4－5－11①，点E，F在AB上时，求证：AC2＝AF·BE；


(2)如图4－5－11②，点E，F在AB及其延长线上，∠A＝60°，AB＝4，BE＝3，求BF的长．





图4－5－11














13．如图4－5－12，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在DB上是否存在点P，使得△PCD与△PAB相似？如果存在，请求出PD的长；如果不存在，请说明理由．





图4－5－12














14．如图4－5－13，已知直线l的函数表达式为y＝－eq \f(4,3)x＋8，且l与x轴、y轴分别交于A，B两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q，P移动的时间为t秒．


(1)求点A，B的坐标；


(2)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？


(3)求出(2)中当以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似时线段PQ的长度．





图4－5－13
































详解


1．B 2.D


3．C [解析] 由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B，结合∠ADE＝∠EFC可得出∠B＝∠EFC，进而可得出BD∥EF，结合DE∥BC可证出四边形BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE＝BF，由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出BC＝eq \f(8,5)DE，再根据CF＝BC－BF＝eq \f(3,5)DE＝6，所以DE＝10.





4．解：已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，并分别交AB，AC于点D，E.


求证：△ADE与△ABC相似．


证明：∵DE∥BC，


∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.


过点D作DF∥AC交BC于点F，


又∵DE∥BC，


∴四边形DFCE是平行四边形，


∴DE＝FC，


∴eq \f(FC,BC)＝eq \f(DE,BC)＝eq \f(AD,AB)，


∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC).


而∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，


∴△ADE∽△ABC.


5．C.


6．4.4 m


7．证明：∵AD⊥BD，AE⊥BE，


∴∠ADC＝90°，∠BEC＝90°.


在△ACD和△BCE中，


∵∠ACD＝∠BCE，∠ADC＝∠BEC，


∴△ACD∽△BCE，∴eq \f(AD,BE)＝eq \f(AC,BC)，


∴AD·BC＝AC·BE.


8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，


∴∠B＝90°，AD∥BC，


∴∠AMB＝∠EAF.


又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，


∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA.


(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，


∴AM＝eq \r(122＋52)＝13，AD＝AB＝12.


∵F是AM的中点，∴AF＝eq \f(1,2)AM＝6.5.


∵△ABM∽△EFA，∴eq \f(BM,FA)＝eq \f(AM,EA)，


即eq \f(5,6.5)＝eq \f(13,EA)，∴EA＝16.9，


∴DE＝EA－AD＝4.9.


9．B


10．7.


11．解：∠ABD＝∠ACE.理由如下：


∵AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，


∴△ABC∽△ADE，


∴∠BAC＝∠DAE，


∴∠BAD＝∠CAE.


又∵AB∶AD＝AC∶AE，


即AB∶AC＝AD∶AE，


∴△BAD∽△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.


12．解：(1)证明：∵AC＝BC，


∴∠A＝∠B.


∵∠BEC＝∠ACE＋∠A，∠ACF＝∠ACE＋∠ECF，∠ECF＝∠A，


∴∠ACF＝∠BEC，


∴△ACF∽△BEC，∴eq \f(AC,BE)＝eq \f(AF,BC)，


∴AC2＝AF·BE.


(2)∵∠A＝60°，AC＝BC，


∴△ABC是等边三角形，


∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°＝∠ECF，


∴∠ACE＝∠FCB.


又∵∠ECB＝∠ACB－∠ACE，∠F＝∠ABC－∠FCB，∴∠ECB＝∠F.


又∵∠ABC＝∠A，


∴△ACF∽△BEC，


∴eq \f(AC,BE)＝eq \f(AF,BC)，∴AF＝eq \f(16,3)，


∴BF＝AF－AB＝eq \f(4,3).


13．解：存在．


①若△PCD∽△APB，则eq \f(CD,PB)＝eq \f(PD,AB)，即eq \f(4,14－PD)＝eq \f(PD,6)，解得PD＝2或PD＝12；


②若△PCD∽△PAB，则eq \f(CD,AB)＝eq \f(PD,PB)，即eq \f(4,6)＝eq \f(PD,14－PD)，解得PD＝5.6.


∴当PD的长为2或12或5.6时，△PCD与△PAB相似．


14．解：(1)在y＝－eq \f(4,3)x＋8中，


当x＝0时，y＝8；


当y＝0时，x＝6.


故点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)．


(2)在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，由勾股定理，得AB＝10.


由题意易知BQ＝2t，AQ＝10－2t，AP＝t.


在△AOB和△AQP中，∠BAO＝∠PAQ，


第一种情况：


当eq \f(AQ,AB)＝eq \f(AP,AO)时，△APQ∽△AOB，


即eq \f(10－2t,10)＝eq \f(t,6)，解得t＝eq \f(30,11)；


第二种情况：


当eq \f(AQ,AO)＝eq \f(AP,AB)时，△AQP∽△AOB，


即eq \f(10－2t,6)＝eq \f(t,10)，解得t＝eq \f(50,13).


故当t为eq \f(30,11)或eq \f(50,13)时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似．


(3)∵以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似，


∴当t＝eq \f(30,11)时，eq \f(PQ,8)＝eq \f(\f(30,11),6)，解得PQ＝eq \f(40,11)；


当t＝eq \f(50,13)时，eq \f(PQ,8)＝eq \f(\f(50,13),10)，解得PQ＝eq \f(40,13).


故当以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度是eq \f(40,11)或eq \f(40,13).